1990考研数一真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

xt2

(1) 过点M(1,2,1)且与直线y3t4垂直的平面方程是_____________.

zt1

(2) 设a为非零常数,则lim(xxax)=_____________. xa1, |x|1,(3) 设函数f(x) 则f[f(x)]=_____________.

0, |x|1,(4) 积分

20dxex2y2dy的值等于_____________.

(5) 已知向量组1(1,2,3,4),2(2,3,4,5),3的秩是_____________.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设f(x)是连续函数,且F(x)(A) e(C) ex(3,4,5,6),4则该向量(4,5,,6,7)exxf(t)dt,则F(x)等于 ( )

f(ex)f(x) (B) exf(ex)f(x)

xf(ex)f(x) (D) exf(ex)f(x)

2(2) 已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)],则当n为大于2的正整数时,f(x)

(n)的n阶导数f(x)是 ( )

(B) n[f(x)]n1(A) n![f(x)]n1 (C) [f(x)] (D) n![f(x)]

2n2n(3) 设为常数,则级数

(n1sinn1) ( ) 2nn (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛

(C) 发散 (D) 收敛性与的取值有关 (4) 已知f(x)在x0的某个领域内连续,且f(0)0,limf(x)2,则在点x0处

x01cosxf(x) ( )

(A) 不可导 (B) 可导,且f(0)0

Born to win

(C) 取得极大值 (D) 取得极小值

(5) 已知1、2是非齐次线性方程组Axb的两个不同的解,1、2是对应齐次线性方

程组Ax0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Axb的通解(一般解)必是( ) (A) k11k2(12)122222(C) k11k2(12)1 (D) k11k2(12)1

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三、(本题满分15分,每小题5分.) (1) 求

(B) k11k2(12)12

ln(1x)0(2x)2dx.

12z(2) 设zf(2xy,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.

xy(3) 求微分方程y4y4ye2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分.)

求幂级数

(2n1)xn0n的收敛域,并求其和函数.

五、(本题满分8分)

求曲面积分I分.

六、(本题满分7分)

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.

yzdzdx2dxdy,其中S是球面xS2y2z24外侧在z0的部

七、(本题满分6分)

设四阶矩阵

1 1 0 02 1 3 40 1 1 00 2 1 3,C, B0 0 1 10 0 2 10 0 0 10 0 0 2 Born to win

1且矩阵A满足关系式A(EC1B)TCTE,其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩

阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、(本题满分8分)

22求一个正交变换,化二次型fx124x24x34x1x24x1x38x2x3为标准形.

T

九、(本题满分8分)

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于

y B(3,4)

F

A(1,2) P(x,y) O

十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)

,求变力F对质点P所作的功. 2x

(1) 已知随机变量X的概率密度函数f(x)1|x|e,x,则X的概率分布函数 2F(X)_______.

(2) 设随机事件A、B及其和事件AB的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对

立事件,那么积事件AB的概率P(AB)_______.

2ke2, (3) 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即PXkk!k0,1,2,,则随机变量Z3X2的数学期望E(Z)_______.

十一、(本题满分6分.)

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,|y|x内服从均匀分布,求关于X的边缘

Born to win

概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).