江苏省射阳县第二中学2015届高三上学期期中考试数学试卷苏教版

江苏省射阳县第二中学2015届高三上学期期中考试数

学试卷

1.已知集合A{1,0,1},B{0,,12}，则AB ．

22、若复数za1(a1)i(aR)是纯虚数，则z= .

3. 若等差数列{an}的前5项和S525，且a23，则a7 ． 4.已知a=（3,3），b=（1，-1），若（a+λb）（a-b），则实数λ=___ ___ 5.已知角α的终边经过点P（x，-6），且cosα=-

4，则x=___ ___ 56．若函数f(x)log2xxk(k∈Z* )在区间(2,3)上有零点，则k = ．

7. 若条件p：x14，条件q：x25x6，则p是q的 .（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或、既不充分也不必要条件） 8．曲线y2xlnx在点（1，2）处的切线方程是 ．

9.函数y2xlog1(x1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为____ _____．

210．已知a为非零常数，函数fxalg1x3(1x1)满足f(lg0.5)1，

1x则f(lg2) ．

yx22211．设m1，已知在约束条件ymx下，目标函数zxy的最大值为，则实数m3xy1的值为 .

2xx,x012．设函数fx若ffa2，则实数a的取值范围是___ ___ 2x,x0x2y23

13、已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交

ab2→→

于A、B两点．若AF＝3FB，则k＝____ ____．

14. 已知两条平行直线l1 ：ym和l2：y3（这里m0），且直线l1与函数ylog2xm1的图像从左至右相交于点A、B ，直线l2与函数ylog8x的图像从左至右相交于C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当m变化时，为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2BsinAsinC． （Ⅰ）求acb2的值；

（Ⅱ）若b2，且BABC3，求BCBA的值．

2b的最小值a

17．（本小题满分15分）

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元，其中用于风景区改造为y亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a亿元，至多b亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

（1）若a2，b2.5，请你分析能否采用函数模型y＝造投资方案；

1(x34x16)作为生态环境改100（2）若a、b取正整数，并用函数模型y＝请你求出a、b的取值．

1(x34x16)作为生态环境改造投资方案，100

18. （本小题满分15分）

已知圆M：x2y44，点P是直线l：x2y0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

19. （本小题满分16分）

若数列bn满足：对于nN，都有bn2bnd（d为常数），则称数列bn是公差为d的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若c13,c217，cn是公差为8的“隔项等差”数列，求cn的前15项之和； （Ⅱ）设数列an满足：a1a，对于nN，都有anan12n． ①求证：数列an为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列an的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k、S2k1、S2k2成等比数

2列（kN*）?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)x3ax(aR)，函数g(x)lnx. (1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；

(2) 若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；

(3) 当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.

3

高三数学阶段考试数学试卷及答案

1.已知集合A{1,0,1},B{0,,12}，则AB ． 答案：0，1

22、若复数za1(a1)i(aR)是纯虚数，则z= .

答案：2

3. 若等差数列{an}的前5项和S525，且a23，则a7 ． 答案：13

4.已知a=（3,3），b=（1，-1），若（a+λb）（a-b），则实数λ=___ ___ 答案：9

5.已知角α的终边经过点P（x，-6），且cosα=-答案：-8

6．若函数f(x)log2xxk(k∈N )在区间(2,3)上有零点，则k = ． 答案：4

7. 若条件p：x14，条件q：x25x6，则p是q的 .（填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或、既不充分也不必要条件） 答案：必要不充分

8．曲线y2xlnx在点（1，2）处的切线方程是 ． 答案：xy10

9.函数y2xlog1(x1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为____ _____．

24，则x=___ ___ 5答案：4

10．已知a为非零常数，函数fxalg1x3(1x1)满足

1xf(lg0.5)1，则

f(lg2) ．

答案：7

yx22211．设m1，已知在约束条件ymx下，目标函数zxy的最大值为，则实数m3xy1的值为 . 答案：23

2xx,x012．设函数fx若ffa2，则实数a的取值范围是______

2x,x0答案：a2

x2y2313、已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交

ab2→→

于A、B两点．若AF＝3FB，则k＝________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2BsinAsinC． （Ⅰ）求acb2的值；

（Ⅱ）若b2，且BABC3，求BCBA的值．

2

解：（Ⅰ）因为sin2BsinAsinC，

由正弦定理得b2ac，所以acb20 ……………………………4分 （Ⅱ）因为b2ac，b2，所以b22，ac2 所以BABCcacosB3，

2由余弦定理得b2a2c22accosB，所以a2c25．……………………………8分 所以BCBAa2c22BCBAa2c22accosB8

即BCBA22 ……………………………14分 16．（本小题满分14分）

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．

2（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；

（2）若AD3，AB=BC=2，P为AC中点，求三棱锥PA1BC的体积。

16．证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，

∴A A1⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC， ∴AD⊥BC，

∵A A1 ，AD为平面ABB1A1内两相交直线， ∴BC⊥平面ABB1A1， 又∵BC平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面ABB1A1 -----------------------------------7分

(2) 由等积变换得VPA1BCVA1PBC，

在直角三角形A1AB中，由射影定理(AB2BDBA1)知AA123， ∵AA1平面PBC，

∴三棱锥的高为AA123 --------------------10分 又∵底面积SPBC1---------------------------12分 ∴VPA1BCVA1PBC=1SPBCAA123 -------------14分

33法二：连接CD，取CD中点Q，连接PQ，∵P为AC中点，PQ//AD,PQ1AD 23, --------------------------9分 2由（1）AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC， AD3,PQ∴PQ为三棱锥P- A1BC的高，---------------------11分

由（1）BC⊥平面ABB1A1 BCBA1，SPBC4-----------12分

VP-A1BC23，----------------------------------------14分 3

17．（本小题满分15分）

某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x亿元，其中用于风景区改造为y亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a亿元，至多b亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得每年改造生态环境总费用的22%。

1(x34x16)作为生态环境改1001造投资方案；（2）若a、b取正整数，并用函数模型y＝(x34x16)作为生态环境改

100造投资方案，请你求出a、b的取值．

（1）若a2，b2.5，请你分析能否采用函数模型y＝

17．解：（1）∵y'∴函数y＝

1(3x24)0， 1001(x34x16)是增函数，满足条件①。------------------3分 100y116设g(x)(x24)，

x100x116(x2)(x22x4)则g'(x)， (2x2)2100x50x令g'(x)0，得x2。

当x2时，g'(x)0，g(x)在(,2)上是减函数； 当x2时，g'(x)0，g(x)在(2,)上是增函数，

又a2，b2.5，即x[2,2.5]，g(x)在[2,2.5]上是增函数， ∴当x2时，g(x)有最小值0.16=16%>15%， 当x2.5时，g(x)有最大值0.1665=16.65%<22%,

1(x34x16)作为生态环境改造投资方案。--------9分 100y116（2）由(1)知g(x)(x24)，

x100x∴能采用函数模型y＝

依题意，当x[a,b]，a、bN*时，15%g(x)22%恒成立； 下面求15x241622的正整数解。 x令h(x)x2416，--------------------------12分 x由(1)知xN*，h(x)在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数， 又由（1）知，在x0时，g(x)ming(2)，且g(2)=16%∈[15%，22%]，

x2符合条件，经枚举g(1)，g(3)∈[15%，22%]，

而g(4)[15%，22%]，可得x1或x2或x3，

由g(x)单调性知a1,b2或a1,b3或a2,b3均合题意。-------15分 18. 已知圆M：x2y44，点P是直线l：x2y0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

24b2b4b4（Ⅲ）因为圆N方程为xby 24222 即xy2bx(b4)y4b0 ……① 圆M：x2y44，即x2y28y120 ……②

②－①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：

2222bx(b4)y124b0 ……………………………10分

点M到直线AB的距离d 相交弦长即： AB24d24145b8b162 ……………………………12分

44 41225b8b164645b55当b4时，AB有最小值11 ……………………………15分 519.若数列bn满足：对于nN，都有bn2bnd（d为常数），则称数列bn是公差为d的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若c13,c217，cn是公差为8的“隔项等差”数列，求cn的前15项之和； （Ⅱ）设数列an满足：a1a，对于nN，都有anan12n． ①求证：数列an为 “隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列an的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得S2k、S2k1、S2k2成等比数列（kN*）?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

4n1，当n为奇数时；解：（Ⅰ）易得数列cn

4n9，当n为偶数时.前15项之和(359)8(1765)7535 ……………………………4分 22anan12n（nN）（Ⅱ）①（A）

an1an22(n1) （B）

（B）（A）得an2an2（nN）．

所以，an为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分

当n为偶数时，an2an12na， 2 当n为奇数时，an2(n1)an12(n1)n1ana1； ……………………………8分

nnnn11n22n221 ②当n为偶数时，Sna22a2n2；

22222n1n1n1n111n12222an1222 当n为奇数时，Sna2222121na． ……………………………12分 22 故当n2k时，S2k2k2，S2k12k22ka，S2k22(k1)2， 由S2k1S2kS2k2，则(2k2ka)2k2(k1)，解得a0．

22222所以存在实数a0，使得S2k、S2k1、S2k2成等比数列（kN*）

……………………………16分

20．已知函数f(x)x3ax(aR)，函数g(x)lnx.

(1) 当a＝1时，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值；

(2) 若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围；

(3) 当a＞0时，设h(x)＝|f(x)|，x∈[－1,1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式. 20、解：(1) 当a＝1时，f′(x)＝3x2－3，---------------------(1分) 由f′(x)＝0得x＝±1. 列表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －2 2 －2 2 -----------------------------------------------(3分) 所以f(x)min＝f(－2)＝f(1)＝－2.---------------------(4分) (2) 因为在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方，

lnx

所以x3－3ax＞lnx在[1,2]上恒成立，即3a＜x2－在[1,2]上恒成立．--------(6分)

x

lnx1－lnx2x3＋lnx－1

设m(x)＝x2－，则m′(x)＝2x－＝.

xx2x2

∵ 2x3－1＞0，lnx≥0，∴ m′(x)＞0，∴ m(x)在[1,2]上单调递增． ∴ m(x)min＝m(1)＝1，------------------------------(9分)

1

∴ 3a＜1，即a＜.---------------------------------(10分)

3

(3) 因为h(x)＝|f(x)|＝|x3－3ax|在[－1,1]上是偶函数，故只需要求在[0,1]上的最大值． 由f′(x)＝3x2－3a＝3(x＋a)(x－a)．

3当a≥1，即a≥1时，h(x)＝|f(x)|＝－f(x)，此时h(x)在[0,1]上单调递增． ∴ F(a)＝－f(1)＝3a－1.---------------------------(12分)

② 当0＜a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，a]上递减，在[a，1]上递增．

1

1° 当f(1)＝1－3a≤0，即≤a＜1时，h(x)＝－f(x)，

3∴ F(a)＝－f(a)＝2aa；(13分)

1

2° 当f(1)＝1－3a＞0，即0＜a＜时，

31

a) 当－f(a)≤f(1)即0＜a≤时，F(a)＝f(1)＝1－3a；

4

11

b) 当－f(a)＞f(1)即＜a＜时，F(a)＝－f(a)＝2aa.(15分)

43

1综上F(a)＝2aa，＜a＜14

3a－1，a≥1

11－3a，0＜a≤

4

(16分)