【2013年高考会这样考】
1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形． 2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】
本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查．
基础梳理
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0； (1)当a 一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线x2y2 方程设为m2－n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范 (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)． x2y2by2x2 (3)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±ax，a2－b2＝1(a＞0，b＞a0)的渐近线方程是y＝±bx. 双基自测 x2y2 1．(人教A版教材习题改编)双曲线10－2＝1的焦距为( )． A．32 B．42 C．33 D．43 解析 由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝23，故双曲线的焦距为43. 答案 D 2．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )． A．2 B．22 C．4 D．42 x2y2 解析 双曲线2x－y＝8的标准方程为4－8＝1，所以实轴长2a＝4. 2 2 答案 C x2y2 3．(2012·烟台调研)设双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )． A．y＝±2x 2C．y＝±2x B．y＝±2x 1D．y＝±2x b 解析 由题意得b＝1，c＝3.∴a＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±ax，即y2＝±2x. 答案 C x2y2 4．(2011·山东)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． x2y2 A.5－4＝1 x2y2 C.3－6＝1 x2y2 B.4－5＝1 x2y2 D.6－3＝1 解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根3b3bx22据已知得22＝2，即3＝2，解得b＝2，则a＝5，故所求的双曲线方程是5a＋by2 －4＝1. 答案 A x2y2 5．(2012·银川质检)设P是双曲线a2－9＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________． 3 解析 由渐近线方程y＝2x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7. 答案 7 考向一 双曲线定义的应用 x2y2 【例1】►(2011·四川)双曲线64－36＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________． [审题视点] 利用双曲线的第一定义和第二定义解题． 解析 由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第20c10 二定义，有d＝a＝8，故d＝16. 答案 16 由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定义解题 时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应． x2 【训练1】 (2012·太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线4－y2 12＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案 4 考向二 求双曲线的标准方程 5【例2】►(2012·东莞调研)设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2 的标准方程为( )． x2y2 A.42－32＝1 x2y2 C.32－42＝1 x2y2 B.132－52＝1 x2y2 D.132－122＝1 [审题视点] 抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程． 解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(－5,0)，F2(5,0)． 设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8. 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3. x2y2 故曲线C2的标准方程为42－32＝1. 答案 A (1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论， 或者将方程设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． (2)已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．根据其他条件确定λ的值．若求得λ＞0，则焦点在x轴上；若求得λ＜0，则焦点在y轴上． x2y2【训练2】 (2012·郑州模拟)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________． b 解析 ∵双曲线的渐近线为y＝3x，∴a＝3， ∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同． ∴c＝4. ∴由①②可知a2＝4，b2＝12. x2y2 ∴双曲线的方程为4－12＝1. x2y2 答案 4－12＝1. 考向三 双曲线的几何性质的应用 2 x2y22y【例3】►(2011·浙江)已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x－4＝1 ① ② 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )． 131 A．a2＝2 B．a2＝13 C．b2＝2 D．b2＝2 2 [审题视点] 取一条C2的渐近线，将其与C1联立求得弦长|AB|，令|AB|＝3a，方可得出结论． y＝2x， 解析 依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由x2y2 2＋2＝1ab解得x＝± ， ab25ab ，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所 4a2＋b24a2＋b2以25ab2a222221＝，两边平方并整理得a＝11b，代入a－b＝5得b＝2. 4a2＋b23 答案 C 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题 过程．同时要熟练掌握以下三方面内容： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系， c2－a2b 如k＝a＝a＝c222－1＝e－1. a 【训练3】 (2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )． A.2 B.3 C. 3＋15＋1 D.22 x2y2b 解析 设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBF＝－c，b 双曲线的渐近线方程为y＝±ax， bb1±52222∴－c·＝－1，即b＝ac，c－a＝ac，∴e－e－1＝0，解得e＝ a2.又e＞1，∴e＝ 5＋12. 答案 D 难点突破21——高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法． 【示例1】► (2010·广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )． 4321 A.5 B.5 C.5 D.5 【示例2】► (2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )． 13A.或 221 C.2或2 2 B.或2 323D.3或2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容