第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程

H原子和He+、Li2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：

VZe24r 将势能代入薛定谔方程：

02 得  或[h282m(Eh22Ze2)r0

8m2Ze2]rE

为了解题方便，将x、y、z变量换成极坐标变量r、θ、φ。 其关系：xrsincos y z rrsinsin

rcos

2x2y2z2

cos tg 2Z/(xyz)22212

y/x

1(r2)rsin1r2{r(sin21)2} sin2代入薛定谔方程：

1r2r11(r2)rr2sin(sin211)22rsin282m(Eh2Ze2)r0

2.1.2.分离变量§法：

上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。

含：(r,,)可

1d2d2r2sin2R(r)()() 代入方程：并乘以R 移项

得：

s2dR2dRsd(r)drdrd(di82u)2dhr2s2i(EVs)n左边不含r、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m2 ）

d2 2dm2, 而右边可为：（除以sinθ

2dR82ur2(rdr)2h）

d 1Rdr(EV)msin21sindd(sind) d则有：

m2

sin2d 1Rdr1sindd(sind)dK

Ze2)r2dR82ur2(rdr)2h(EK

2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解

d2 2dm20

这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。 mAexp[im](m|m|)

2*dexp[im]exp[im]d1 0mm2Φ符合波函数品优条件：连续、单值、电子边界条件（归一） 20  m1 212[]exp[im]

2)

α、φ周期变化，Φm 值不变 m()m( exp[im]exp[im(2)]exp[im]exp[im2] 得： exp[im2]1

根据Euler 公式 exp[im]cosmisinm cos(m2)isin(m2)1 故m取值必须为：m0,1,2,(量子化)

2.1.3.2.○H（θ）方程的解。

m2 2sin1sindd(sind)dk两边乘

d 1sind(sindm2)2dsink0

要使方程得到收敛解，并有确定值，k必须限制（解过程很复杂）。 k l,ml(l1)l0,1,2,

|m|221(2l1)(l|m|)!12{}(1cos)2(l|m|)!2ll!dl|m|dcosl|m|(cos21)l

（缔合勒让德函数） 2.1.3.3.R（r）方程的解。 同理对R（r）方程，将kd 12drr2m(r2dR)[(Edr2l(l1)代入

l(l1)Ze2)]R40rr20

解得：

Rn,l1l2Z3(nl1)!22{(na)}e2n([(nl)!]30d2l1dnldnl[ednl(enl)]

其中：2Zr，并有：Enna022me4Z222nhn1,2,3

最后得到完整的单电子波函数：

n,l,m(r,,)Rn,l(r)l,m()m()c{nli1Zrli1na0ci(a)e}Pl|m|(cos)eim0Zr

n,l,mRn,l(r)Yl,m(,)

上述各波函数都归一化，即

 20*d1,*0sind1*2RRrdr01,0Y*Ysindd1



0 2.1.4.结论

02*2rdsindrdd01,dr2sindrdd

并有量子数n、l、m。

1量子数的物理意义。 ○

量子数以整数跳跃取值，不连续，量子化的体现。 A、主量子数 n1,2,3nl

E12.178108J13.595(eV)主量子数决定了电子状态的能量，基态时n=1。

En22me4Z222nh1n2

En13.595B、角量子数 l(eV)n1,2,30,1,2,3,n1lm

2 将角动量平方算符作用于单电子波函数，可得：

2l(l1)(2h)

2则

2h2l(l1)(2h)或|M|l(l1)2l0,1,2,n1

由此可见，上式中量子数l决定了电子的角动量大小，故称角量子数。原子的角动量和原子的磁矩有关，只要有角动量也就有磁矩。其关系为：

e2mMceez2me

ce || ze2meceehl(l1)2hl(ll)l(l1)

4mceeh2mm

mc221J /K 称波尔磁子。 4eh9.2710mce 其中，C、磁量子数 m

角动量度Z方向的分量与m有关，即： zm2hzm2hm0,1,2,,l

这也说明，Z方向是磁场方向，m决定了角动量在这方向上的分量大小，是量子化 的，称磁量子数。

电磁学指出，磁铁在磁场中取向不同时，能量会不同，其表示： cosuzm

由此可见，原子像小磁铁在无外场时，n ，l相同，m不同时，能量本来相同，但当处于外加磁场中，m 不同时，能量就不同了，称在磁场中能级分裂，如： l1时，m0,1 在磁场中分裂成三个能级

m=1 m=0 m=-1 H>0

H=0 此现象称为塞曼（Zelman）效应，证实了角动量在磁场方向分量的量子化。

2l,m(r,,)○

R(r)()()R(r)Y(,) 称为单电子波函

数，也称为原子轨道或原子轨迹。 3量子数取值是有限制的。 ○

n:1,2,3, l:0,1,2,3,(n1)

m:0,1,2(l)ln1 同一个n之下有

2(2l1)n个不同波函数，则说明同一个En之下l0有n个独立状态，称简并度（能量相同，运动方式不同）。

2.1.5.角函数（球谐函数）

2.1.5.1.几种常用的球谐函数Y（θ，φ） Yl,m(,)——球谐函数

001121143810sinei34cos5161138sinei

20(3cos21)1532516sincosei22sin2ei2.1.5.2.原子轨道角函数

对同一个能量下的简并态，1,2,n 1122

 如这些波函数组成新的线性波函数，仍然是该能量的本征函数即：是一个新的简并态。 (c11c22)(c11c22) 应用光谱学的习惯表示，将 l每一个l之下有2l0,1,2,3 等状态化为：s,p,d,f，而在

1 个独立状态用： x,y,z,z2,xy,xz,yz,x2y2等加

以区别。

S00x121431(222(1111))sin(eiei))sincos31(222)sincosyi12(1111)i12(2z10dz220dxz123432cos(3cos21)154154516(2121)sin2cossin2sin1516dyzi12(2121)dx2y2dxy

1i212(2222)1516sin2cos2(2222)sin2sin22.1.6.波函数和电子云的图形

波函数ψ是三维空间坐标的函数，可用图形表示出来，从而使抽象的数学表达式成为具体的图形。 2.1.6.1.角度分布图

○aY角度分布图（Y的图形） s001014(常数) 球面（任意方向都一样） rcos 与φ无关

90)(节面)(X0,Y0)

0,180)

1 4 pz34 XY平面几率为零( 在Z轴正负方向上几率最大( 两个在XY平面上下相切的球

dz220 1516(3cos21)130cos5444'{12516'(节面)

Ymax同理： Px Py0,90,180(极大值):YZ平面为节面， X0,Y0

:XZ平面为节面， y0,Y0

00{xy0平面00{YZZX平面0

dxy:xy dxz:xz dyz: dx200{xz0平面00{YZXY平面0

y0yz0{z0平面00{XZXY平面0

yy2:x2y20(xy)(xy)0{xxy

Y正负交替排布，交界的地方为节面，与n无关。 b Y2 的角度分布图 ○

Y（电子云），表示电子出现在径向θ、φ方向上单位立体角的几率，还表示同一球面上各点几率密度|ψ|2 的相对大小。 电子云的角度分布与原子轨道角度分布是相似的。

区别：Ⅰ、电子云的角度分布比原子轨道角度分布要“瘦”一点；

Ⅱ、原子轨道分布有正、负之分，而电子云均为正值。

注：角度分布正负只与Ｙ有关，整个ψ的正负还要考虑Ｒ的符号。化学反应与电子运动有关，因此波函数的性质尤其是Ｙ的图形和正负号有重要作用。 （２）径向分布函数和径向分布图

对于ψ＝ＲＹ，其中，Ｒ～r的函数在球坐标表达式中，空间某点（r，θ，φ）附近的体积元在其中找到的电子的几率为：

222d00|R|||rsindrdd222

2

rRdrr2R2drD(r)dr2200||sindd2

D(r)r2R2 D(r)称为径向分布函数，其物理意义是：D(r)dr 代表在半径为r和

rdr的两个球壳夹层内找到的电子几率，电子云随半径变化情况。

D(r)~r作用称为径向分布图，有如下结论： ○1n决定电子分布离核远近。

○2核上无电子出现，但n大的电子也有在核近的地方活动。 ○3有(nl)峰；(nl1) 个节面。

b. 2的角度分布图

（电子云），表示电子出现在径向θ、φ方向上单位立体角内的几率，还2

表示同一球面上各点几率密度||2的相对大小。

电子云的角度2分布与原子轨道角度Y分布是相似的。

区别：

1、电子云的角度分布比原子轨道角度分布要“瘦”一点。 2、原子轨道分布有正负之分，而电子云均为正值。

注：角度分布正负只与Y有关，整个Ψ的正负还要考虑它的符号，化学反应与电子运动有关，因此波函数的性质，尤其是Y的图形和正负号有重要作用。 2.1.6.2.径向分布函数和径向分布图。

对于RY其中R~r的函数 在球坐标表达式中，空间某点(r, θ,φ)

附近的体积元dr2sindrdd 在其中找到的电子的几率为：

d

2200|R||Y|2r2sindrdd202r2R2drD(r)dr0|Y|2sindd

r2R2dr令D(r)r2R2D(r)称为径向分布函数，其物理意义是：D(r)dr代表在半径为r和r+dr的

两个球壳夹层内找到的电子几率，电子元随半径变化情况。

Ｄ(r)～r作用称为径向分布图（Ｐ56）。有如下结论： 1n决定电子分布离核远近。 ○

2核上无电子出现，但n大的电子也有在核近的地方活动。 ○

3有（n-l）峰；（n-l-1）个节面。 ○

2.1.6.3.等密度图和界面图

1等密度图：通常把在纸面上不易表达的三维数值，通过原子核及某些坐标○

轴的截面上，把面上各点的r, θ,φ值代入Ψ中，然后要据Ψ值的正负和大小画出等密（值）线，称为等密度图。

2界面图：为了了解电子分布的几率，可取一个等密度面，使在面内出现的○

几率达到总几率的一定百分数，如：

0.9||d0.5||d

注：电子云是指电子长时间出现的结果（统计结果），并非无限多个电子构成“云”。 §2.2.多电子原子的结构 2.2.1.氦原子 2.2.1.1.原子单位

把质量用电子质量me，电荷为质子电荷e ，长度为a，能量为电子伏特（1哈密顿）称为原子单位，则波动方程可简化为：

212r

2.2.1.2.轨道近似法

氦原子有两个电子，在原子单位下，波动方程为： [12(12)22r1r21r12]

(r1,1,1;r2,2,2)

近似法，忽略两电子的排斥势

212 (121r)(22r)

1222分离变量：(1,2)1(1)2(2) 简化为两个氢原子方程：

212 (121r)111 (22r)222

1222 12 波函数1(1)类氢原子：n13.6 108.8ev

2.2.2.多电子原子结构

2n21(2)2e2r132(2)1(2)2e2r2

312413.6ev54.4ev

(实验值:79.0ev) 偏差较大。

多电子原子与单电子原子最主要的区别是含有两个以上的电子，这样在电子间就存在静电库仑作用，其排斥能为：

e2 Eij

4rijrij对含N个电子的原子，其哈密顿算符应为：

Ne2i1h282mi2e21e2

r2ri1iijiijN第一项为动能，第二项为单电子位能，第三项是电子间排斥能；由于第三项涉及到两个电子间的坐标：rij(xixj)2(yiyj)2(zizj)2 不可能分离，求解困难，要采用近似法处理。

2.2.2.1.中心力场近似

这种中心力场模型主要认为除考虑的电子外其它电子所产生的一个有效平均场是一种球对称场。这有效平均场是指每一个电子在这种场中其它电子坐标都在对电子排斥能求平均的过程中被去除掉了，唯独只剩下各该电子自己坐标作为变量，能量算符在形式上变成和其它电子的相对位置无关。

由于是球形对称，其排斥能可写ui(ri)只与ri有关，与θ、φ无关。在这种

近似下，其中某个单电子薛定谔方程：

h2ze22ii(ri)[82m4riui(ri)]i(ri)ii(ri)

那么整个体系的波函数：（有n个电子）

123n123n

总结起来，在这种近似下，多电子原子可以看作是Z个电子在各自的原子轨道上运动，这些轨道像氢原子轨道一样，用n、l、m表示，角度部分与氢原子轨道相同，只是r部分不同，能量不仅与n、l有关，而且与其它电子有关。整个体系能量为各个电子能量之和，整个波函数是所有电子的波函数的重组。

2.2.2.2.屏蔽效应（Slater规则）

在中心力场近似下，我们可以看出：电子的排斥能一定会抵消核吸引能的作

e2ie2用。因此可假设： ui(ri) rijrii—电子i的屏蔽常数，相当于抵消了i个原子核正电荷的作用。这样i电子

就好像处在一个以原子核为中心的单中心平均有效场中，其位能形式：

(Zi)e2Ze2ie2Z*e2Vi(r)

ririririZ*Zi称为有效核电荷，其哈密顿算符与单电子原子算符相似：

ih282mi2Z*e2

ri其能量： i13.6(Zi)n2213.6Z*22n(ev)

1屏蔽常数的影响因素 ○

a外层电子对内层电子屏蔽作用小（有一定屏蔽作用）。 ○

b内层电子对外层电子屏蔽作用大。(0.85~1.0) ○

c同层电子l大的屏蔽作用小。（0.2~0.45） ○

考虑电子i本身 n考虑其余电子时 n2多电子原子能级计算： ○

i13.6an相同，l不同时，l○

iilli i

(Zi)2n2(ev)

**3d3p

3d3pb n , l 都不同时，有效主量子数 n’ 不同 ○

n'n0.7l(原子)3d4s(原子)n'n0.4l(离子)3d4s(离子)

这表明考虑屏蔽效应后，电子能量与 n, l, 有关，而且与其它电子数目和状态有关。

l0,1例如：n1naxbycz(光谱数据)a0.3a0.351s电子b0.85碳原子*60.35.70 c11s13.6n1内层的电子数

x — 同n , l 的电子数 y— (n-1)的电子数 z=(n-2)或更

Co：1s22s22p63s23p63d74s2

对于4s电子，0.3510.851511023.1 4s13.6 K：1s22s22p63s23p64s1

对于4s电子，0.85811016.8

(2723.1)24212.93(ev)

13.6 4s

2.2.2.3.钻穿效应

(1916.8)2424.11(ev)

n'3.74s4.81(ev)我们已经知道，对于n 相同 l 不同的轨道能量是：l 越大 ，E越高。

nsnpndnf

这就是钻穿效应，也就是屏蔽多少的问题，屏蔽越多，能量越高，反之越低。一般讲，在原子核附近出现几率较大的电子屏蔽较少，直接接受核电荷的吸引，能量较低；相反，在原子核附近出现几率较少，屏蔽多，能量则高。

根据量子力学求平均值的原理：多电子原子的位能平均值 V2EE1V

2*e2V(r)r*21**e2()d2r*2

1*e1e2R()Rrdr)Ddr(Rr2D(r))0(2r2r由此可见径向分布函数D对原子轨道的能量有重要影响。在原子核附近，r 值小、Z*值大、V值低。对于n 相同l 不同的轨道在核附近出现的几率大小可以比较它们的径向分布函数的大小。l 越小，离核越近。 其在核附近电子出现的几率相对大小为：ns  np  nd  nf 而轨道能量次序则相反为：ns np  nd  nf

这种由于l 不同轨道电子云径向分布不同、电子云钻到核附近的几率不同，在核附近电子出现几率较大的轨道称钻得较深的轨道，引起能量不同的现象称为钻穿效应。也反映了外层电子对内层电子也有一定的屏蔽作用。因为电子活动不局限于主峰上，有一部分钻到离核很近的内层。

2.2.2.4.电子的核外排布规则

原子处在基态，其核外电子排布遵守三个规则：

1、Pauli 不相容原理：在一个原子中，没有两个电子有完全相同的四个量子数，即一个原子轨道最多只能排两个电子，而且这两个电子自旋方向必须相反。 2、能量最低原理：在不违背Pauli 原理的条件下，电子优先占据能级较低的原子轨道，使得整个原子体系能量处于最低。

3、Hund 规则：在能级高低都相等的轨道上，自旋平行的电子数目最多时，原子的能量最低。因此，全充满，半充满或全空状态较稳定，此时电子云分布近于球形。

原子轨道顺序：1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p ……次序“颠倒”的主要原因是钻空效应。原子电子的核外排布称组态。

§2.3.原子状态和原子光谱项

对于多电子原子，可以近似地认为原子中的电子在各自的轨道上运动，其运动状态可由量子数n, l, m, ms 规定。再根据电子核外排布（称为组态）说明了原子中各个单电子所处的状态。但这不足以表达原子整体运动状态。因为各电子间相互作用，不是简单的加和，而且电子轨道运动和自旋运动产生的磁矩也要相互作用，情况也是复杂的。无法与光谱实验联系。

实验表明光谱实验可以表达原子的整体状态，原子状态变化了，可从原子光谱中反映出来。所以对一个原子状态，可由原子的轨道角动量、自旋角动量和总角动量规定，这样就有另一套量子数 n、L、S、J、ML 、MS 、MJ 与光谱实验相联系来表达原子的状态。

2.3.1.角动量偶合

1原子的总轨道角动量ML为各电子轨道角动量之和。 ○

MLL(L1)h 2 L—原子总轨道角动量量子数；令各个电子的角动量量子数为li ；两个角动量的加和称为角动量偶合。即l—l 偶合，偶合规则为：

Ll1l2,l1l21,,|l1l2|

原子轨道的角动量在Z轴方向的分量为：

(ML)ZmLh 2mL—原子磁量子数，mL0,1,2,,L

mLmi，组态中各电子磁量子数m 加和得到各可能的mL 。

2原子的总自旋角动量： ○

MSS(S1)h 2 S—原子的自旋量子数，是由两个电子自旋角动量偶合，即S—S偶合，是整数或半整数。

原子总自旋角动量与磁场方向的分量： (MS)ZmSh 2mS—原子的自旋磁量子数

mS0,1,2,,S(整数时)

11mS,,,S22(半整数时)

MSmS，组态中各电子可能自旋磁量子数mS加和得到各种可能的原

子自旋磁量子数。最小为零或1/2。

3 轨道和自旋的作用，将总轨道角动量和总自旋角动量相加得到总角动量的组○

合，称为L—S偶合。因此，原子的总角动量为：

MJJ(J1)h 2J—原子的总量子数或内量子数，根据角动量偶合规则，J有如下数值： JLS,LS1,,|LS|

当LS时,J有(2S1)个当LS时,J有(2L1)个

总角动量在Z轴方向的分量： (MJ)ZmJh 2(J为半整数)

mJ0,1,2,,J

2.3.2. 原子光谱项推求

(J为整数) mJ0,1,2,,J用原子的量子数（S、L、T）来描述原子光谱项，规定：

2S1

L2S1LJ光谱项光谱支项

L0S1P2D3F4G5H6I 2S1称光谱的多重性

1等价电子（具有完全相同的主量子数n和角量子数l） ○

如 2p2组态： l1l21 S1S2可能有：1S

+1 1

↑↓ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓

↑ ↓ ↑ ↓ ↑↓ ↑ ↑ ↓ ↓

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓

1 1 1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1

1 0 0 -1 1 0 0 -1 0 1 0 0 -1

3

L0,1,2

123S0,12S11或3

3S1P3P1DD （必须服从保里原理）

MSmSm 0

-1

MLmi

光谱项

2

0

1

D

P D P P P D P P S P D P P

1

3

3

3

1

3

3

1

3

1

3

3

15

↑↓ -2 0

1

D

m

+1

0 ↑ ↓ ↑ ↑↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓

-1 ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑↓

MLmi MSmS

光谱项

2 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 -1 -1 -1 -2

0 1 0 0 1 0 0 0 -1 -1 1 0 0 -1 0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

↑↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓

11D P D P P P D P P S P D P P D

3

1

3

3

3

1

3

3

1

3

1

3

3

1

L2:L1:L0:vCuD(2L1)(2S1)MS0MS0,1MS0ML0,1,2ML0,1ML05种9种 1种P(2L1)(2S1)S(2L1)(2S1)1u! u=每个电子可能存在的状态

v!(uv)6!15

2!(62)!2np2C6受保里原理限制，3D、1P、3S不出现。

当 L2,ML0,1,2

a、最大的ML2时，两个电子已有三个量子数相同，则要求mS不同。两个

电子须反平行，即：mS0 表明：S0 不应有 S1(3D)

JLS22S1LD,12S1LJD21

在mS0的情况下，1D2 包含 L0,1,2 的5种状态（磁场中） （2J+1）=5 3D 不出现的原因 b、余下最大的 L1,S1,MLMS1 属 3PJ2,1,033P2,3P,1P0

(221)(211)(201)9(状态)

c、L0,S0,MLMS011S

J0S0

d、电子与空位无关， n 个电子与 n 个空位的组态光谱项相同。

np2np4 np1np5

nd1nd9nd2nd82不等价电子（ n 和 l 至少有一个量子数不同） ○

如2p13p1 3组态n12,l11S1,0S13n23,l21

L2,1,0DP3DPS11

3光谱项的能量高低顺序 ○Hund规则

ⅰ.原子在同一组态时，S值最大者最稳定。 ⅱ.S值相同时，L值最大者最稳定。

ⅲ.一般地，L和S相同时，电子少于和等于半充满时，J值小，能量低；电子多于半充满时，J值大，能量低。