山东省菏泽一中2019-2020学年高一7月期末考试数学试题含答案

1.已知复数z1i的共轭复数是z，则复数

z

A.第一象限B.第二象限2017

zz

2018

在复平面内对应的点位于（D.第四象限）D.

）C.第三象限

2.已知向量a3,4，bsin,cos，且a//b，则tan等于（A.43



3.已知ABk,1，AC2,4，若k为满足AB4的随机整数，则ABBC的概率为（B.

C.A.343443

）1

4.如图，在△ABC中，且满足APmACAB，若AC3，AD2DB，P为CD上一点，BAC，32

）AB4，则APCD的值为（1

7B.27C.13D.23A.-3B.

1312C.1312D.112）5.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则xy的值为（A.7B.8C.9D.10）6.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球1C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少有一个白球）1107.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（分数人数A.520B.410330C.3D.2303210585

8.如图，AA1，BB1均垂直于平面ABC和平面A1B1C1，BACA1B1C190，ACABAA1B1C12，则多面体ABCA1B1C1的外接球的表面积为（）A.6B.83

C.8D.4二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩（单位：分），按照50,60，60,70…90,100分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.所抽取的50名居民成绩的平均数约为74B.所抽取的50名居民成绩的中位数约为75C.50名居民成绩的众数约为65，752D.参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为l，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF结论中正确的是（）2，则下列2A.ACBEB.EF//平面ABCD

C.三棱锥ABEF的体积为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值l1.给出下列四个命题，其中正确的选项有（）

A.非零向量a，b满足abab，则a与ab的夹角是30



B.若ABACABAC0，则△ABC为等腰三角形

C.若单位向量a，b的夹角为120，则当2axbxR取最小值时x1



D.若OA3,4，OB6,3，OC5m,3m，ABC为锐角，则实数m的取值范围是m

34



12.若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且OPOBOC,R，则下列说法正确的有（）A.若1且0，则点P在线段BC的延长线上B.若1且0，则点P在线段BC的延长线上C若1，则点P在△OBC外D.若1，则点P在△OBC内三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.313.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c3，C值为______.，a2b，则b的314.已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a2，b2，c2的平均数和方差分别是______.15.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且AB、CD均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看点D的仰角为，看点C的俯角为，已知45，则BC的长度是______m.16.在四面体ABCD中，ABAD，ABADBCCD1，且平面ABD平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为______.四、解答题17.若虚数z同时满足下列两个条件：①z

5

是实数；z②z3的实部与虛部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

18.已知向量a3,2，b2,1，c3,1，tR.

（1）求atb的最小值及相应的t值；

（2）若atb与c共线，求实数t.

19.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a1，m1,3，nsinA,cosA，且mn.（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3，求bc的值；44（3）求△ABC周长的取值范围.20.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，ABAC1，BAC90，点D是棱的B1C1中点.（1）求证：A1D平面BB1C1C；（2）求证：AB1//平面A1DC；（3）求三棱锥C1A1CD的体积.21.在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个.若参赛者从箱子中随机模取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“ab4”为事件A，求事件A的概率.22.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点.1

.4（1）求证：平面AB1D平面ABB1A1；（2）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.5高一期末考试数学答案一、单项选择题1-5：BABCC二、多项选择题9.AD10.ABC11.ABC12.BC6-8：CBA11、【答案】ABC

解：A中，令OAa，OBb，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB.∵abab，∴四边形

OACB为菱形，AOB60，AOC30，即a与ab的夹角是30，故A正确.22

B中，∵ABACABAC0，∴ABAC，故△ABC为等腰三角形，故B正确.

C中，∵2axb4a

2222222

4xabxb44xcos120xx2x4x13，故2axb

取最小值时x1.故C正确.

D中，∵BAOAOB3,46,33,1，

BCOCOB5m,3m6,31m,m，又ABC为锐角，∴BABC0，即31

33mm0，∴m.又当BA与BC同向共线时，m，故当ABC为锐角时，m的取值范围42

31

是m且m.故D不正确.42

故选ABC.12、【答案】BC

【解答】因为OPOBOC，

若1且0，OPOB(1)OCOC(OBOC)，

故OPOC(OBOC)，即CPCB，又0，则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；

若1且0，同上可得CPCB，而0，则点P在线段BC的延长线上，B正确；

若1，OPOB(1)OC(1)OC，

同上可得CPCB(1)OC，当1时，10，6根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若1，不妨令0，1，则OPOC

，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误.故选：BC.三、填空题13.314.3，415.1816.3216.【解析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵ABADBCCD1，∴OABD，OCBD.又平面ABD平面BCD，∴OA平面BCD，OAOC，又ABAD，∴DB

2.取OB中点N，连结MN、CN，∴MN//OA，MN平面BCD.CN2ON2OC2，∴CM

MN2CN2

32

.四、解答题17、解：这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi（a,bR且b0），z55abizabi5abiabia2b2



a5a5ba2b2ba2b2i.因为z

55bz是实数，所以ba2b20.又因为b0，所以a2b2

5.①7又z3a3bi的实部与虚部互为相反数，所以a3b0.②由①②得

ab30，解得a12，或a2

a2b2

5b，b1

故存在虚数z，z12i或z2i.18、答案：（1）因为a3,2，b2,1，

c3,1，所以atb

3,2t2,132t,2t，2所以atb

32t22t25t28t13t4494975555

5

.当且仅当t

4

5时取等号，即atb的最小值为7545，此时t5

.（2）因为atb

3,2t2,132t,2t，又atb与c共线，

c3,1，所以32t12t30，解得t

3

5

.19、解：（1）因为mn且m1,3，

nsinA,cosA，所以sinA3cosA0tanA3，又因为A0,，所以A3.（2）由题意得S

12bcsinA

34

，得bc1，又因为在三角形ABC中，由余弦定理a2

b2

c2

2bccosA，得b2

c2

2，所以bc2

2bc2，即bc2

4，又因为b0，c0，所以bc2.b23sinB（3）由正弦定理可得abcA3

sinsinBsinC

，

c233sinC

8则C△ABCabc1

233sinBsinC1

233sin23B

22sinB

2sinB610B3，因为0B

2513，所以6B662sin



B61，所以22sin





B6

13，即2C△ABC3.20、【答案】（1）证明：∵侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∴AA1AC，AA1AB，又ACABA，AC,AB平面ABC，∴AA1平面ABC.∵AA1//CC1，∴CC1平面ABC，又CC1平面BB1C1C，∴平面BB1C1C平面ABC，∴平面BB1C1C平面A1B1C1，∵D是B1C1的中点，ABAC1，∴A1DB1C1，又平面BB1C1C平面A1B1C1C1B1，且A1D平面A1B1C1，∴A1D平面BB1C1C；（2）证明：连接AC1，交AC1于点O，连接OD，因为四边形ACC1A1为正方形，所以O为AC1的中点，又D为B1C1的中点，所以OD为△AB1C1的中位线，所以AB1//OD，9因为OD平面A1DC，AB1平面A1DC，所以AB1//平面A1DC.（3）解：由（1）可知A1A是三棱柱ABCA1B1C1的高，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，ABAC1，BAC90，点D是棱B1C1的中点，所以V1

C1A1CDVCA1C1D

113

S△A1C1DCC1341112，即三棱锥C11A1CD的体积为12.21、解：（Ⅰ）由题意，n1

12n4，∴n1.（2）记标号为2的小灯笼为a1，a2；连续．．摸取2个小灯笼的样本空间为{1,a1,1,a2,(1,3),a1,1,a1,a2,a1,3,a2,1,

a2,a1,a2,3,(3,1),3,a1,3,a2}，共12个样本点，且每个样本点出现是等可能的，所以该概率模型是古典概型.又A(1,3),(3,1),a1,a2,a2,a1,a1,3,3,a1,a2,3,3,a2，且nA8，∴PA

nAn8122

3.所以事件A的概率为23.22.解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F.连接DE、EF、CF.故EF//12BB1

1，又CD//2

BB1.∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE//CF.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，△ABC为正三角形，CF平面ABC，10∴CFBB1，CFAB，而ABBB1B，∴CF平面ABB1A1，又DE//CF，∴DE平面ABB1A1.又DE平面AB1D.所以平面AB1D平面ABB1A1.（2）解：延长B1D、BC相交于点E，连接AE，则平面AB1D平面ABC，∵点D为C1C的中点，DC//B1B，∴D点C为BE的中点，CEa，∴△ACE为等腰三形，因此CAE30，又∵BAC60，∴BAE90，即BAAE，又∵AEB1B，∴AE平面AB1B，∴AEAB1，因此BAB1就是平面AB1D与平面ABC所成二面角的平面角。在Rt△AB1B中，ABBB1a，因此BAB145.11