一道三角题的巧解

在△ABC中，∠A=60，,M为BC边的中点，AM=

B M 03，求2AB+AC的范围。

D

A C 方法一：把△ABC补成平行四边形，在△ABD中，易知AD=23，∠ABD=120°，记

0AB=c,BD=b,∠ＢＡＤ＝，∠ＢＤＡ＝60－，由正弦定理得，

bc230＝４，ｂ＝４ｓｉｎ，ｃ＝４ｓｉｎ（６０－） 00sinsin（60-）sin120故：2AB+AC＝２ｃ＋ｂ＝８ｓｉｎ（６０－）＋４ｓｉｎ＝４3ｃｏｓ，

0（0，）又，则2AB+AC的取值范围是：（2

3，4）

２

２

方法二：把△ABC补成平行四边形，在△ABD中，由余弦定理可得：１２＝ｂ＋ｃ＋ｂ

（0，）ｃ，设ｔ＝２ｃ＋ｂ，则ｂ＝ｔ－２ｃ，又ｂ＞０，所以ｃ，带入上式得：

１２＝（ｔ－２ｃ）＋ｃ＋（ｔ－２ｃ），整理，得：３ｃ＋３ｔｃ＋ｔ－１２＝０，

２

２

２

２

t2（0，）那么关于ｃ的方程在上有解，记ｆ（ｃ）＝３ｃ＋３ｔｃ＋ｔ－１２，又对称轴

２

２

t2f（0）＞0t是ｘ＝则有，从而有ｔ（2t2f（）＜02方法三：如图建立平面直角坐标系， 设Ａ（０，０），Ｃ（ｂ，０），Ｂ（

，4） B c3c， ）22M C 设∠ＭＡＣ＝，则Ｍ（3cos，3sin）

c23cosb2由中点坐标公式得：

23sin3c2A ２ｃ＋ｂ＝23cos6sin＝４3ｓｉｎ（6（0，）），又，

3因此2AB+AC的取值范围是：（2，4）

方法四：如图所示，∠A=60°，M为边BC的中点，AM=，

当AB边缩短至接近0时，AC边接近2AM，AC接近2，此时2AB+AC接近2当AC边缩短至接近0时，AB边接近2AM，AB接近2，此时2AB+AC接近4则2AB+AC的取值范围是：（2，4）

综合评述：方法一、利用边角关系构建目标量的关系，中规中矩的方法； 方法二、引入变量，巧构二次方程； 方法三、平面问题坐标化，化繁为简； 方法四、极限思想，万般无奈，妙手出击。

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