第３６卷第８期 ２０１７年８月 大学物理 Ｖ（＇１．３６ Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２０１７ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ 从表象变换的角度看ＣＧ系数 朱 政 （重庆大学物理学院，重庆４０１３３１） 摘要：从表象变换的角度出发，结合两个简单的例子，给出了ＣＧ系数更为清晰的物理图像和简单明了的计算步骤 关键词：ＣＧ系数；角动量；耦合表象 中国分类号：０ ４１３．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—０７１２（２０１７）０８—００１１—０３ 【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００—０７１２．２０１７．０８．００４ 在量子力学教学和学习过程中，角动量的耦合和 ＣＧ系数的计算历来都是重点和难点．关于这方面的 文献报道川和有关教材 的阐述已经相当丰富；这 最大权重态Ｉｊ＝ｊ， ２，ｍ＝ ＝Ｉｊ ｍ。＝ 。＞Ｉ Ｊ２ ｍ：＝ ＞ （最大权重态就是Ｉｊ＝ｊ ：，１７１，＝ 这个态，这里沿用 了重庆大学张忠灿教授当年在课堂上的说法；作者 在本篇报道中也将Ｉ．『＝ 公式： 些工作都对本人对ＣＧ系数的学习帮助极大．但笔者 发现，以往的这些工作，有的 推导过程比较繁琐，可 能会加深初学者的畏难情绪；有的 ’ 则略过了推导 ：，ｍ＝－ｊ＞称为最大权重 态，因为这两个态的地位是相当的．）的两边，利用 过程；曾谨言老师在讲解这方面内容的时候 言简意 赅，思路清晰，但本人觉得如果能结合一些具体实例， 将两种表象的变换结果写成ＣＧ系数矩阵的形式，会 ｌ，ｍ＞＝￣／（ －Ｔ－ｍ）（ ±ｍ＋１）Ｉｊ，ｍ±１＞ 及表象基矢本身的归一化要求，得到ｍ＝一 ， ＋１，…，．『所有的ＣＧ系数矩阵元．在计算Ｉｊ一１ ｍ＞的 增加趣味，效果会更好．本文试图结合两个简单的例 子帮助初学者建立清晰的图像． 时候，首先要利用ｍ＝ｍ ＋ｍ 找到所有有贡献的非 耦合表象基矢，将展开系数设成未知数；利用正交关 系 广－１ ｍ Ｉｊｍ＞＝０，Ｃｏｎｄｏｎ—Ｓｈｏｒｔｌｙ约定（以下简称 ＣＳ约定） 一１ ｍＩｊ。：Ｉｊ ｍ＞≥０，以及Ｉｊ一１ ｍ＞本身的 １ 两种表象和ＣＧ系数矩阵 两个状态Ｉ 。ｍ ＞，和ｌ’『：ｍ：＞组成的直积态 归一化要求解出所有的未知数．以此类推，得到整个 ＣＧ系数矩阵． Ｉｊ。ｍ。＞Ｉ．『：ｍ２＞组成了非耦合表象；其中ｍ。＝一 ， 。＋１，…，Ｊ 。一１，Ｊ ；， ２＝－ｊ２，＿『２＋１，…， 一１， ２．显然 固定 。和 ：，非耦合表象的维数是（ 。＋１）（ ＋１）． 与非耦合表象对应的是耦合表象 ．『 ｍ＞，简记为 Ｉｊ，ｍ＞；其中＿『：ｌ ｌ ２ Ｉ， ｉｌ＋ｉ２ －２例一：两个电子自旋的耦合 将非耦合表象记为Ｉ Ｓ，ｍ。＞Ｉ ｓ：ｍ：＞；其中 １１ｓ．： ，ｍ。＝一ｓ，，…，．ｓ ＝一 ２ Ｉ＋１＇．．“，＿『１ ２，ｍ＝ｍ１ １， １；ｓ ： ＋ｍ：＝一 ，一－『＋１，…，Ｉ，；耦合表象的维数是一样的， ＋１＝（ 。＋１）（ ：＋１）．将耦合表象写成非耦 ＝ ２Ｉ ， ＝一ｓ：， …，Ｓ：＝一÷，÷；表象维数是（２Ｓ ＋１）（２Ｓ ＋１）＝４．将 合表象的线性组合： 耦合表象记为ｌ Ｓ，ｍ＞；其中Ｓ＝Ｉ Ｓ，一Ｓ２ Ｉ，…，Ｓ，＋Ｊｓ ＝ ０，１；当Ｓ＝０时，ｍ＝一Ｓ，…，Ｓ＝０；当Ｓ＝１时，ｍ＝ 一Ｉｊ，ｍ＞＝＞’ ｌｍ１．，２ｍ２ Ｉｊ ｍ＞Ｉｊｌｍｌ＞Ｉｊ２ｍ２＞， —ｍｉｒａ２ ｓ，…，Ｓ＝一１，０，１；表象维数也是４维．ＣＧ系数矩 阵是一个４维矩阵． 首先找到最大权重态： １ １ 展开系数＜ １ｍｌ ２ｍ２ Ｉｊｍ＞就是Ｃｌｅｂｓｃｈ—Ｇｏｒｄｅｎ 系数，简称ＣＧ系数．也就是说ＣＧ系数组成了一个 （ ＋１）（ ＋１）维的幺正变换矩阵，我们称之为 ＣＧ系数矩阵．本文旨在求出该矩阵． 计算过程就是将降算符 一＝ ．． ：一不断作用在 Ｉ｜ｓ：１，ｍ＝１＞＝Ｉ．ｓ１ ＞Ｉ Ｓ２ ＞ （１） 将Ｓ一＝Ｓ 一十．ｓ 一作用在等式（１）两边：Ｓ—Ｉ Ｓ＝１，ｍ＝ 收稿日期：２０１７—０１－０３；修回日期：２０１７—０２—２０ 作者简介：朱政（１９８７一），男，河北秦皇岛人，重庆大学物理学院博士在读，主要从事分数量子霍尔效应的研究工作 １２ 大学 物理 第３６卷 １１＞＝ ｌ ｓ＝１，ｍ＝。＞；ｓ，＞＝Ｉ Ｓｌ— １＞ｌ ５ ；￥２Ｉ Ｓ２ １＞＝Ｉｓ 一 １＞；再将得到的等式两边归一化之后即 得到展开式： ５ 一＞： 一 ＋ １ｌ ５ 一Ｉ ２ １＞ ～２ ２＞ （２）、 ， 求解ＩＳ＝１ ｍ＝一１＞时，可以将降算符继续作用在ｆＳ ：１ ｍ＝０＞；也可以通过观察ｍ＝ｍ。＋ｍ：直接给出正 确的表达式： ｌｓ＝ｌ，ｍ＝一１＞＝Ｉ ５ｌ一了１＞ｌ ｓ２一了１＞ （３） 这其实是另一个最大权重态，将升算符Ｓ＋＝Ｓ ＋＋５ ＋ 作用于该式同样能得到以上各展开式． 下面求解ｌＳ：０，ｍ＝０＞．首先假设 ＩＳ＝０．ｍ＝０＞： 。５・一 ＞ ｓ ＞＋Ｙ。５－ ＞‘５２一 ＞ 它要满足正交要求０＝＜Ｊｓ：１，ｍ＝０ Ｉ Ｓ＝０，ｍ＝０＞， 即 ＋ ｙ＿ｏ＇ＣＳ约定＜ｓ＝ｏ ｍ－ｏ１ ｓｌｚ１ ｓ＝１ 一＞ 卟一 ＋㈥ 以及 ｝Ｓ＝０，ｍ＝０＞本身的归一化要求 ＋）， ：１；从而 解出 ５一ｏ，一一 ・ｓ．一 －ｓ ＋ ｆ ｓ．－＞１ １ （４） ２ 篓＞］： ｌ １ ０ ０ ０ Ｓｊ ＞ ｓ ＞ ‘，’ 丝 ０ １ 。Ｓ．一——＞ １ ，’ ｓｔ＿＞ ‘ ，＇ ０ ０ ０ １ １ ｌ （５） Ｓ．一——＞ Ｓ 一＞ １ １ ０ ０ ２ ２ １ １ Ｓ，一——＞ １ ．ｓ 一一＞ ‘ ２ ３ 例二：轨道一自旋耦合 杯记非耦台表冢为ｌＬ ｍ ＞ＩＳ ｍ ＞；兵中Ｌ ｍ 分别是角量子数和磁量子数，这里取Ｌ＝１， ｍ ：一Ｌ，…，Ｌ＝一１，０，１；Ｓ和ｍ 分别是自旋量子数 和自旋磁量子数，ｓ＝ １１１，ｍ ＝一５，…，５：一 ， ；非 耦合表象的维数是（２Ｌ＋１）（２Ｓ＋１）：６．标记耦合表 象为Ｉ Ｉ，， ＞；其中Ｉ，＝Ｉ Ｌ－Ｓ Ｉ，…，，Ｊ＋ ＝ １３， ；当 ＝ １时时 ，ｍｊ＝－ｔ，，…， ＝一 一 ，÷， ；１；当．， 时 一：了３时，ｍｊ＝一ｔ，， …，．，：一 ，一吉，÷， ３；耦合表象也是６维．ｃＧ系数 矩阵也因此是６维的． 首先找到最大权重态： 。ｔ， ３ ，ｍ 一２＞ ‘３ ＞’ｓ １ ＞ （６） 将降算符Ｉ，一＝ 一十ｓ一作用在等式两边：．，一Ｉ．，： ， ＝ ＞： ＞ √３。ｔＩ ｔ，： ， ，ｍ，： ，ｍ ＞；＞；Ｌ ｌ， Ｊ １＞： ＞ √２。Ｉ ０＞； ｓｌｓ÷＞＝Ｉｓ一 １＞；将得到的等式两边归一化之后 即得到展开式： ３１，ｍ ＝ ： ３ ＞－５ ３ 一 ２ ㈩、 继续作用降算符于Ｉ‘，＝寻， ＝÷＞，并归一化 之后得到展开式 １。．．，， ：三，ｍ，ｍ． 一：一 ＞： ＞ 等。 Ｉ —ｌ一 ＞一＞ＩＳ ＞２＞＋ １ ３ Ｉ Ｌ ０＞Ｉ Ｓ一 （８） 通过观察ｍ＝ｍ．＋ｍ ，可直接得到正确结论 ３ ３ １ ｌ ｌ， ，ｍｊ＝－￣－＞ ｌ Ｌ一 ＞ｌ ｓ一 ＞ （９） 旱导一个岳女术Ｖ莆杰 下面求解ｌ ＝ １，ｍ ＝丢＞和Ｉ．，＝ １，ｍ，＝一 １＞ 假设－．，：丢，ｍ，＝丢＞＝ ・ 一＞一ｓ一｛＞＋ｙ 第７期 １朱政：从表象变换的角度看ＣＧ系数 ｌ ｌ １＞ｆＳ一＞ ２ １３ ｌ￡。＞Ｉ ｓ ＞；它满足正交条件＜Ｉ，：÷，ｍ ＝÷Ｉ １ ０ ０ ０ ０ ０ ３——ｍ＝ ２。一２ ３—＝Ｉ Ｉ２ ～２ ３—Ｉｍ＝ ｌ ｍ２ ３—＝ ｍ２２ 一 一ｌ＝ Ｉ ｍ２２。一 ～＝ ２ －＿＇３ ＿＞１＿０，即 ＋ ｙ＝０ＣＳ约糊：÷，０丝 。 ０ ０ １ ， ３ ３ １＞ｌＳ…＞ ２ ３１ ｍ，ｍ ：－＝ ｙ ＩＬ＿ １。．， ，： ，ｍ，ｍ ： ≥０，≥０，即 即亍 ≥０；≥０；以及归一以及归一 ０ ０ ９ 坦 ０ ３ ３ ＞ ＩＬ ０＞ＩＳ一＞ ＞ ２ ＞ 化要求 ＋ｙ ：１；从而解得 ０ ０ ０ ０ Ｏ １ １ Ｌ ０＞ＩＳ一＞ ２ －．，＝÷，ｍ ＝丢＞＝ ・ ＞－ｓ一丢＞一 ０ 一 ０ ０ ０ ３ ３ １ Ｊ三一ｌ＞ＩＳ一＞ ２ Ｊ１ （１０） ０ ０ ０ 一 ０ ｓ １ 一３ ２ ３ ３ １＞ｌＳ一一一＞ ２ 使用同样的方法还可以得到 （１２） Ｉ０．， ： 。，ｍ：一ｍ 一 ＞：一 ＞ 一号 Ｉ －１＞ＩＳ ＞＋一２＞＋ ４ 小结 Ｉ Ｌ ０＞Ｉ Ｓ— １ （１ １） 本文在前人工作 的基础上，从非耦合到耦 ３ ２ 合表象的表象变换这一角度，将ＣＧ系数写成幺正 以上得到的各展开式可以用ＣＧ系数矩阵表示 矩阵形式，希望能帮助初学者建立更清晰的物理图 由Ⅱ下． 像：ＣＧ系数矩阵的本质就是一个表象变换矩阵，它 将非耦合表象转化成了耦合表象．文中举了两个简 单的实例，简洁明了地写出了ＣＧ系数的推导过程， 希望能对初学者有所帮助． 参考文献： ： ［１］ 徐晓梅，李云德．ＣＧ系数的计算［Ｊ］．大学物理，２００６， ２５（３）：３２—３７． ［２］ 周世勋．量子力学教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社， １９７９：２０６—２１１． ［３］ 周世勋．量子力学教程［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版 社。２００９：１８１—１８５． ［４］ 曾谨言．量子力学（卷Ｉ）［Ｍ］．４版．北京：科学出版社， ２００７：３４０—３５４． Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ ｏｎ Ｃｌｅｂｓｃｈ——Ｇｏｒｄｅｎ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔｓ ｆｒｏｍ ｖｉｅｗ ｏｆ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＺＨＵ Ｚｈｅｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ４０１３３１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍ ｖｉｅｗ ｏｆ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈｅｌｐ ｏｆ ｔｗｏ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ，ｃｌｅａｒｅｒ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｐｉｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｅａｓｉｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＣＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ；ａｎｇｕｌａｒ ｍｏｍｅｎｔｕｍ；ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ