概率论与数理统计B卷

（2003年12月11日） 总 分 ⒈ 计算下列各题：

⑴ 设A，B，C为三个事件，已知：P(A)=0.3，P(B)=0.8，P(C)=0.6，P(AB)=0. 2，P(AC)=0. 1，P(BC)=0. 6，P(ABC)=0.1，试求 ① P(A∪B)；②P(AB)；③ P(A∪B∪C).

⑵设P(A)＝α，P(B)＝β，试问P(A∪B)的所有最大值，最小值各为多少？ ⒉ 从一付扑克牌（52张）中任取13张牌，试求下列事件的概率： ⑴ 至少有一张“红桃”的概率； ⑵缺乏“方块”的概率；

⑶“方块”或“红桃”中至少缺一种花色的概率； ⑷ 缺“方块”且缺“梅花”但不缺“红桃”的概率。

⒊ 设有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：

⑴ 第一次取到的零件室一等品的概率；

⑵ 第一次取得的零件室一等品的条件下，第二次取得到的也是一等品的概率。 ⒋ 设随机变量X具有密度函数

0x1Ax(1x2) f(x)其它011求：⑴ 求常数A；⑵ 求X的分布函数；⑶ 求X的取值落在[,]内的概率。

32⒌ 设随机变量X~N(5,22)，试求：p(X5)，P(3X6)，P(3X7)，

P(X1)以及常数C的范围，使得P(X5C)0.99.

⒍ 设X~N(，2)，称Yex所服从的分布为对数分布，试求Y的概率密度。

0xy18xy⒎ 设随机变量（X，Y）具有密度函数为 f(x,y)

其它0⑴ 求X的边缘概率密度；

⑵ 求Y的边缘概率密度；

⑶ 判断随机变量X与Y是否相互独立； ⑷ 求P( X +Y≤1). ⒏ 计算下列各题

⑴ 设X与Y是二维随机变量，已知E(X)＝2，E(X2)=20，E(Y)=3，E(Y2)＝34，ρXY＝0.5，求E(X +Y)，E(X－Y)，D(X +Y)，D(X－Y).

⑵ 设随机变量（X，Y）的密度函数为

1f(x,y)(xy) 0≤x≤2， 0≤y≤2.

8求 E(X)，E(Y)，Cov(X，Y)，ρxy .

⒐ 一个复杂的系统，由11个相互独立的部件组成，在整个系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要80％部件工作，问n至少为多大时才能使系统的可靠度（即系统正常工作的概率）为0.95.

⒑ 求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两个相互独立样本，其均值之差的绝对值大于0.3的概率。

(1)x0x1⒒ 设总体X的分布密度为 f(x,)

其它0其中α>－1，是未知参数，（X1，X2，X3，„„，X n）是总体X的样本，试求

参数α的矩估计、极大似然估计。

⒓一批钢件的20个样品的屈服点（T / cm2）w为：

4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.61 4.88 5.27 5.38 5.46 5.27 5.23 4.96 5.35 5.15 5.35 4.77 5.38 5.54 设屈服点（近似地）服从正态分布，求 ⑴屈服点总体均值μ的95％置信区间； ⑵屈服点总体标准差σ的95％置信区间。