0引言
传输线作为一种输送能量和传递信号的装置，由于其应用十分广泛而成为 了很有意义的研究对象。在长距离输电线路、远距离通信线路、高频测量线 路、计算机信号传输以及高速数控系统中均应该考虑线路参数的分布性。 ⑴
均匀传输线模型是电路、电磁场理论中重要而又简单的简化模型。典型的 均匀传输线是由在均匀媒质中放置的两根平行直导线构成的。常见的有平行双 板、同轴线、和平行双线等。当然，实际中并不存在真实的均匀线，架空线的 支架、导线自身的重力都会使传输线不均匀。为了简化问题，需要忽略这些次 要因素。
以平行双线为例。假设传输线是均匀的，即两导体间的距离、截面形状以 及介质的电磁特性沿着整个长线保持不变，单位长度的线路电阻和电感分别为 尺和L。，单位长度的线间电容和电导分别为 Co和Go，如图1所示。传输线最左 端为起点，即x=0，选取距平行双线起点为x的一小段x进行研究。虽然传输 线本质上是一个分布参数系统，但可以采用一个长度为 的集中参数模型来描 述。显然，H越小就越接近传输线的实际情况 当厶x > 0时，该模型就逼近真 实的分布参数系统。⑵
>1
图1有损均匀传输线及其等效模型
根据基尔霍夫定律，可以得到电报方程，它是均匀传输线上关于电压、电 流的偏微分方程组。
cf u \\ |- =Roi Lo _
::x t f ■ I
u i
1 _ =
GoU Co — :cL. x t
:
■
方程表明，电流在传输线上连续分布的电阻中引起电压降，并在导线周围 产生磁
场，即沿线有电感的存在，变化的电流沿线产生电感电压降，所以，导 线间的电压连续变化；又由于导线间存在电容，导线间存在电容电流，导线间 的非理想电介质存在漏电导，所以还有电导电流，所以沿线的电流也连续变 化。
均匀传输线方程是一组常系数线性偏微分方程，在给定的初始条件和边界 条件下，
可以唯一地确定u x,t和i x,t 。
从方程可以知道，给定初始条件和边界条件时，影响电学量的因素就是分 布参数
Ro、Lo、Gb、Co。
利用电磁场理论，我们可以根据传输线的位置、尺寸、形状、材料等参数 求出这几个分布参数。下面以圆柱平行双线为例，说明计算分布参数的方法。 其他常见的几种传输线，比如平行双板、同轴线的计算类似。
1模型说明
仅考虑低频时参数的计算。
(1)导体媒质的电导率很高。传输线常用的材料是铝合金，铝的电导率是
3.82X 107 (S/m)，远大于磁导率和介电常数。跟据欧姆定律 J=YE (丫是电导 率)，电流
在百安及千安级别时，导线中的电场强度极小，可以忽略。
⑵ 两导线间距远小于电磁波波长，即 dL ■。工频供电时，电磁波波长为
6000km，一般的输电线路都满足这个要求。在这种情形下，可以忽略推迟效 应。
(3)导线的材料、导线周围介质均为线性、均匀、各向同性的物质。
Y / 1 01 二、、 1 d f R =a A O2 x O 图 2平行双线示意图
平行双线的结构如图* 2所示。由于导线中只有轴向电流，可知磁矢位 A只 有轴向分量，由总」' A，可得Bz=0 ;由于忽略了导线内部电场，根据电场 强度在切线方向连续，可知 E^0。所以，传输线周围的电磁波只有横向分 量，导线所导引的电磁波近似为
TEM波(横电磁波)。导线及周围介质中的场 分布可以视为平行平面场。同时，由于可以
忽略导线内部的电场，可以将导线 视为等电位体，导线表面是等位面。
接下来，首先计算电容、电导和电感，这三者的计算有一定共性，因为它 们三个参数主要依赖于导体外介质的电磁性质，可以借由静态场的分析来处 理。而分布电阻由于涉及到场和导体媒质的相互作用，计算相对复杂一些。
2分布电容的计算
根据前文的叙述，可以知道，传输线间电容的计算可以按照静电场的方式 进行。 在静电场中，由于两平行长直导线之间存在静电感应，导致导体表面的电 荷分布不均匀，所以不能直接计算导线之间的电位差，必须利用镜像法。
如图3,导体外介质的介电常数为 £,对导体外部的电场，可以设想将两圆 柱导体撤去，其表面电荷效应代之以两根长的带电细线，图中相距 2b的两根电 荷线密度分别为+p和-p。
文献［3］中给出了镜像带电细线位置的计算过程。两镜像带电细线的位置满 足
b a二 d/2 ，
所以两导线之间的电位差为
U厂丄L2ln+()，
2二； b-(d/2-a)
则两导线间单位长度的电容为
b
2 2
2
d/2
—
a
Co
P Uo
318 JIS
(2.1)
其中，arccosh(x)二In(x
x2 T)
这是两平行圆柱导线间单位长度电容的准确解。在实际中，导线的半径往 往远小于导线间距，即aL d，于是d/aL 1，
arccosh(2) = ln( —
2a 2a v 2a
ln()
a
d
C。 (2.2) In(-) a
式(2.2)是常用的计算公式，但当不能忽略导线间的相互作用时，应当利 用(2.1)式计算。
3分布电导和电感的计算
在恒定场中，根据电导和电容的定义式:
C _Q S D ,E dS U
dS
E dl | E dl J dS E dS
G -
G
- S
U
l
E dl
l
E dl
可得公式二- 需要注意的是这里的 &和丫都是指导体外介质的电磁特
C s
性，故只能用来计算漏电导，不能计算电阻。
在计算电容时，考虑到传输线线所导引的电磁波近似为 TEM波，导线及周 围介质中的场分布为平行平面场，所以利用静电场的方式计算电容。同理，电 导的计算也可以按照恒定电场的方式进行。
G y
于是，由一二—，可知
C £
Go = _ Co = ----------------------------------- -
，
类似的，在aL d时，由于d/2aL 1，有
arccosh(——) 2a
一0 二 T。
ln(-) a
下面讨论电感的计算。
在多数文献里，计算二线传输线的分布电感(自感)时，都采用定义式 ⑺ N B dS
L
I
SJ dS
S1
-
其中W是磁链，I是和磁链交链的电流，在考虑导线半径时，需要区分内 自感和外自感。
例如文献［3］中，当图2所示的平行双线通有恒定电流时，得到的电感值为
, 1 丄| d —a、比 d | ,
L0 ( ln ) ln ( aL d )。 兀4 a 兀 a
事实上，这种方法没有考虑两导线的相互作用，所以在计算时按照电流均 匀分布进行的，当然，在aL d时，所得到的结果是足够准确地。
如果考虑两导线间的相互作用，那么还需要利用对电流的镜像法，这比较 复杂，通过对传输线电磁场分布的分析，可以得到下面一个简单的方法，在一 些文献，例如［4］、［5］中有介绍。
根据麦克斯韦方程组，可以推导出无源区导电媒质内的平面波。根据前文 对传输线的描述，电磁波的传播方向为 +z。
在谐变场的条件下，可得到场量满足的波动方程
d2Hy
-k2Hy 0
二 二
d2Ex 2
-kEx 0 dz2
其中，k 二 j，」；（1 ---- ）二： j -
(3.1)
k称为传播常数。
注意到正弦激励下传输线方程（电报方程）的形式
d2U - k2U = 0
d2I 2
2-kl0 dX
」
其中，k = （R0 j L0）（G^ j C0）
j ：,称为传播常数。
可以发现传输线方程和平面电磁波方程形式相同，而相同的方程对应的解 的形式也必
然相同，显然，两个传播系数所代表的物理意义也是统一的。
按照前文的叙述，由于导线电导率很大，同时忽略了导体内部电场，所以 这里的分布电阻f和传播常数相比可以忽略。
于是，传输线的传播系数可化为
k 二丄0（Q j C。）= j L°C°（1 J； ）
G 7
对比（3.1）、（3.2）两式，由于一°=丄，可知
C。名
L0C0 =
（3.2）
」；。
根据前文电容的计算值，可以得到分布电感的值为
卩 d L0=—arccosh（ ） 兀 2a
于是，在aL d时，由于d /2aL 1，有
J
d L° 一1 n（—）， 江 a
这和直接利用电感定义式所计算的近似结果是一致的，可以互相印证。
可以注意到电容、电导和电感在形式上有一致性，这是三者都依赖于导线 外空间的电磁性质，以及无源区电场和磁场的对称性所决定的。在低频情况 下，可认为这三者和电学量没有关系。
文献⑸中，利用静态时电场和磁场的相互关系，推导了平行平面场情形下 电容和电感满足关系LQC。二亠；。这两种分析方法有所不同，利用电磁波的传播 系数对比的方法，更能显示传输线作为导波系统，对电磁波的引导作用，但 是，所必须的是忽略分布电阻对空间电磁场的影响。而利用静态场引出等式 LQC。；，但是其物理意义不如前者明显。当然，这两种方法都做了不同的近 似。
4分布电阻的计算
电阻的存在使得电源必须向其提供电压，以使得电流能够维持持续的流 动。而电阻本身会产生热损耗，以焦耳定律表示。于是电阻有两种计算方式, 是根据
4 4
先考虑直流稳态时的情
R
形。对于直流电路，有熟知的
U I dl - J dS
iE
其中丫是导线电导率；二是根据焦耳定律, 公式
来计算
S
是电阻率。对直流稳态而言，如果忽略两导线间的相互影响，则均匀传输线只 是延长了线路，而不影响电学量的分布，故在直流稳态时分布电阻仍应按照此 公式进行，即
R =--，其中p
& 2。
兀a
对于交流电路，电阻的计算十分复杂。首先，导体媒质内电磁波的传播规 律不同于理想介质，电磁波的波速和波长较介质会减小许多，甚至可能出现波 长与导线半径同一数量级的情况。而且，磁场和电场会产生相位差，对应于电 路理论就是复数电阻，电阻部分会产生损耗，而电抗部分对应无功分量。同 时，由于存在趋肤效应，场量是矢径r的函数。
为了简化问题，下面仅考虑一种情况。对于正弦稳态电路，场量按正弦规 律变化。假设电流仅在导线表面一薄层内均匀流动，薄层的厚度取趋肤效应的 透入深度d
丄•；）中的波动方程，并认为数值减少至最 这个值是通过解良导体（
大值的e」得到的。直接利用波动方程的解析解求交流电阻的方法，文献 ⑹有所 介绍。
根据上面的假设，交流电路使得电流所分布的截面面积减少而增大电阻, 所以，有
Ro =2」
2 二
ad
c
乘2是由于考虑到平行双线，下标 c是为了说明是导体的电导率和磁导 率。
5结论
根据前文的计算，可将平行双线的四个分布参数列于下表 文献中可以查到的公式。
1。这些是一般
表1分布参数的表达式 常数 公式 近似公式 —— 4 d —arccosh(——) 兀 2a 1仟f巴 Lo 比d —l n — 兀 a 打 nV Go arccosh』) 2a i d ln — a Co
JIS arccosh』) 2a ns i d ln a — 参考文献
[1] 孙韬.传输线方程解析解的研究,2005.
[2] 王小艳•一般有损均匀传输线中电流电压的瞬态过程分析
[J].2OO8.
[3] 冯慈璋，马西奎•工程电磁场导论•北京：高等教育出版社[M].2000. [4] David K.Cheng.电磁场与电磁波•北京:清华大学出版社[M].2OO7.
⑸ 冯慈璋•电磁场•北京：高等教育出版社[M].1983.
⑹张小林，徐精华•信号传输线趋肤效应的分析[J].大学物理，2009(7):10-12.
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