学业分层测评12 圆、椭圆的参数方程的应用-精选教育文档

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[学业达标]

1．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋23xy－y2的最值． x＝2cos θ，

【解】 设(0≤θ<2π)，于是

y＝2sin θu＝x2＋23xy－y2

＝4cos2θ＋83cos θsin θ－4sin2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ π

＝8sin(2θ＋6)．

π7π

所以，当θ＝6，x＝3，y＝1时，或θ＝6，x＝－3，y＝－1时，umax＝8； 2π5π

当θ＝3，x＝－1，y＝3时，或θ＝3，x＝1， y＝－3时，umin＝－8.

2．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． 【解】 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2

＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x＋y≤25.

即2x＋y的最大值为25，最小值为－25.

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1x＝t＋t，

3．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1

y＝t－t于A、B两点．求线段AB的长．

(t为参数)相交

【导学号：98990037】

3

x＝－3＋2s，

直线的参数方程为

1y＝2s

【解】

(s为参数)，

1

x＝t＋t，曲线1

y＝t－tx2－y2＝4.

(t为参数)可以化为

将直线的参数方程代入上式，得 s2－63s＋10＝0.

设A、B对应的参数分别为s1，s2， ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10. AB＝|s1－s2|＝

s1＋s22－4s1s2＝217.

4．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝90°，求椭圆离心率的取值范围．

x2y2

【解】 设椭圆的方程为a2＋b2＝1，A(a,0)，设P(acos θ，bsin θ)是椭圆上→＝(acos θ－a，bsin θ)，OP→＝(acos θ，bsin θ)，由于∠OPA＝90°

一点，则AP，所→·→＝0，即(acos θ－a)acos θ＋b2sin2θ＝0， 以APOP

a2(cos2θ－cos θ)＋b2sin2θ＝0，

a2cos θ(cos θ－1)＋b2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.

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因为P与A不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a2cos θ＝b2(1＋cos θ)， b2cos θ2＝a1＋cos θ，

c2b2cos θ1

＝. 2＝1－2＝1－aa1＋cos θ1＋cos θπ3

因为θ∈(0，2)∪(2π，2π)， c212

所以a2∈(2，1)，e∈(2，1)．

x22

5．已知椭圆4＋y＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：OP·OQ为定值．

【证明】 设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)， B2(0,1)．

sin φ＋1

则MB1的方程：y＋1＝2cos φ·x， 令y＝0， 则x＝

2cos φsin φ＋1

，

2cos φ即OP＝||. 1＋sin φ

sin φ－1

MB2的方程：y－1＝2cos φx， 令y＝0，则x＝

2cos φ

. 1－sin φ2cos φ

∴OQ＝|

|.

1－sin φ

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∴OP·OQ＝|

2cos φ

|×||＝4.

1＋sin φ1－sin φ

2cos φ

即OP·OQ＝4为定值．

x＝1＋tcos α，x＝cos θ，6．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参

y＝tsin αy＝sin θ数)，

π

(1)当α＝3时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

π

【解】 (1)当α＝3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.

y＝3x－1，13

联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(2，－2)．

22x＋y＝1.(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.

A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 12

x＝2sinα，1y＝－2sin αcos α

(α为参数)，

11P点轨迹的普通方程为(x－4)2＋y2＝16， 11

故P点的轨迹是圆心为(4，0)，半径为4的圆．

x2y2

7．求椭圆C：16＋9＝1上的点P到直线l：3x＋4y＋18＝0的距离的最小值．

【解】 设点P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)， 则点P到直线l的距离

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|12cos θ＋12sin θ＋18|d＝ 5π

|122sinθ＋4＋18|＝

5π

122sinθ＋4＋18

5

－122＋18≥，

5

＝

π5π

当sin(θ＋4)＝－1时，等号成立．因为θ∈[0,2π)，所以θ＝4. 18－1225π

所以当θ＝4时，d取得最小值. 5

[能力提升]

x＝3cos θ

8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为，其中θ

y＝sin θ为参数．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为π

2ρcos(θ＋3)＝36.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．

【解】 直线l的普通方程为：x－3y－36＝0，设椭圆C上的点到直线l距离为d.

|3cos θ－3sin θ－36|d＝ 2

π

6sinθ－4＋36

2

＝

π

∴当sin(θ－4)＝1时，dmax＝26， π

当sin(θ－4)＝－1时，dmin＝6.

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