Banach空间自反性的一些讨论

Banach空间自反性的一些讨论

2010年3月第2O卷第2期榆林学院 JOURNALOFYULINUNIVERSnY Mar.2OlO V01.20No.2

Banach空问自反性的一些讨论 张巧卫L,曹怀信

(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062; 2.榆林学院数学与应用数学系,陕西榆林719000)

摘要:讨论了Banach空间的自反性,指出了文献[1—2]对,L空问(1<P<∞)自反证明的错误,

并给出了正确证明;同时讨论了一般自反Banach空间的一些性质. 关键词:自反性;空间;Lp空间;Banach空间

中图分类号:O177.2文献标识码:A文章编号:1008—3871(2010)02-0030一o3 1927年,H.Hahn引进了自反的概念,他在研 究赋范线性空间中由积分方程导出的线性方程时, 也包括对Hahn—Banach定理以及对偶空间的最早 研究时认识到自反的重要性.1939年,E.I~rch称 之为自反性.设x是赋范线性空间,x上的全体有 界线性泛函按构成赋范线性空间,记为x',称为x 的对偶空间(或共轭空间).又记x'的对偶空间为 x一,称为的二次对偶空间.VXEX,定义g: x'一F为g(f)=f(x),Vf∈X',则 g∈X一且IlgIl=IIXlI,V∈X.

定义J(x)=g.,V∈x,则得到等距线性映射J :Xx一,称J为X到X一中的典型嵌入,记为

.如果JI(x)=x一,则称x是自反的.自反空间 具有很好的性质比如:自反Banach空间的闭子空间 是自反的,Banach空间自反当且仅当自反,任何有 限维赋范线性空间是自反的等.如果将泛函f在向 量X处的值f(x)记为<X,f),则由典型嵌入的定义 可知:

<x',Jx)=x,X')Vx∈X,Vx∈X,

本文首先证明了自反空间的一些性质,其次指 出了文献[1—2]对,L(1<P<∞)自反证明的错 误.在文献[1—2]中,通过证明等距同构于 ()一和LP等距同构于来分别说明l和Lp是自 反的.然而由自反的定义可知,Banach空间x是 自反的,是指典型映射J:x-+x\"是等距同构映 射,并不是指:x和x一等距同构.1950年,R.c. James构造出一个Banach空间X,使得x和x一等 距同构,但x不自反引.也就是说,当x和x一等 距同构时,x不一定是自反的.值得指出的是:只 有当x与x\"在典型嵌入J下等距同构时,x才是 自反的.本文给出了,Lp自反的正确证明. 1自反空间的性质

定理1.1设X,Y是Banach空间,T是X到Y 的线性同胚映射,则x自反当且仅当Y自反. 证明设J,J,分别是x到x一和Y到Y一的 典型嵌入映射,则有JT=T—J.而T是x到Y的 线性同胚映射,则T,T一都是可逆的.因而J可逆 当且仅当J可逆,即X自反当且仅当Y自反.证 毕.

设x,Y,是Banach空间,和的直和记作:x①Y 收稿日期:2010一叭一O8

作者简介:张巧卫(1983一),女,陕西佳县人,助教,硕士,研究方向为小波分析与算子理论E—mail:************************张巧卫,曹怀信:Banach空间自反性的一些讨论?3l? =

{(x,Y):x∈X,Y∈Y}, Il(x,y)ll:(IlxIl+Ily)÷,

则是赋范空间.易证:完备当且仅当和都完 备.

射当且仅当x0Y自反.由此可得以下结论. 定理1.2设是Banach空间,则x0Y自反当且 仅当x和Y自反.

推论1.3设x.,x2A,YX是Banach空间,则

v(,Y')∈'9',定义(,Y'):0Y-÷F为Xlox2①A①x自反当且仅当Xi(i=1,2,A,n)自 ,

),','))=()+(),,∈,Y∈y,反. ll',Y)ll=sup{1x'()十),'()l:II(x,y)ll= s.~ tlr,.++)j=1}J (X*2-1-Y' = , ')II

因此,得到有界线性映射13/.:X'①Y'一(xo Y').显然,它还是单射.可证它是满的.这样,我 们得到有界可逆算子

0【:x'0Y'(xoY')类似地,可定义有界 可逆算子

p:X一④Y一一(x'0Y)'由此可见 0Jr.兰(0',\"0】,\"兰('0Y')'兰(X0y)\"

如果视,y')=',Y'),,Y\"):(',Y\"),则 《(),(','))='(+'(),,∈,yEY,

((,Y')'(,J,.))=.(x')+y\"('),V(\定义-,r0:0Y\"0'为

(0Xx,y)=(以(x)'(J,)),V(x,y)E0y, 则V,)∈0y,V,Y')∈'0Y',有 《(',y),.,))=((x,'),.,) - -

((x,),),,y'))=()+y(J,),

((x',Y'),0-厂r).y))=(','),fl(Jx(x),()) =

(,(x))+(j,,Jr=')+,Y')='∽+o7) 所以

口'Jx.r=P(J,Y0Jy) 由此可见,下图可换: .y..\".y?? .i

容易看出:Jx.v是双射当且仅当Jx,JY都是双 射.又因为d,8都是双射且上图可换,所以,x和 Y自反当且仅当J,J都是双射当且仅当J.是双 2l.Lp空间的自反性 回顾:p次幂可和数列空间 eF(1=,2,^),善}' JN.1/p厂-

则l是Banach空间.当1<P<∞时,V= {X}.∈l,定义.(x):1p—F为 (())=∑,={)∈:

其中+:1.可以证明:()∈()?,并 Pq

且可证.x):入一()'为等距线性同构引.同 理可证:中.(x):一()'记为等距线性同构引. 所以,在此等距同构意义下,可以认为的共轭空 间是,入的共轭空间是入,记为()'兰, ()兰入,贝0(入)兰,()'兰入.这只能说 明等距同构于()一.在一些参考书(见参考 文献[1—2])中用这样的方法来证明自反.其实, 这样的证明是不正确的.

下面给出(1<P<∞)是自反空间的正确证 明.

定理2.1当1<P<∞时,入是自反空间. 证明要证入是自反空间,只需证典型映射是 满射J:入一(入)一,即证 V^∈(入)%},jx={x}:,∈入,使得J (x)=^.

设,如上所定义,八∈(入),令L =

八,贝0L∈():lc.记x='L,那么x:L =

^.因为.是等距同构,所以VZ∈(),存

32?榆林学院2010年第2期(总第87期) 在Y∈,使得z=.(Y). 所以

八(z)=八(Y)=(^)(Y)=L(Y)= (x)(y)Xny=(中y)(x)=z(x)=(z,j (x)).

于是J(X)=^.故J是满射,即自反.证 毕.

回顾:p次幂可积函数空间

LP[a,6】::/在6】一I-_可测且/)I,dx<o. , = ().

当1<P<o.时,vf∈Lp,定义f:12\"--4F为 ●

(厂)(g)ff(x)g(x)dx.

当1<P<∞时,VfcL,定义pL_+F为 (仪.f)(g)=』f(x)g(x)dx.

已证0tfE(L),且:LP一(L)'为等距线

性同构….同理可证仅.:Lq一(Lp)为等距线性同 构引.所以(L)'兰L,(L)'兰LP,进一步,有 参考文献: (L)'兰(L)兰L.

这只能说明Lp等距同构于(I』p)一,并不能由 此得到Lp是自反的.下面给出Lp是自反空间的正 确证明.

定理2.2当1<P<∞时,Lp是自反空间. 证明只需证典型映射J:LP一(Lp)一是满射, 即证

VA∈(L),存在fEL,使得J(x)=^. 设,0f,如上所定义,V^∈(L),令L =

^仪,贝0L∈(L)'.记f=L,贝4f=L=^ qO

因为.是等距同构,所以VhE(LP),存在 g∈L,使得h=0L.g.所以 ^(h)=^ag)=(^a)(g)=L(g)=(af)

(g)1---(x)g(x)dx=(aqg)(f)=h(f)=(h,J(f)>.

于是J(f)=^.故J是满射,即LP是自反空 间.证毕.

[1]姚泽清,苏晓冰,郑琴,等.应用泛函分析[M].北京:科技出版社,2007.149—154. [2]薛小平,孙立明,武立中.应用泛函分析[M].北京:电子工业出版社,2006.103. [3]R.C.James,Anon

reflexiveBanachspaceisometricwithitssecondconjugatespace[J].Proc.Nat.Acad. Sci.U.S.A,1951,(37):174—177.

[4]江泽坚,孙善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社,1994.132—148. (责任编辑:王瑞斌)

SomeDiscussionofReflexivityofBanachSpaces ZHANGQiao—wei,CAOHuai—xin

(1.CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,an710062,Shaanxi;

2.DepartmentofMathematicsandAppliedMathematics,YulinUniversity,Yulin719000,Shaanxi)

Abstract:ThispaperdiscussedofBanachSpaces.ItpointedoutthemistakeinprovingreflexivityofXandL spacesin[1

2]andgavetherightproof.AlsoitprovedsomepropertiesofreflexiveBanachSpaces. Keywords:reflexivity;space;Lspace;Banachspace.

——