ＨＵＮＡＮ ＡＧＲＩＣＵＬＴＵＲＡＬ ＭＡＣＨＩＮＥＲＹ 湖南农机 ２００８．９ Ｇｒａｍ行列式在欧氏空问中几个重要结论 潘口口 （仰恩大学数学系福建泉州３６２０ １４） 摘要：文章利用Ｇｒａｍ行列式刻画了Ｅｕｃｌｉｄ空间中的一系列重要的度量概念如向量到线 性子空间的距离，向量与子空间的夹角，向量到线性流形的距离． 关键词：Ｇｒａｍ行列式欧氏空间线性流形 中图分类号：Ｏ１５１．２４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－８３２０（２００８）０９－０１２６－０２ Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｏｆ Ｇｒａｍ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄ ｓｐａｃｅ Ｐａｎｊｕｎｊｕｎ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｚｅｓ ａｂｏｕｔ ｓｏｍｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｏｆ Ｇｒａｍ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄ ｓｐａｃｅ，ｓｕｃｈ ａｓ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｓｔｎａｃｅ，ｖｅｃｔｏｒ－ｓｐａｃｅ ｎａｇｌｅ，ａｎｄ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｖｅ￣ｏｒ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｍａｎｉｆｏｌｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ，Ｅｕｃｌｉｄ ｓｐａｃｅ，ｌｉｎｅａｒ ｍａｎｉｆｏｌｄ ｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ，Ｅｕｃｌｉｄ ｓｐａｃｅ，ｌｉｎｅａｒ ｍａｎｉｆｏｌｄ 的旋性相反，称 在 得下侧。 在文献中给出了向量到空间的距离公式，本文利用此结 证明由引理２，容易知道ｏｃ与线性子空间∥中夹角是 论用Ｇｒａｍ行列式刻画了Ｅｕｃｌｉｄ空１９的几个重要度量单位。 与正交投影丫之间的夹角。设ｏｆ＝ ＋ ，其中 Ｅ Ｗ 引理１ Ｏｃｌ，ｏｃ２，…， 是线性子空间 的基底，则向量 ｓｉｎ（ａ ， ＝ ｓｉｎ０： ＝ Ｃｃ给出的点到 的距离６有６ 引理２给定的ｅ【与线性子空１９ Ｗ中一切向量的夹角 又因为 ∈Ｗｌ，则ｌＩ 『ｌ＝ ，所以有ｓｉｎ ｏ，而根据 以Ｏｃ与０【在Ｗ上的正交投影丫之间的夹角最小。 引理ｌ中公式， ２证明设 为任意给定的向量，丫是０ｃ在线性子空问中 Ｇ（ Ｉ， ２，…， ｔ， ） 一的正交投影，Ｙ 是 中任意向量，则Ｏｌ＝丫＋ ，其中ｐ∈Ｗ ， Ｇ（ｃｒ￣， ，…， ） 即（ｖ，１３）＝０，Ｏ ，ｐ）＝０于是（ｃｃ，ｙ ）：（ｙ， ）所以有 故可求得 到子空间 的夹角 。 定义 所谓线性流形 ： ＋ 和尸２＝ ２＋ 之间的 ｃｏｓ ，＝ ＝ ＝ ｃｏｓ 距离是指Ｐ．和Ｐｚ中任意两点间距离的最小值。 于是根据以上的分析，我们有 定理２线性流形 ＝ ＋ 和尸２＝ｏｆ２＋ 之间的 ≤ ～ …… ｓ（ｏｃ ） 距离等于向量ｏｆ１一口２关于线性子空间Ｖ＝ ＋ 的正交分 故（ ， ≤（ ， ）通过引理２，我们可以求得向量到子 量 的长度。 空间的夹角，有以下定理． 证明设 ∈ ， ∈Ｐ２，设 １一 ２在 上的正交投 定理１设 ， ２，…， ｔ是 性子空间Ｗ的基底，则向量 影为丫，贝４ Ｊ一 ２＝ ＋ ， ∈Ｖ Ｊ。，故 与空间 的夹角 ＝ａｒｃ虹ｎ （一 ≤ ）其中 为向 （ ｌ—Ｏｆ２）一 ＝ ∈Ｖ ， 又知道ｙ∈Ｖ＝ ＋ ，所以 量０ｃ到 的距离，且 。若０≤ ｓ ， ＝ ｌ＋，，２，其中 ｌ∈ ，ｙ２∈ ， ｌ一 ｌ＋ ∈ Ｕ “ｌ，“，，…，“ ， Ｚ 则 ｌ，Ｏｔ２，…， ， 与 ｌ， ：，…， 的旋性相同，称ｏｃ Ｙ，＋ ，一三，∈ ，因此有 在Ｗ的上侧；若一 ≤０ 则 ＋（ 一 Ｉ）一（ 一 ２）＝（ ｌ— Ｉ）＋ ＋（ ２＋ ２）一 ． 所以（ 一 １）＋ ＋（ ２＋ ２）一 ∈ ＋ ＝Ｖ． ＯｆＩ， ２，…， ， 与 Ｉ， ，，…， ｝ （下转第ｌ３１页） 收稿日期：２００８．０９．０１ 作者简介：潘口口，福建省泉洲仰恩大学数学系，研究方向：高等数学 ・ ｌ２６・ ２００８．９ 赵贤炯：混凝土面板堆石坝料场优化模型研究 则ｓ 、ｓ，分别表示 在 上下变动的边际值。 选用磨盘子料场系统总成本费用Ｚ｜１Ｉ．．＝８９４２．５万元，其 由式（２４）和式（２５）边际值，可以估计变量在不同分枝点 中磨盘子料场，开采量分别是２５０万ｍ。、１５０万ｍ ； 上的界值。很明显，对于非基变量 ， 从零增加一个单位， 选用长沙坝、沙湾Ａ区料场系统总费用Ｚｍｉｎ＝１０３３８．４４ 目标函数增加 。如果 为目标函数下界，则 的变化范围 万元。其中长沙坝开采２８０万ｒｌｌ。、沙湾Ａ区料场开采１２０ 为：０≤ ｓ 一Ｚｏ）， ＝ Ｊ∈ＮＢ （２６） 万ｍ３： 这里 为 的上界。当 ＜１时，在这个分枝上 』薯０。 选用沙湾料场系统总费用Ｚ ．＝１０７９３，５万元，开采４００ 同样地，对于基变量 ，由式（２４）和式（２５）可知， ，ｓ２￣ｘ， 万ｍ］。 在．《附近增加或减少的边际值，则 的变化范围为： 《一（ 一Ｚｏ）ｌＳｌ ｘｋ≤． ＋（ 一Ｚｏ）／ｓ２（２７） 参考文献： 由式（２６）和式（２７）可以估计每次分枝迭代后变量的界 【１】汪应洛、陶谦坎；运筹学与系统工程【Ｍ】．机械工业出版社． 值。 １９９９ ’５计算参数的取定与计算结果 【２】汤代焱等．运筹学【Ｍ】．中南大学出版社．２００２ （１）计算参数的取定 ［３】袁光裕等．用系统方法进行砂石料料场规划［Ｊ】．人民黄河． １９８４（０２） 总储量 从斟精剥壤筑 单 备料塌开采单位 料扇启用投资 位体积运输费 （元 体积石科费用 【４】梅锦；党立本．水利水电施工手册（第二卷）［１ ．北京：中国电 （万 ） （７／．ｒｒ３ ／Ⅲ１） （元／＿’） 力出版社．２０００ 沙湾料场 Ｉ４１７．２５ Ｉ＿２ ８ ５ ｌ６０ｏ 瘩盘予料场 ６７５．００ ｌ ２ ８ ５ ｌ００ｏ 【５】段伟；黄辉．洪家渡面板堆石坝的施工特点［Ｊ】．混凝土面板堆 长沙坝料场 １２１３．５２ ｔ ５ ８ ５ ２ｏ０ｏ 石坝工程．２００２（０４） （２）计算结果 根据上述资料数据，用优化模型计算结果如下： （上接第１２６页） 定理３已知线性流形 ＝ 十 和 ＝ ２－Ｉ－ ，设 又知 ＝（ ｌ一 ！）一ｙ∈Ｖ 口ｔ， ２，…，口提线性子空间Ｖ＝ ＋ 的基底，则线性流形Ｐ１ 故有 ＋（ 一 ）一（ ２一口：）１上Ｒ口．一口 ）一７１． 和Ｐ２的距离Ｚ等于 因此有 ｒ ２一Ｇ（ａｌ， ２，…， ｔ， ｌ一 ２） 一蠡ｌ ＝ｌｉｔ＋Ｃ，一 ）一（己一 ）】十ｋｑ—ｏｑ）一 ｆ Ｇ（ａＩ， ２，…， ） 证明根据定理２和引理１公式，我们容易得到上述定 ＝ｌ｛（口，一口 ）一 ＩＩ！＋０ ＋【 一吼）一（ 一 ：）旷 理。 ≥ ｑ一 ）一川 ＝ｌ 即线性流形 ＝口ｌ＋ 和尸２＝ ＋’，２之间的距离 参考文献： 等于向量 ｌ一 关于线性子空间Ｖ＝ ＋ 的正 【１】黄谆．格拉姆行列式的几个重要结论【Ｊ］．数学通报．１９９５（０４） 交分量 的长度 ｆ。 【２】黄廷祝．矩阵理论［Ｍ】．高等教育出版社．２００３ ・