【证法1】
a
b
a b a b
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b,斜边长为c, 再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即
1 2 1
a b 4 ab c 4 ab
2
2 2
222
2 ，整理得 a b c
【证法2】（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab
形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A、E、B三点在 一条
直线上，B、F、C三点在一条直线上,
••• Rt △ HAE 也 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF ••• / AEH + / AHE = 90o , ••• / AEH + / BEF = 90o . ••• / HEF = 180o — 90o = 90 o .
C、G D三点在一条直线上
•••四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2. ••• Rt △ GDH也 Rt △ HAE,
••• / HGD = / EHA ••• / HGD + / GHD = 98 , ••• / EHA + / GHD = 90o .
又••• / GHE = 90o ,
••• / DHA = 90o + 90o = 180o .
••• ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 a b .
.2
.2
/ 1 2 ab4abc
2 .
222
a b c .
【证法3】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 的延长线交DF于点P.
••• D、E、F 在一条直线上，且 Rt △ GEF 也 Rt △ EBD, ./ EGF = / BED
••• / EGF + / GEF = 90°，
/ BED + / GEF = 90 / BEG =180)— 90o = 90o .
又••• AB = BE = EG = GA = c
a、b，斜边长为
D E、F在一条直线上.过C作AC
.ABEG是一个边长为c的正方形. / ABC + / CBE = 90o . ••• Rt △ ABC也 Rt △ EBD,
b
C
c
/ EBD + / CBE = 90o . 即 / CBD= 9Gb .
又••• / BDE = 90o，/ BCP = 90o，
BC = BD = a .
••• BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG!—个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则
a b S 2 ab, a2 b2 c2.
2 2
1 2 1
c S 2 ab
2 2
【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
^ab
形的面积等于2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状， 使A、E、C三点在
一条直线上.
••• Rt △ EAD也 Rt △ CBE, ••• / ADE = / BEC
D
b
a
b
E a B
••• / AED + / ADE = 90o , ••• / AED + / BEC = 90o .
/ DEC = 180o — 90o = 90 o . △ DEC是 一个等腰直角三角
1 2 c
它的面积等于2 .
又••• / DAE = 90o
••• AD// BC
••• ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于
la b
2ab
i A2
a2 b2
【证法 明）
5】（辛卜松证
b a ab a 2 a a b b2 r ab b i b
设直角二角形两直角边的长分别为 ab,斜边的长为c.作边长是a+b的正
、
方形ABCD把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD勺
2 2 2
a b a b 2abABCD划分成上方右图所示的几个面积为 ;把正方形
部
2
-ab c
c2 ABCD勺面积2 = 2ab 分，则正方形
为
b2 2ab 2ab
a C a2 b2 c2
初二
（1）
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