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三点共线定理及应用

2024-06-08 来源:客趣旅游网
三点共线定理及应用

李建标;唐恒钧

【摘 要】纵观近几年的数学高考试题,十分强调几何背景和代数性质的结合.其中对于不少点在直线上的问题,可由平面向量中的三点共线定理顺利求解.由三点共线的推论则可进一步求解平面区域中的变量范围计算、平面区域有关的面积问题.文章通过典型例题的分析,阐述三点共线定理在平面向量问题中的应用价值及操作方式. 【期刊名称】《中学教研:数学版》 【年(卷),期】2016(000)006 【总页数】4页(P39-42)

【关键词】向量;三点共线定理;推论;变量范围;区域面积 【作 者】李建标;唐恒钧

【作者单位】余姚中学 浙江余姚 315400;浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004

【正文语种】中 文 【中图分类】O123.1

因为向量具有代数形式(有序实数对表示)与几何形式(有向线段表示)的双重特点,所以不少平面向量试题都强调几何背景和代数性质的结合,要求学生综合运用逻辑推理和运算能力解决实际问题.这类试题简洁、新颖、思维灵活性强,具有较强的创新性,其中以线段或直线为背景的一类题常与三点共线定理有关.笔者综合研究三点共线定理及它在各类问题中的应用.

定理 设不共线点P在直线AB上的充要条件是λ+μ=1,其中λ,μ∈R. 证明 (充分性)因为其中λ+μ=1),所以 从而

故点A,B,P共线.

(必要性)因为点A,B,P共线,所以 从而 即

令μ=1-λ,于是

从推导过程知:当λ∈(0,1)时,μ∈(0,1)且点P在线段AB上;当λ>1时,μ<0且点P在BA的延长线上;当λ<0时,μ>1且点P在AB的延长线上.

这里纠正一个错误:对于三点共线定理不少参考书中没有说明条件不共线,由已知得点P在直线AB上的充要条件是λ+μ=1,其中λ,μ∈R.显然当点O∈直线AB,由平面向量基本定理知λ,μ并不唯一,且λ+μ=1也不一定成立.由三点共线定理得到如下推论:

推论1[1] 设不共线,若则

1)点C在直线AB的外侧(不含点O的一侧)的充要条件是λ+μ>1; 2)点C在直线AB的内侧(含点O的一侧)的充要条件是λ+μ<1.

1)证明 (必要性)如图1,联结OC,AB,相交于点C′,则存在实数m(其中m>1)使得 又因为点C′在直线AB上,所以存在x′,y′,使得其中x′+y′=1),从而 于是

(充分性)因为λ+μ>1,所以存在m>1,使得 且 从而 因此

因为点C′在直线AB上,所以点C在直线AB外侧. 同理可证推论1的第2)个结论(略).

推论2 如图2,过点O作l2∥l1,则l2,l1把平面分成3个部分:第Ⅰ区域λ+μ>1,第Ⅱ区域0<λ+μ<1,第Ⅲ区域λ+μ<0.

推论3 如图3,直线OA,OB将平面OAB分成4个区域,当点C落在各个区域时,相应结论如下:当点C落在第Ⅰ区域时当点C落在第Ⅱ区域时当点C落在第Ⅲ区域时当点C落在第Ⅳ区域时 考向1 点在线上

例1 已知点O为△ABC的外心且2x+10y=5,则cos∠BAC=______. 分析 如图4,取的中点F,延长AB至点E,使得当x≠0时, 因为2x+10y=5,即所以点F,O,E共线,于是 故

如图5,当x=0时即从而△ABC是以∠B为直角的直角三角形,于是

例2 如图6,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点.设向量则λ+μ的最小值为______.

分析 如图7,作联结PF,交AC于点H,则存在x,y,使得其中x+y=1),且从而 从而 即 故

考向2 平面区域中的变量范围计算问题

例3[2] 如图8,O为△ABC边AB的中点,D为边BC的三等分点,且DC=2DB,P为△ADC(包含边界)内任意一点.若求x+y的取值范围.

分析 由三点共线定理知,当P在边DC上运动时,x+y=1,△ADC所在区域可以用平行直线DC的一簇平行线表示.如图9,由推论2知平行线向左下移动至直线

l1(其中l1∥CD,且l1过点O)处时,x+y=0;平移至直线l2(其中l2∥CD,且l2过点A)处时,x+y=-1,因此x+y的取值范围为[-1,1]. 变式1 例3中的条件不变,求x+2y的取值范围.

分析 只需变换基向量如图10,取OD的中点E,联结EB(设为直线l1),过点D作l2∥l1,过点C作l3∥l1,过点A作l4∥l1.当点P在直线l1在△ADC内的部分上时,x+2y=1;当点P在直线l2在△ADC内的部分上时,x+2y=2;当点P在点C处时,x+2y=4;当P在点A处时,x+2y=-1.因此x+2y的取值范围是[-1,4]. 变式2 例3中的条件不变,求2x+y的取值范围.

分析 变换基向量如图11,只需取OB的中点F,联结DF,过点O作l1∥DF,过点A作l2∥DF.当点P在点D上时,2x+y=1;当点P在直线l1在△ADC内的部分上时,2x+y=0;当点P在点A处时,2x+y=-2.因此2x+y的取值范围是[-2,1]. 总结 对于形如求λx+μy的取值范围”这类问题,可以通过更换基向量,即分别在上取点E,F,使得把题目条件变换为再运用平面向量中的三点共线定理的推广,通过作平行线的方法即可求出λx+μy的值. 考向3 与平面区域有关的面积问题

例4 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,定点A,B满足||=||则点集其中|λ|+|μ|≤1,且λ,μ∈R}所表示的区域的面积是

分析 当λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时(如图12所示),由推论2和推论3知点P在△AOB内;当λ≥0,μ≤0时,λ-μ≤1,作由推论2和推论3知点P在△AOB′内;当λ≤0,μ≥0时,-λ+μ≤1,作由推论2和推论3知点P在△A′OB内;当λ≤0,μ≤0时,-λ-μ≤1,由推论2和推论3知点P在△A′OB′内.故所求的平面区域是矩形ABA′B′(含边长),其面积为

变式1 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若定点A,B满足||=||则点集其中|λ|+|2μ|≤2,且λ,μ∈R}所表示的区域的面积是______.

分析 由|λ|+|2μ|≤2得|μ|≤1.如图13,改变基向量,作由易知所求的区域是A′BA″B′,其面积为

变式2 已知点P在△ABC(包括边界)内,且若对于满足条件的λ与μ,都有|aλ+bμ|≤2,则动点Q(a,b)形成的平面区域的面积为 A.8 B.16 C.32 D.64

分析 由推论3知λ≥0,μ≥0且λ+μ≤1,因此当a≥0,b≥0时,原不等式即为aλ+bμ≤2,如图14,亦即 从而 故

由当Q为原点时,显然符合题意)知Q(a,b)形成一个正方形的区域面积为4,类似可得当a<0,b>0;a>0,b>0;a<0,b<0时的其他3个正方形,所求区域的面积之和为16.

总之,向量是数形结合的重要桥梁,是解决数学问题的有效工具.为此,在高中数学教学过程中,应高度重视向量及其三点共线定理的教学,并逐步加强向量在几何问题与线性规划应用方面的教学,切实发挥好向量的桥梁与工具作用.

【相关文献】

[1] 梁懿涛.平面向量三点共线定理的推论及空间推广[J].中学数学研究,2011(7):47-49. [2] 马海龙.平面向量三点共线与等和线妙用[J].数学之友,2014(4):61-62.

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