微积分教学中渗透数学建模思想探讨

微积分教学中渗透数学建模思想探讨

作者：武秀丽 张 锋

来源：《科教导刊》2010年第33期

摘要本文主要讨论了微积分教学的一些新的想法,试图将数学小模型引入课堂中,一方面提高数学讲解的生动性,避免数学的枯燥;另一方面试图让学生认识到数学的用处,更有利于大学课堂数学教学的开展。

中图分类号:O172文献标识码:A

对于财经类院校而言,开设数学课是必不可少的,特别是微积分,几乎各个专业都要学习,但由于“数学的表现形式比较枯燥,且给人一种冰冷的感觉但是数学的思考都是火热的生动活泼的。如何点燃和激起学生的火热思考使他们能够欣赏数学的美丽和魅力,实在是教育界的一项根本任务”。此,我们尝试引入数学小模型这一手段,以探索微积分这一数学课程的教育动态。希望给学生提供一个更具体,更细致,更生动的全新的学习环境,力图把主要时间和精力放在数学思想的培养、数学思维的训练、数学知识的应用上来。本文对数学模型融入到财经类院校微积分课程的教学模式作了初步探讨。

事实上,自从全国大学生数学建模竞赛开赛以来《数学模型》成为了数学教育界激励推崇的数学应用课程。数学建模是把数学与实际问题联系起来的纽带,利用数学语言(包括数学符号,公式,图表,算法,程序等)重新描述实际问题中的数量关系和空间格局,它在现代化科学技术中的作用月来与受到数学界和社会各界的普遍重视,它重在培养学生应用知识和驾驭知识的能力,考察大学生的数学修养、应用能力和创新思维,使他们认识到数学在社会化发展过程中的核心作用,体会到数学的美;另一方面,通过数学建模,培养了他们应用数学知识解决实际问题的能力和借助计算机求解数学模型的能力,也提高了学生查阅资料,撰写论文的能力。但是结合现在的实际情况,目前,该课程仅作为全院的选修课出现,有很多学生都不愿学,当然更无法体会数学的美。 数学以能解决实际问题为出发点,因此,在上课时,我们尝试放弃一些繁琐的证明,适当选编相应的数学模型进行案例教学,例如微分方程的教学,可以给学生简单介绍数学建模的步骤,并以“商品广告模型”为例可以设计如下的教学过程。 1 问题的提出

无论听广播还是看报纸,或是收看电视,常可看到、听到商品广告。随着社会现代化的发展,商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告成为调整商品销售量的有力手段,然而如何了解广告与销售之间的关系?如何评价不同时期的广告效果?这些问题对于生产企业和广告商来说都是极为重要的。下面介绍独家销售的广告模型。

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2 模型假设

(1)商品的销售速度会因做广告而增加,但这种增加是有一定限度的。当商品在市场上趋于饱和时,销售速度趋于它的极限值,当速度达到它的极限值时,无论在做何种形式的广告,销售速度都将减慢。(2)自然衰减是销售速度的一种性质,即商品销售速度虽商品销售率的增加而较少。(3)令s(t)表示t时刻商品的销售速度;A(t)表示t时刻广告水平(以费用表示);M为销售的饱和水平,即市场对商品的最大容纳能力,它表示销售速度的上极限;为衰减因子,即广告作用随时间增加而自然衰减的速度,大于零且为常数。 3 模型建立

问题中涉及的是商品销售速度随时间的变化情况,即有 商品销售速度的变化 = 增长 - 自然衰减

为描述商品销售速度的增长,由模型假设(1)知,商品销售速度的净增长率r(s)应该是商品销售速度s(t)的减函数,并且存在一个饱和水平M,使得r(M) = 0。为简单起见,设r(s)为s(t)的线性减函数,则有 r(s) = p[1- ]

其中,用p表示响应函数,即广告水平A(t)对商品销售速s(t)度的影响能力,p为常数。于是可建立如下微分方程模型 = p[1- ]A(t) - s(t) 4 模型求解

从模型方程可知,当s(t) = M或A(t) = 0时,都有 = - s(t)

为求解该模型,选择广告策略为

在(0,)时间段内,用于广告的总费用为,则B = ,代入模型方程有 + ( + ·) s(t) = p· 令 + · = b, p· = k

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则有 + bs(t) = k 其解为s(t) = Ce-bt + s0

若令s(0) = s0,则s(t) =(1 - e-bt) + s0 。 当t≥时,模型为 = - s(t) 其通解为 s(t) = Ce- t

而t = 时,有s(t) = s(),所以s(t) = s()e- t 故 5 模型讨论

(1)生产企业若保持稳定销售,即 = 0,那么可以根据模型估计采用广告水平A(t),即由pA(t) [1 - ] - s(t) = 0 可得到A(t) =

(2)在销售水平较低的情况下,每增加单位广告产生的效果比销售速度s(t)接近极限速度M的水平时增加广告取得的效果更显著。

以上仅仅是一个例子,事实上,在我们讲其它内容时也可以穿针引线的讲一些小的模型,引导学生进行分析,如学习了闭区间上连续函数的三个定理,作为应用,介绍一些数学模型,如“椅子的摆放问题”,问题是,椅子能在不平的地面上放稳么?通过对问题的提出,抽象,简化,在合理的假设下,将椅子转动与坐标轴联系起来,将腿与地面的距离用的连续函数表示。由三点确定一平面得f ()g () =0,又根据连续函数介值性定理,使该问题得到解决。解决数学问题,从解决问题的讲授使学生深刻认识到数学是解决实际问题的锐利武器。作为导数应用,介绍“最佳存贮模型”。 利用课本中已有的数学理论,结合生活中一些实际的问题,对其进行数学建模,对学生而言 ,更容易接受新的数学概念,具有实用性、启发性和直观性。

社会在发展,时代在进步,在全社会倡导素质教育的热潮中,作为新世纪的大学数学老师,有责任也有义务对现行的数学教学方式进行探讨和研究。 基金项目:广东商学院校级科研课题 参考文献

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[1]姜启源.数学模型(第2版).北京:高等教育出版社,1995.

[2]王兵团.数学模型基础.北京:清华大学出版社,北京交通大学出版社,2004. [3]刘晓斌,向子贵等.经济数学基础-微积分.广东:汕头大学出版社,2004.