导数极限知识总结

导数极限知识总结——仅作了解切忌深究

一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 在导数问题的3）问中通常会出现形似

f(x)𝑔(𝑥)

的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。

引入：试求lim

显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是0式，一个则是，无法求导，这时就需要用到高端大气上

∞

0

∞

x3−3x+2

x→1x3−x2−x+1

试求 limxsinx

xxsinx档次的洛必达法则了。 1.使用条件

定理1 若函数f(x)与函数g(x)满足下列条件： （1）在a的某去心邻域v(x)内可导，且g'(x)0 （2）limf(x)0 limg(x)0

xa0xa0（3）limxa0f'(x)f(x)f'(x)A 则limlimA（包括A为无穷大的情形）

xa0xa0g'(x)g(x)g'(x)定理2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件 （1）在a的某去心邻域v(x)内可导，且g'(x)0 （2）limf(x) limg(x)

xa0xa0（3）

xa0limf'(x)f(x)f'(x)A 则limlimA（包括A为无穷大的情形）

xa0xa0g'(x)g(x)g'(x)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：

xx0,xx0,xx0,x,x,x。

简而言之，当满足0或 的不定式时，lim∞0

∞

xa0f'(x0)f(x)limA g(x)xa0g'(x0)此时就不再是不定式，不满足洛必达法则应用条件。 PS：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解

x3−3x+2

3x2−3

6xx→1

x→1

x→1

例一．limx3−x2−x+1 = lim3x2−2x−1=lim6x−2= 2

例二．lim3xsinx1cosxsinxlimlim()1 (此为错解)

xxsinxx1cosxxsinx此时就不再是不定式，不满足洛必达法则应用条件。 2

sinxxsinxx1（正解）lim事实上，lim，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以xxsinxxsinx1x1看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。

2.未定式的其它类型：0、、00、0、1型极限的求解

型这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如00，，00，1，0.等待定型，由于他们都可以转化为型或型，因此，也可以用洛必达法则

0 此外，除了型或来求出他们的值。

关于如何转换，例如limf(x)0,limg(x),则limf(x)g(x)是0形式，这时，可以写为

00f(x)g(x)f(x)g(x)0或00，0等不定式，可以取对数化，这就转化为型或型了。此外对于1，110g(x)f(x)为0的形式，再运用如上方法便可转化为型或1). 0形式

00[3]

下面对这些待定型一一举例解答以作说明。 型了，

f(x)g(x)0或 这就转化为了型或型 110g(x)f(x)limf(x)0,limg(x),可以写为f(x)g(x)2）形式（同理就简写了！！以下写法仅为记号）

3）00011000 . 00000、0、1形式

0 (对于此类内容切记它使用的条件，不要一味去滥用，毕竟取巧0ln0取对数1ln1 00ln

 0.不如实干，建议过一遍手，自己推倒一遍)

最后一个小括号里的是答案 练手时间： 求lim 求lim

1cosx.（1/2）

x0x2lnx(0).（0）

xx3

(0) 求 limn (n0)

lnxxxxn求 lim (n 为正整数，0) xex

xnnxn1n!x0 limlimnx0[解析]相继应用洛必达法则n次，得 xlimexxexxe求limx2ex.(0)∞) (+x

(0) 求lim().()x01sinx1x

(e) 求limxx.(00)x0

1 (e−1) 1x求limxx1.(1)

PS. 求lim.时 原式lim

故正解为 原式lim(1xxcosxxx1sinxlim(1sinx).xx11cosx)1.x从上面的例子可知洛必达法则的使用条件：充分不必要，下面将详细讲解洛必达失效问题

3.洛必达法则对于实值函数的失效问题

1）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件 即引入问题

中的

sinxxsinxx1 计算lim 解：原式=limxxxsinxsinx1x2）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件

1

exex(型) 多次求导后出现循环 计算limxxeex

4

三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件

1x0ett1(型) 正解：令t，则原式=limlimt1 计算limx0xx01x0e0xte

二．无穷小代替法

应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当x0时，

sinx~x，tanx~x,arcsinx~xex1~x,ln(1x)~x,

x21cosx~，1x1x~x

2用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换，下面举个例子作为比较。

1cosx2求lim2 x0xsinx214x1cosx212解1：（运用无穷小量代替法）lim2 limx0xsinx2x0x42解2：（利用洛必达法则）

1cosx22xsinx2sinx2 lim2=lim =lim2 x0xsinx2x02x3cosx2sinx2x0xcosx2sinx22xcosx2cosx21lim =lim==

x02xcosx22x3sinx22xcosx2x02cosx2x2sinx22三，夹逼定理（纯洁的人才不会想歪）

5

法一

法二：

四.椭圆求导不是梦之隐函数求导(摆脱窘境) 1.隐函数求导，解决一系列极值问题的大杀器。 比如

求y极值。我再补一句：两边求导数

得到另一条

曲线然后带回去解出来即可。

PS.1、通常的隐函数,都是一个既含有x又含有y的方程,将整个方程对x求导；

2、求导时,要将y当成函数看待,也就是凡遇到含有y的项时,要先对y求导,然后乘以y 对x的导数,也就是说,一定是链式求导；

3、凡有既含有x又含有y的项时,视函数形式,用积的的求导法、商的求导法、链式求导 法,这三个法则可解决所有的求导； 4、然后解出dy/dx；

5、如果需要求出高次导数,方法类似,将低次导数结果代入高次的表达式中.

再给几个例子应该就懂了： 例一：求导(x2)+ (y2)-(r2)=0

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并将y2看作x的复合函数则有即 2x+2yy'=0 ,于是得y'=-

x

y

从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y'的一次方程, 解出y'即为隐函数的导数.

例二： 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得2yy'=2p,解出y'即得y'=p/y

例三：求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得y’=ln y+xy' /y 解出y'即得 .

例四 由方程x2+xy+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程. 解: 将方程两边同时对x求导, 得 2x+y+xy'+2yy'=0, 解出y'即得

. y'=-(2x+y)/(x+2y)

（把y看作关于x的复合函数进行求导）

五．拉格朗日中值定理——微分学应用的桥梁

1罗尔Rolle中值定理

如果函数fx满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；（3）fafb,则在a,b内至少存在一点 ,使得f0'

罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线yfx在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧 AB 上至少有一点C,f ，曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，

'注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a,b的，使得f0. 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.

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2拉格朗日lagrange中值定理（图二）

若函数fx满足如下条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；则在a,b内至少存在一点，使f'fbfa ba拉格朗日中值定理的几何意义：函数yfx在区间a,b上的图形是连续光滑曲线弧 AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB. 如图2，

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若fx在闭区间a,b两端点的函数值相等，即

fafb，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的

一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数fx作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

3 证明拉格朗日中值定理

证明 作辅助函数 Fxfxfbfax

ba显然，函数Fx满足在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，而且FaFb．于是由罗

''尔中值定理知道，至少存在一点ab，使Fff'fbfa bafbfa0.即 ba4.柯西中值定理

若 ⑴ 函数fx与gx都在闭区间a,b上连续； ⑵ f ⑶ f''x与g'x在开区间a,b内可导；

x 与g'x在a,b内不同时为零；

⑷ gagb，

f'fbfa则在a,b内至少存在一点，使得'. bag

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，对于解一些不等式有着开拓视野的作用，在一些选 择填空最后一道题中有着一定作用

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六．泰勒展式——暴力美感

在实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示它，那多项式就是这种简单的形式。

首先还是先回到函数的局部线性近似这个概念。举个栗子，例如函数，时，即，自变量y会变化,带入到函数里面就有

当自变量有变化

当时，上式的后两项是的高阶无穷小舍去的话上式就变成了 也就是说当自变量x足够小的时候，也就是在某点的很小的邻域内，是可以表示成的线性函数的。

线性函数计算起来，求导起来会很方便。对于一般函数，当在某点很小领域内我们也可以写成类似上面的这种自变量和因变量之间线性关系，

变化一下形式在代入上式就有，

，

这个式子是不是很面熟？这个就是在点邻域内舍掉高阶无穷小项以后得到的局部线性近似公式了。为了提高近似的精确度，于是把上面的一次近似多项式修正为二次多项式（利用洛必达法则和二阶导数定义，为了理解推导忽略），在进一步，二次修正为三次。。。一直下去就得到了n阶泰勒多项式了。所谓更精确的近似也就是有了更高的密切程度，这种程度是通过导数来体现的。例如只做了一次近似的话

，近似的多项式和原始函数是通过同一点

的。若进

,

,

,移项有

行二次近似，近似的多项式和原始函数既过同一点，而且在同一点的导数相同，也就是多项式表达的函数在点的切线也相同。类似进行三次近似的话，不仅经过同一点，切线相同，弯曲程度也相同了。一直下去。。。。这样近似相关程度多大，近似的也就越精确了。

9 泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得。 对于正整数n，若函数时的一个定点，则对任意在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取 成立下式： 其中，表示的n阶导数，多项式称为函数的高阶无穷小。 在a处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 在之前的推 导中被省略 常见函数的泰勒展式 (这些知识仅作参考，考试中须写明公式名称，老师看得懂满分，看不懂可能只有答案分，毕竟书上讲的才是王道)