七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析

一、选择题（每题1分，共10分）

1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( C ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是 ( D )

A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是 ( C )

A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( D ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( B )

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 6．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( B )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是 ( D )

A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D )

A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1

解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是 ( C ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，

第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a； 第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将 ( A )

A．增多 B．减少 C．不变 D．增多、减少都有可能 解析：设两码头之间的路程是100千米，静水速度是30千米/时，水流速度为10

100100千米/时，则往返一次用时2.557.5小时；水流速度增大为

3010301010010020千米/时，则往返一次用时21012小时，故选A.

30203020二、填空题（每题2分，共20分）

1．19891990²－19891989²=______。 解析：利用公式a²－b²=(a+b)(a－b)计算. 19891990²－19891989² =(19891990+19891989)×(19891990－19891989)

=(19891990+19891989)×1=39783979.

2．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______。 解析：找出规律，运用加法结合律.

1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000) =－2500。

3．当a=－0.2，b=0.04时，代数式 a²－b的值是__0_。

4．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克。

解析：遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。

含盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）， 设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40% 解得：x=45000（克）

三、解答题（每题10分，共70分）

11．甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的，乙每月比甲多开支100

5元，三年后负债600元，求每人每年收入多少？

4解析：设每人每年收入x元，则甲每年开支为x元，由题意得：

54123(x1200)3x600 即(3)x3600600 55解得x=5000

答：每人每年收入5000元。

2．若S15195199519995...199...95，则S的末四位数字的和是多少？ 44个...05) 解析： S(205)(2005)(20005)(200005)...(20045个

(20200200020000...200...0)545 45个22...22022522...21995 45个42个所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24。 3．试确定等式

abba(a0)成立的条件。 aa解析：因为

要使

abbaabab，所以≤0. aaaaab≤0成立，须①当a＞0时，a-b≤0，即a≤b；②当a＜0时，aa-b≥0，即a≥b. 故当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立。

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。

解析：设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米，由题意得

xy12① 1 xy3② 336由②有2x+y=20， ③

由①有y=12-x，将之代入③得2x+12-x=20

所以x=8，于是y=4

答：上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。

3572n1...5．求和：.

124235346n(n1)(n3)2n111解析：因为

n(n1)(n3)n(n3)(n1)(n3)3572n1...所以

124235346n(n1)(n3)11111111()()()...[] 142425353646n(n3)(n1)(n3)

111111111111111111()()()()()()314224325235336246

111111 ...()()3nn32n1n3111111111111111111(...)(...)3142536nn32243546n1n311111111111)() (1323n1n2n3223n2n337155 363n36n126n18

6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数. 证明：设p=30q＋r，0≤r＜30，

因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30.

假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5. 再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾. 所以，r一定不是合数.

2p12q1

7．若p、q、、都是整数，且p＞1，q＞1，求p+q的值.

qp2p12q1m(m＞0)，整理得(2p1)(2q1)mpq， 解析：设qp即(4m)pq12(pq).可知m＜4，又m＞0且为整数，所以m=1、2、3.

下面分别研究p、q.

(1)若m=1时，有 (2)若m=2时，有

2p12p12p112qqq1 或 2q12q12q1112ppp解得p=1，q=1， 因为2p12q或2q12p都是不可能

的，

与已知不符，舍去. 所以m=2时无解. (3)若m=3时，有 2p12p13qq1p5p3或，解得或 2q12q1q3q513pp 故p+q=8.