河南省洛阳市洛宁县第一实验中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试题

学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列运算正确的是（ ） A．a2a2a4

B．(b2)3b6

C．2x.2x22x3D．(mn)2m2n2

2．一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（ ） A．1

B．-1

C．2

D．-2

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E，若∠CBD：∠DBA=2：1，则∠A为（ ）

A．20° B．25° C．22.5° D．30°

4．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）

A．AE＝EC

B．AE＝BE D．∠EBC＝∠ABE

C．∠EBC＝∠BAC

5．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A．4

B．16

C．34 D．4或34 6．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（ ）

A．8 B．9 C．

24 5D．10

7．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（ ） A．三角形中有一个内角小于或等于60° C．三角形中有三个内角小于或等于60° 60°

8．小明家下个月的开支预算如图所示，如果用于衣服上的支是200元，则估计用于食物上的支出是（ ）

B．三角形中有两个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于

A．200元 B．250元 C．300元 D．350

9．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的百分比是( ) A．10% B．20% C．30% D．40%

10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）

A．12 C．8

二、填空题

11．计算：|-2|38=______．

B．10 D．6

12．如图，以数轴的单位长度线段为边做一个正方形以表示数2的点为圈心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B,则点A表示的数是_________

13．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是________．

14．实数5，2，，9，1中，其中无理数出现的频数是______________． ．．715．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上以动点，则

CDM周长的最小值为_____________

三、解答题

16．已知2a1的算术平方根是3， 3ab1的平方根是4，c是13的整数部分，求 a2bc的平方根. 17．计算

2（1）(3x2)(2x3)(x1)

（2）(x2y)(x2y)2y(x2y)2xy

18．如图，ABC中，ABAC，ABC45，BEAC于点E，ADBC于点D，BE与AD相交于F.

（1）求证：BFAC （2）若CD1，求AF的长.

19．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．

（1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积.

20．某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．

请结合以上信息解答下列问题： （1）m= ；

（2）请补全上面的条形统计图；

（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为 ；

（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有 名学生最喜爱足球活动． 21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？

22．为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一

辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为

60km/h，请问这辆小汽车是否超速？

23．如图,已知△ABC中,∠B=90°，AB=8，CB=6，P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.

(1)当t=2秒时,求PQ的长;

(2)求出发时间为几秒时,△PQB是等腰三角形?

(3)若Q沿B→C→A方向运动,则当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等 腰三角形的运动时间．

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：A．a2a22a2，故本选项错误； B．(b2)3b6，故本选项正确； C．2x.2x24x3，故本选项错误；

D．(mn)2m22mnn2，故本选项错误． 故选B．

考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 2．B 【分析】

根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】

解：根据题意可得：2a1a20， 解得a1， 故选：B． 【点睛】

本题考查了平方根的概念，正确理解一个正数的两个平方根的关系，求得a的值是关键． 3．C 【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD=DB， ∴∠A=∠DBA，

∵∠CBD：∠DBA=2：1，

∴在△ABC中，∠A+∠ABC=∠A+∠A+2∠A=90°， 解得∠A=22.5°．

故选C．

考点：线段垂直平分线的性质． 4．C 【解析】

解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大． 5．D 【解析】

试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：3252=34； 当5是斜边长时，第三边长为：5232=4． 故选D． 6．C 【分析】

本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高. 【详解】

∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，

∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， 则由面积公式可知，S△ABC＝∴AD＝

11ABAC＝BCAD， 2224.故选C. 5【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD的值. 7．D 【分析】

熟记反证法的步骤，直接选择即可．

【详解】

根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设三角形中没有一个内角小于或等于60°． 故选D. 【点睛】

此题主要考查了反证法的步骤，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 8．C 【解析】

试题分析：先求出总支出，再根据用于食物上的支出占总支出的30%即可得出结论． 解：∵用于衣服上的支是200元，占总支出的20%， ∴总支出==1000（元），

∴用于食物上的支出=1000×30%=300（元）． 故选C．

考点：扇形统计图． 9．A 【解析】 【分析】

根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其百分比． 【详解】

根据题意得：40-（12+10+6+8）=40-36=4， 40=0.1=10%， 则第5组所占的百分比为4÷故选A． 【点睛】

此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键． 10．B 【分析】

已知AD为CF边上的高，要求△AFC的面积，求得FC即可，求证△AFD≌△CFB，得设DFx，则在Rt△AFD中，根据勾股定理求x，于是得到CFCDDF，BFDF，即可得到答案． 【详解】

解：由翻折变换的性质可知，△AFD≌△CFB，

DFB'F，

设DFx，则AFCF8x，

在Rt△AFD中，AF2DF2AD2，即(8x)x4， 解得：x3，

CFCDFD835，

2221S△AFCAFBC10．

2故选：B． 【点睛】

本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到△AFD≌△CFB是解题的关键． 11．0 【分析】

先化简绝对值，以及求立方根，然后相减即可. 【详解】

解：238=22=0； 故答案为0. 【点睛】

本题考查了立方根和绝对值的定义，解题的关键是正确进行化简. 12．22 【分析】

由图可知，正方形的边长是1，所以对角线的长为2，所以点A表示的数为2减去圆的半径即可求得. 【详解】

由题意可知，正方形对角线长为1212为22. 故答案为22. 2，所以半圆的半径为2，则点A表示的数

【点睛】

本题主要考查了数轴的基本概念，圆的基本概念以及正方形的性质，根据题意求出边长是解题的关键. 13．5 【分析】

过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】

解：过D作DE⊥AB于E，

，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝2，

∴△ABD的面积＝故答案为：5． 【点睛】

本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 14．2 【解析】

根据题意可知无理数有：5和π，因此其出现的频数为2. 故答案为2. 15．10 【分析】

根据线段的垂直平分线定理，可知C点与A点关于点E对称，此时MC=AM，

11×AB×DE＝×5×2＝5， 22CCDMCDCMMDMAMDCD，由于CD为定值，当MA+MD最小时，

CDM的周长才有最小值，而当A、M、D三点处于同一直线时，CDM的周长取得最小

值. 【详解】

如图，连接AM，可得：

∵腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点 ∴AMMC

CCDMCDCMMDMAMDCD

根据两点之间线段最短，可得

CCDMminADCD

在等腰三角形ABC中，底边BC长为4，面积是16， ∴SABC1ADBC16，解得AD=8, 2ADCD8210

CCDMmin【点睛】

本题考查等腰三角形的面积计算以及线段的垂直平分线性质，熟练运用线段的垂直平分线性质是解题的关键. 16．6 【分析】

根据平方根的定义列出方程求出a,b，利用实数的估算求出c即可求解. 【详解】 解：由题意得：2a19，

3ab116∴a5,b2． ∵91316， ∴3134．

∴c3． ∴a2bc6．

∴a2bc的平方根是6． 【点睛】

此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根、算术平方根的定义. 17．（1）5x27x7 （2）x2 【分析】

（1）根据整式的乘方运算即可求解； （2）根据整式的乘方运算即可求解； 【详解】

解：（1）(3x2)(2x3)(x1)

26x29x4x6x22x1 5x27x7；

222（2）原式x4y2xy4y2xy

x2．

【点睛】

此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则. 18．（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质证明BDF≌ACD即可求解；

（2）连接CF， 先证明DFC是等腰直角三角形，BE是AC的垂直平分线，故可求解. 【详解】

解：（1）ADBD，BAD45， ∴ADBD，

∵BFDAFE，AFECAD90，CADACD90， ∴BFDACD，

在BDF和ACD中，

BFDACDBDFADC， BDAD∴BDF≌ACD(AAS)， ∴BFAC；

（2）连接CF， ∵BDF≌ADC， ∴DFDC，

∴DFC是等腰直角三角形． ∵CD1， CF2 ∵ABBC，BEAC，

∴AEEC，BE是AC的垂直平分线． ∴AFCF， ∴AF【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理.

19．（1）∠D是直角．理由见解析；（2）234. 【分析】

（1）连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可；

（2）根据△ACD和△ACB的面积之和等于四边形ABCD的面积，进行计算即可． 【详解】

2．

（1）∠D是直角．理由如下： 连接AC．

∵AB=20，BC=15，∠B=90°， ∴由勾股定理得AC2=202+152=625． 又∵CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=625， ∴AC2=CD2+AD2， ∴∠D=90°．

（2）四边形ABCD的面积=

1111AD•DC+AB•BC=×24×7+×20×15=234． 2222

【点睛】

考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键． 20．（1）150，（2）36°，（3）240． 【分析】

（1）根据图中信息列式计算即可；

20%=30人，补全上面的条形统计图即可； （2）求得“足球“的人数=150×

×（3）360°乒乓球”所占的百分比即可得到结论； （4）根据题意计算即可． 【详解】

14%=150， （1）m=21÷

20%=30人， （2）“足球“的人数=150×

补全上面的条形统计图如图所示；

×（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°20%=240人， （4）1200×

答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动． 故答案为150，36°，240．

15=36°； 150

【点睛】

本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键． 21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米 【解析】

试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离； （2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可. 试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米， 梯子距离地面的高度AE=25272=24米． 答：此时梯子顶端离地面24米；

（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米， ∴BD+BE=DE=CD2CE2=252202=15， ∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米． 答：梯子底端将向左滑动了8米． 22．超速 【分析】

根据勾股定理求出BC的长，再求出汽车的速度即可求解. 【详解】

解：超速． 理由如下：

在RtABC中，AC60m，AB100m， 由勾股定理可得BCAB2AC2100260280，

∴汽车速度为80420m/s72km/h， ∵7260，

∴这辆小汽车超速了． 【点睛】

此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的运用. 23．（1）PQ213； （2）

8秒； 3（3）t为5.5秒或6秒或6.6秒． 【分析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可； （2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；

（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【详解】

2=4cm， （1）解：（1）BQ=2×BP=AB-AP=8-2×1=6cm， ∵∠B=90°，

PQBQ2BP24262213；

（2）解：根据题意得：BQ=BP， 即2t8t ，

8； 38即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；

3解得：t（3）解：分三种情况：

①当CQ=BQ时，如图1所示： 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=5， ∴BC+CQ=11， 2=5.5秒． ∴t=11÷

②当CQ=BC时，如图2所示： 则BC+CQ=12 2=6秒． ∴t=12÷

③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E， 则BE∴CEAB•BC684.8 （cm） AC10BC2BE2=624.823.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm， ∴BC+CQ=13.2cm， 2=6.6秒． ∴t=13.2÷

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 【点睛】

本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．