2019-2020学年福建省福州市四校（文笔中学、永泰城关中学、
元洪中学、长乐高级中学）高二第二学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ） A．（﹣1，4） 2．函数f（x）＝A．{x|x≤﹣1或x≥2} C．R
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（2，4）
的定义域为（ ）
B．{x|x＜2}
D．{x|x≤﹣1且x≥2}
3．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（ ） A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x C．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x
B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x
4．设x，y满足约束条件则z＝2x﹣3y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．﹣6
5．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一 只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
6．已知a＝A．a＞b＞c
，b＝log2，c＝
B．a＞c＞b
，则（ ）
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
7．函数f（x）＝的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数f（x）＝A．（0，3]
为增函数，则实数m的取值范围是（ ）
B．（0，3）
C．[3，+∞）
D．[0，+∞）
二、多项选择题（共4小题）. 9．2x＞1的充分不必要条件是（ ） A．x＜0
B．x＞0
C．0＜x＜1
D．x＞1
10．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝0.16
B．设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣1），则m＝3
C．设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）等于
D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为
11．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（ ） A．y＝2x3+4x C．y＝log2|x| 12．已知函数
A．f（x）的定义域是[﹣4，2]
B．y＝x+sin（﹣x） D．y＝2x﹣2﹣x
，则下列结论中错误的是（ ）
B．函数y＝f（x﹣1）是偶函数 C．f（x）在区间[﹣1，2）上是减函数 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f（x）＝，则＝ ．
14．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有 种． 15．已知二项式为 ．
16．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断： （1）f（5）＝0；
（2）f（x）在[1，2]上是减函数； （3）函数y＝f（x）没有最小值； （4）函数f（x）在x＝0处取得最大值； （5）f（x）的图象关于直线x＝1对称． 其中正确的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，且a3＝﹣35． （1）求m的值；
（2）求a1+a3+a5+a7的值．
18．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立． （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：
SO2 PM2.5 [0，35]
的各项系数和为243，则n＝ ，展开式中常数项
[0，50] （50，150] （150，475]
32 18 4
（35，75] （75，115]
6 3
8 7
12 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO2 PM2.5 [0，75] （75，115]
[0，150]
（150，475]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝
P（K2≥k）
k
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
20．已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．
（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；
（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值． 21．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布直方图如图． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）在[45，50），[50，55），[55，60）三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析． （i）求每组恰好各被选出1人的概率；
（ii）设ξ为选出的3人中[45，50）这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
22．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表： 科技投入x 收益y
2 5.6
4 6.5
6 12.0
8 27.5
10 80.0
12 129.2
并根据数据绘制散点图如图所示：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y＝c•2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：
43.5 4.5 其中zi＝log2yi，
854.0
．
34.7 12730.4 70
（1）（i）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中log25≈2.3）
（2）乙认为样本点分布在二次曲线y＝mx2+n的周围，并计算得回归方程为y＝0.92x2﹣12.0，以及该回归模型的相关指数R2＝0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指
数：．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ） A．（﹣1，4）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（2，4）
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B． 解：集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∴A∩B＝{x|3＜x＜2}＝（0，2）． 故选：C． 2．函数f（x）＝A．{x|x≤﹣1或x≥2} 且x≥2}
【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．
解：要使函数f（x）有意义，则x2﹣x﹣2≥0，解得x≥3或x≤﹣1， 故选：A．
3．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（ ） A．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2x C．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x
B．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x
的定义域为（ ）
B．{x|x＜2}
C．R D．{x|x≤﹣1
【分析】根据否定：否定量词，否定结论，改写命题． 解：否定：否定量词，否定结论，
所以把任意改成存在，x02+1≤2x0改为x7+1＞2x， 故选：A．
4．设x，y满足约束条件则z＝2x﹣3y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．﹣6
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．
解：由约束条件得到平面区域如图： 由z＝2x﹣3y得到y＝x﹣， 由
2×﹣0＝5； 故选：C．
得到A（，0），
5．某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为．现有一 只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，则该元件用满8000小时不坏的概率为（ ）A．
B．
C．
D．
【分析】利用条件概率计算公式直接求解．
解：某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为． 设事件A表示“电子元件用满3000小时不坏”，事件B表示“电子元件用满8000小时不坏”，
现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，
P（B|A）＝＝＝．
故选：B．
6．已知a＝A．a＞b＞c
，b＝log2，c＝
B．a＞c＞b
，则（ ）
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 解：∵0＜a＝
＜20＝1，
b＝log8＜log21＝0， ∴c＞a＞b． 故选：C． 7．函数f（x）＝
的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可． 解：函数f（x）＝当x＝时，f（）＝﹣故选：A． 8．若函数f（x）＝A．（0，3]
为增函数，则实数m的取值范围是（ ）
B．（0，3）
C．[3，+∞）
D．[0，+∞）
是偶函数，排除选项B，
＜0，对应点在第四象限，排除选项C，
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得答案．
解：根据题意，若函数f（x）＝
，解可得m的取值范围，即可得
为增函数，
必有故选：A．
，解可得0＜m≤3，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．2x＞1的充分不必要条件是（ ） A．x＜0
B．x＞0
C．0＜x＜1
D．x＞1
【分析】求解指数不等式，再结合充分必要条件的判定得答案． 解：2x＞1⇔x＞0．
故x＜0是2x＞1的既不充分也不必要条件；x＞3是2x＞1的充分必要条件； 故选：CD．
10．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝0.16
B．设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣1），则m＝3
C．设随机变量X～B（6，），则P（X＝3）等于
D．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为
【分析】ABC选项根据正态分布图象的对称性即正态分布公式得出结果，D根据独立事件的概率公式得出结果．
解：A∵变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P（ξ≤3）＝0.84，则P（ξ≤1）＝P（ξ≥3）＝5﹣P（ξ≤3）＝0.16．
B∵随机变量X服从正态分布N7）（3，，若P（X＞m+1）＝P（X＞m﹣5），所以得m＝3．
D恰有两次击中目标的概率为p＝故选：ABD．
．故C不正确．
11．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（ ） A．y＝2x3+4x C．y＝log2|x|
B．y＝x+sin（﹣x） D．y＝2x﹣2﹣x
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x3+3x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+6，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意； 对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log4|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；故选：ABD． 12．已知函数
A．f（x）的定义域是[﹣4，2]
，则下列结论中错误的是（ ）
B．函数y＝f（x﹣1）是偶函数 C．f（x）在区间[﹣1，2）上是减函数 D．f（x）的图象关于直线x＝1对称
【分析】由对数的运算性质及真数大于0，可判断A；由偶函数的定义可判断B；由函数的单调性可判断C；由f（2﹣x）与f（x）的关系可判断D． 解：函数f（x）＝
（2﹣x）﹣1og7（x+4）＝﹣log2（4﹣x）﹣log2（x+4）
＝﹣log2（2﹣x）（2+x），
由y＝f（x﹣1）＝﹣log2（8﹣x）（3+x）＝﹣log2（9﹣x2），定义域为（﹣3，3）， 由x∈[﹣1，2），f（﹣6）＝﹣log29，f（0）＝﹣log28，即f（﹣6）＜f（0），故C错误；
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f（x）＝，则＝ 6 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）、f（﹣2）的值，相加即可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝，
则f（）＝则
故答案为：6
＝2， ＝2+4＝6
14．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有 54 种． 【分析】由排列组合及分步原理得：地理学科恰有2人报名的方案有法，得解．
解：先在4位同学中选2人选地理学科，共
＝6种选法，
×3×3＝54种选
再将剩下的2人在政治、化学、生物7门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故答案为：54． 15．已知二项式
的各项系数和为243，则n＝ 5 ，展开式中常数项为 80 ．
【分析】令x＝1，结合各项系数和求出n的值，求出展开式的通项公式，令x的次数为0进行求解即可．
解：令x＝1得各项系数和为（1+2）n＝243，即3n＝243， 得n＝5， 由10﹣
＝0得k＝4，
故答案为：80．
16．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断： （1）f（5）＝0；
（2）f（x）在[1，2]上是减函数； （3）函数y＝f（x）没有最小值； （4）函数f（x）在x＝0处取得最大值； （5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是 ①②④ ．
+f【分析】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1﹣x）（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），得到函数的周期为4．f（x+2）＝﹣f（x）， 解：
（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0
设t＝x﹣1．x＝t+6，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t） 当x＝0时，f（1）+f（2）＝0，
因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．
（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣3，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．
（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣2，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x）， （5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（3）＝0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误 故答案为：①②④
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知（1+mx）7＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，且a3＝﹣35． （1）求m的值；
（2）求a1+a3+a5+a7的值．
【分析】（1）根据二项式定理系数关系进行求解即可． （2）利用赋值法分别令x＝1和x＝﹣1建立方程进行求解即可． 解：（1）因为依题意得：（2）令x＝﹣1得：即
＝﹣64．
，i＝0，1，2，3…，7， ，
，
②
18．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．
解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）＝1﹣P（B）＝
，
（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，
， ，
所以X的分布列如下：
X P（x）
则数学期望E（X）＝
0
120
100 ＝140．
220
19．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：
SO2 PM2.5 [0，35] （35，75] （75，115]
32 6 3
18 8 7
4 12 10
[0，50]
（50，150]
（150，475]
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
SO2 PM2.5 [0，75] （75，115]
[0，150] （150，475]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝
P（K2≥k）
k
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
20．已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．
（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；
（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值． 【分析】（1）2x2﹣3x+t≥0对于∀x∈R恒成立，进而根据判别式求解；
（2）g（x）＝﹣f（x）+mx＝﹣2x2+（3+m）x，进而分类讨论对称轴与区间端点的关系求解；
解：（1）f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，即2x2﹣3x+t≥0对于∀x∈R恒成立， ∴△＝（﹣6）2﹣8t≤0，解得t≥； 当＝
≤1，即m≤1时，g（x）max＝g（1）＝﹣8+3+m＝2，解得m＝1；
＝2，解得m＝1或m＝﹣7，不符合条件；
∴m的值为1．
21．每年暑期都会有大量中学生参加名校游学，夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，根据问卷调查发现共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出（单位：百元）频率分布直方图如图． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）在[45，50），[50，55），[55，60）三组中利用分层抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费情况进行进一步分析． （i）求每组恰好各被选出1人的概率；
（ii）设ξ为选出的3人中[45，50）这一组的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）由频率分布理直方图得（0.024+a+0.04×2+0.03×2）×5＝1，由此能求出a的值．
（Ⅱ）（i）按照分层抽样，[45，50），[50，55），[55，60）三组抽取人数分别为4，3，3．由此能求出每组恰好各被选出1人的概率．
（ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）由题意，得（0.024+a+0.04×2+0.03×2）×5＝3， 解得a＝0.06．
（ⅰ）每组恰好各被选出1人的概率为
．
，
，
则ξ的分布列为：
ξ P
4
1 ．
22．2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举行，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑．某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入．该
2
3
企业连续6年来的科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如表： 科技投入x 收益y
2 5.6
4 6.5
6 12.0
8 27.5
10 80.0
12 129.2
并根据数据绘制散点图如图所示：
根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y＝c•2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如表：
43.5 4.5 其中zi＝log2yi，
854.0
．
34.7 12730.4 70
（1）（i）请根据表中数据，建立y关于x的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？（其中log25≈2.3）
（2）乙认为样本点分布在二次曲线y＝mx2+n的周围，并计算得回归方程为y＝0.92x2﹣12.0，以及该回归模型的相关指数R2＝0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好．
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关指
数：．
【分析】（1）（i）求出样本中心坐标，利用回归直线方程，求解系数，推出结果即可．（ii）列出不等式转化求解即可．
（2）甲建立的回归模型的残差表，然后求解方差，说明结果即可． 解：（1）（i）令z＝log2y＝bx+log2c；
，
根据最小二乘估计可知：，
（ii）设20.5x+1≥200，解得0.5x+4≥log2200，即x≥4+4log75≈13.2， （4）甲建立的回归模型的残差： 即甲建立的回归模型拟合效果更好．
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