《数学之友》 ２０１１年第４期 “三角恒等变换＂功能摭谈 解题探索 郭 勇 （江苏省南菁高级中学，２１４４００） “三角恒等变换”是一种解题策略，它在解题思 ： 盟． 考中可减少尝试与错误的任意性，提高学习的效率． ｅ Ｓｌｎ ｏｔ ｌ 十 Ｊ １ 三角恒等变换在解三角方程中的同解 功能 一由分比定理有÷＝ ｅ ｓｉｎ Ｉ 十 ），ｅ＝ｓ．ｉｎ （ａ＋．１３ｓｉｎ ４－ｓｍ／＝５， ，对右边再用倍角公式、和差化积有ｅ＝—ＣＯＳ — ＿＋８ ＿ ＣＯＳ— 一 般三角方程求解是以基本三角方程为基础， 通过将方程变形，转化为最简三角方程才能得解．变 形必须保证同解，至于变形前后方程是否同解，则需 另外讨论，舍弃增根，防止失根． 例１ 解方程：１＋２ｓｉｎ３ｘｃｏｓ４ｘ—Ｃ０Ｓ５￣＝ ２ｃｏｓ２ ３ｘ２． 又因为 ’Ｉ ２ Ｉ∈（。，号），且 ＞Ｊ ｌ，在 （ｏ，号）内余弦函数单调递减，故０＜ｃ０ｓ ＜ｃ。ｓ ＜１＇所 ｅ＜１． 解：移项、化简，应用余弦的半角公式降次得 ２ｓｉｎ３ｘｃｏｓ４ｘ—Ｃ０Ｓ５．￣一ｃｏｓ３ｘ＝０，对后两项和差化积， 再因式分解后得ｃｏｓ４ｘ＝０或ｓｉｎ３ｘ—ＣＯＳＸ＝０．将后 一个方程的两项化为同名函数后，再和差化积可得 ３ 三角恒等变换在问题转化中的润滑功能 例３求直线Ｙ＝ ＋１和曲线 ｃ。ｓ（ ＋ ｑｌ＂）＝０或ｓｉｎ ２ 一 ＂ＩＴ）＝０，所以 ＝ ＋ 詈，， ＝ｋ １ｒ＋ ＇ 戥 ｉＴ或 ＝ ＋詈（ｋ∈Ｚ），＋ ∈ ， 归并得解 开侍胖 Ｊ 吼ｎ ＋ｃｏ。 ’（ 为参数）的交点． 【Ｙ＝ｓｉｎ０， 解：消去曲线方程中的参数 ，可得普通方程 ＝１ 集｛ Ｉ ＝ ＋詈或 ＝ｋ，ｒｒ＋詈（｜ｊ｝∈ｚ））． ２三角恒等变换在数形结合中的中介功能 Ｊ ＋ｙ，由已知条件 ＝ ｉｎ（号＋号），得 ≤ ，Ｊｙｌ≤１ 表示曲线的有 ，由 ，例２如图①，设Ｐ为椭圆 上的任意一点，Ｆ ， 是椭圆的 焦点，当／＿ＰＦｌＦ２＝Ｏｔ， Ｐ Ｆ１ ＝ 消去），解 Ｐ ／Ｉ ～ 、 ① ：一１， ：２（舍去），所以仅有一组解ｆ －１，即题设 ｌ ｙ＝Ｕ 时，求椭圆的离心率，并证 的盲线和曲线仅有一个交点（一１．０）． 明所得ｅ值在０与１之间． ａ ０ 解：不失一般Ｉ生，设椭圆方程为 ＋告＝１（口＞ｂ＞ ０），焦点坐标为 （一ｃ，０）， （ｃ，Ｏ），由ＩＰＦ１ Ｉ＋Ｉ ＝２口，ｅ＝ Ｃ，４ 三角恒等变换在关系式沟通中的简约 功能 例４ 已知ｍ＞０，ｎ＞０，ｍ＋ｎ＝１，求证： Ｉ ＩＦ・ Ｉ＝２ｅ＝２ａｅ，得△ ＩＰＦ２ Ｉ＝ 中，根据正 （ｍ＋ ）（ ＋ ）≥莩． 下面的证法１是常见的证题思路． 弦定理有 ｓｌｎ ｓｔｕｆ＝ Ｓｉｎ ＩＩ ６ｕ 一Ｌ Ｏ／ 十 ，Ｉ ． 由等｝鲫Ｉ＋ ＩＰＦ ２ １＋ＩＦ￣Ｆ２ ＩＩ ，＿ＩＰＦ—Ｉ＆Ｆ２ １＝ ｓｉｎｏｔ ４－ｓｍ／３ ｑ－ｓｉｎ ＯＬｔ ＋ Ｊ／＿ｓ ｓｌｎ ｏｔ十 ， ， 证法１：因为ｍ＋ｎ＝１，故可设ｍ＝－７ －＋０， ．６３． 《数学之友》 ２０１１年第４期 ｎ：寺一 （一吉＜ ＜告）， ４（ｓｉｎ ０＋１）ｃｏｓ ０＋１）＞￣２５ｓｉｎ Ｏｅｏｓ 亦即４ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０ ＋４ｓｉｎ４０＋４Ｃ０Ｓ４０—２５ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０ ４－４≥０所以 ，于是（ｍ＋ ）（ｎ＋ ）＝ ． ［（号＋ ２＋１】【（丢一 ）。＋１］． （ １ （丢一 ） （ ５＋ ） 一 ２５ ＋ ３ ＋ ４ｓｉ１１４Ｏｃｏｓ ０—３３ｓｉｎ Ｏｃｏｓ￣０＋８＞１０，即（４ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０—１） （ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０—８）＞ｔ０，易知０＜ｓｉｎ ０＜１，０＜ＣＯＳ ０＜１，所 以０＜ｓｉｎ￣Ｏｃｏｓ ０＜１．ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０—８＜ｏ． 又因为ｓｉｎ ｃ０ｓ ≤ｓ—ｉｎ—４０ ＋ｃｏ￥４０一： ２ｓｉｎ２Ｏｃｏｓ￣０ ｆ曼 ： ± 曼： ２二 曼 ：堡！竺曼：旦一 —二 所以 ２‘。 ９ ，÷一６『２ ２５ ≥丢一 ４ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０—１≤０，故（４ｓｉｎ Ｏｃｏｓ ０—１）（ｓｉｎ。Ｏｃｏｓ ０ —８）≥０，即（ｍ＋ ）（ｎ＋ ）≥萼成立． 从以上列举可以看出，三角恒等变换应用范围 竿＝莩．所以（ｍ＋ ）（ｎ＋ ）≥２ ５． ４ 较大，功能发散甚广，思想渗透性强，在一般解题过 如果引入三角代换，巧用变换公式，并注意到三 程中如能慎密判断，恰当运用，对化解疑难、提高运 算速度、培养创新能力不失为一种好的策略． 参考文献： 角函数的有界性，此题的解答别具一番新意． 证法２：设ｍ＝ｓｉｎ２０，ｎ：ｃ。ｓ ０，０＜０＜詈，则原不 等式等价证明（ｓｉｎ ＋ ）（ｃ。ｓ ＋ ）≥萼．即证 ［Ｊ］．数学通讯，２００７（０８）． （上接第６２页） ［１］刘康宁，党效文．三角恒等变换及其应用 加，因为两个根式不能同时取最小值．这时联想到根 ， 解法一：函数Ｙ：ｌｎｘ— 式具有两点间距离公式的某些特征，问题转化为求 ｎ ，令ｙ ＝ １一Ⅱ＞０，则０＜ 动点到两个定点距离之和的取值范围，最大值显然 ＜丢，．．．，，在（ｏ， ）单调递 一∞； ０ ／ １ ＼ ／ 不存在，关键是求最小值，由平面几何的知识易求． 解：ｙ＝／ｘ 一４ｘ＋１３＋￣／ 一ｌＯｘ＋２６ ＝增，在（ ，＋∞）单调递减； ， 一∞， 一＋∞， ｙ ￣／（ 一２） ＋９＋￣／（ 一５） ＋１ ＝￣／（ 一２） ＋（０—３） ＋￣／（ 一５） ＋［０一（一１）］ ． 则Ｙ可视为平面坐标系 Ｍ（２，３） 所以 ）＞０，即 ｎ丢一 ＞０，．・．０＜。＜÷． 解法二：即函数 ＝ ｌｎｘ与函数Ｙ ：ｎ 有两个 交点，由图象可知ｎ＞０，当 两者相切时。： ，欲有两 ｅ 内点Ｐ（ ，０）到两点 （２， ３）、Ⅳ（５，一１）的距离之和 ， （如图①）．显然 、Ｎ、Ｐ三 ／ 点共线时，Ｉ Ｐ Ｉ＋ｌ ＰＮ Ｉ取 ０ Ｐ（ ，ｏ）＼ ＾，ｆ５．一Ｉ ／ Ｏ 一ｌ ＋２６ 最小值，即Ｙ取最小值，所以 Ｙ ＝ｆＭＮＩ＝ （２—５） ＋［３一（～１）］ ＝５． 个交点，．・．０＜Ｑ＜ ． ｅ 所以函数Ｙ＝￣／戈 一４ ＋１３＋￣／ 一ｌＯｘ＋２６的 值域为［５，＋∞）． 一４ｘ＋１３＋ 例１０求函数）－＿ 的值域 构造不是凭空想象的，它是从问题的内容和结 构特征出发，灵活的运用已有知识，对问题展开相关 分析：本题函数为两个根式的和，求值域实质是 求两个根式和的最小值．若为一个根式，问题很容 易，先求根号里面的范围，进而再开根号即可．现为 的联想、类比、归纳、猜想等．构造法处理数学问题要 注重数学不同知识板块之间的联系，其关键在于变 形、化归．当然构造法不是解决上述题目的唯一解 法，构造法也不只本文的几种． 两个根式的和，很显然不是两个根式范围的简单相 ・６４・