总第１９３期 ２０１０年第７期 舰船电子工程 Ｓｈｉｐ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．３Ｏ Ｎｏ．７ １Ｏ３ 量纲分析在雷达作战效能评估中的应用 方亮席泽敏薛文虎 武汉４３００３３） （海军工程大学电子工程学院摘要在雷达作战效能评估过程中，科学选用哪种评估方法是做好评估工作的关键。指数模型是用来度量雷达作战 效能的一种常用方法，它具有简单实用的优点，因而在实践中被广泛应用。将量纲分析中求无量纲数的方法用于雷达作战 效能指数的建模，可以为指数构模提供更大的选择自由和更广阔的应用空间。 关键词雷达作战效能评估；量纲分析； 定理；幂指数模型 ＴＮ９５ 中图分类号Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ａａｎｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｒａｄａｒ Ｃｏｍｂａｔ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ Ｆａｎｇ Ｌｉａｎｇ Ｘｉ Ｚｅｍｉｎ Ｘｕｅ Ｗｅｎｈｕ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｖａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ ４３００３３） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｅ ｒａｄａｒ ｃｏｍｂａｔ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓ．ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃａｌｌｙ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ｉｎｄｉｃａｔｏｒｓ ｆｏｒ ａｓｓｅｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｃｒｉ ｔｉｃａ１．Ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ｒａｄａｒ ｃｏｍｂａｔ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅｎｅｓｓ ａｎｄ ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙ．ＳＯ ｉｔ ｉｓ ｂｅ ａｂｒｏａｄｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｎｏｎ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｉｎ ｄｉｍｅｎ— ｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｅ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｒａｄａｒ ｃｏｍｂａｔ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｃａｎ ｏｆｆｅｒ ｍｏｒｅ ｃｈｏｉｃｅｓ ａｎｄ ｗｉｄｅｒ ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎ ｓｐａｃｅｓ ｆｏｒ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｉｎｇ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｒａｄａｒ ｃｏｍｂａｔ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ，ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，７ｃ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｐｏｗｅｒ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ Ｃｌａｓｓ Ｎｕｍｂｅｒ ＴＮ９ ５ １ 引言 雷达作战效能评估一直倍受各国军方的关注， 法、影响图建模与分析方法、层次分析法（Ａｎａｌｙｔｉｃ Ｈｉｅｒａｒｃｈｙ Ｐｒｏｃｅｓｓ，ＡＨＰ）、Ｐｅｔｒｉ网方法、模糊综合 评判法、模拟仿真法等。 利用指数法构建指数模型是度量雷达作战效 能的一种常用方法，它具有简单实用的优点，因而 在实践中被广泛应用＿＿２Ｊ。目前，国内外应用较多的 早在上世纪６０年代初期，美、苏等国家就相继成立 了专门的作战效能分析与评估研究机构。我国较 系统地进行作战效能分析与评估则要晚一些，研究 的方法一般是消化吸收外国的研究成果，并进一步 完善和发展。 作战效能评估方法经过几十年的研究与探索， 指数法主要有杜派指数法、邓尼根指数法、相对指 数法以及幂指数法等。 在幂指数法中，人们一般假定了度量一致性的 要求，这实际上是对效能指数的无量纲要求。然而 目前传统的效能评估方法主要有［ ：概率法、指数 法、ＡＤＣ法、Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ法、Ｌａｎｃｈｅｓｔｅｒ方程法、 武器装备的性能由多种指标组成，它们有不同的量 纲，而效能指数是无量纲的，对于同一个效能指数， 在不同性能的量纲下会有不同的效能指数值。因 系统动力学（Ｓｙｓｔｅｍ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，ＳＤ）方法、系统有 效性分析（Ｓｙｓｔｅｍ Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ Ａｎａｌｙｓｉｓ，ＳＥＡ）方 ＊收稿日期：２０１０年３月８日，修回日期：２０１０年４月１０日 作者简介：方亮，男，硕十研究生，研究方向：组网雷达效能评估。席泽敏，男，副教授，硕士生导师，研究方向：雷达系 统与信号处理、雷达装备综合保障。薛文虎，男，博士后，副教授，研究方向：雷达信号与信息处理。 １０４ 方亮等：量纲分析在雷达作战效能评估中的应用 总第１９３期 此，需要有一个度量一致性指标，以保持效能指数 和验证，根据发现的问题进行修改和完善，并进行 结果输出。 的一致性。本文，我们提出将量纲分析中求无量纲 数的方法用于雷达作战效能指数的建模，将原始数 据标准化，消除指标之间的量纲和数量级的差别， 在第５步的建立模型中，假定选择幂指数法， 本文的主要工作就是解决幂指数法中指标的量纲 不一致性问题。 以在计算之前先消除量纲的影响。 ２作战效能的定义及评估的步骤 ＧＪＢ１３６４—９２中对作战效能的定义是Ｅ引：“指在 ３幂指数方法简介 雷达装备的能力（或效能）和它的各项技术性 预定或规定的作战使用环境以及所考虑的组织、战 略、战术、生存能力和威胁等条件下，由代表性的人 员使用该装备完成规定任务的能力。” 通常，将作战效能评估分为以下几个步骤 ， 如图１所示： 第ｌ步：明确任务 （从任务角度出发理解系统要求） Ｉ 第２步：定义系统 （功能分析、框图设计、工作分析、维护描述） ｆ Ｉ ｌ 第３步：选择变量 第４步：确定量度指标 （完善、精炼、明确、敏感） （贴切性） Ｉ ｌ ｌ 『 第５步：建立模型 第６步：准备数据 （数学模型、计算机模型） （先验属性、规律性） Ｉ 第７步：分析评价 ｆ软件设计、分析、试验） ｌ 第８步：结果讨论和输出 （分析、验证、输出） 图１作战效能分析基本过程 第１步：明确任务。从作战任务出发，明确对 系统的战术要求； 第２步：定义系统。结构分析、功能分析、工作 描述、性能理解； 第３步：选择变量。描述系统的变量宜少不宜 多，应当抓住主要因素，既全面翔实又精炼概括，而 且要求变量的物理意义明确，对系统效能敏感； 第４步：确定量度指标。指标既应当符合系统 技术特点，又能确切体现战术任务要求； 第５步：建立模型。当数学模型太复杂，或者没 有适当的数学模型可用时，也可以使用计算机模型； 第６步：准备数据。包括系统和对象的先验属 性和规律性在内； 第７步：分析评估。程序设计、效能分析、评价 试验； 第８步：结果讨论和输出。对评价结果的分析 能之间，有着某种数量关系。也就是说，雷达装备 的能力是其技术性能参数的函数，用向量Ｘ—Ｅｘ ， ，…，ｚ 一， Ｎ］表示某种雷达装备的Ｎ项性能 指标，用Ｃ表示该装备的能力，则有： Ｃ—Ｆ（Ｘ） （１） 定义 雷达系统的能力指数Ｆ（Ｘ）是雷达系 统性能指标向量Ｘ的函数，其元素定义域为正实 数，简记为ＸＥＲ＋，Ｆ（Ｘ）的值域为也正实数，并满 足以下要求＿５Ｊ： １）连续性假设Ｆ（Ｘ）可微； ２）边际效益递减律：对任何ｘ∈Ｒ＋，ｘ ∈ Ｒ＋，Ｘ 是和Ｘ在同一指标体系下的另一组度量 值，满足： Ｆ（Ｘ）一Ｆ（Ｘ ） Ｆ（Ｘ）／ｄＸ（Ｘ—Ｘ ） （２） ３）量纲一致性要求。 由于雷达系统的性能是由多种指标组成的，它 们有不同的量纲，而由上面的分析可知，能力指数 应该是一个无量纲的值。设ｙ和ｙ 是Ｘ 所代表 的雷达系统性能指标体系的另一种线性组合条件 下的２组度量值。要满足一致性要求，必须满足： Ｆ（Ｘ）／Ｆ（Ｘ ）一Ｆ（ｙ）／Ｆ（Ｙ ） （３） 因此，满足上述３个要求的Ｆ（Ｘ）的具体形式为： Ｆ（Ｘ）一Ｋｘ７１，ｚ ，…，ｘＴ，，…， ０＜ ＜１，ｉ一１，２，…，Ｎ （４） 式中： 为幂指数，．３５ 为影响雷达装备能力的因素 或性能指标，Ｋ为达到不同雷达装备之间能力（效 能）指数的一致性，起着调整数量级的作用，因此也 称为一致性调整系数。 ４量纲分析的理论基础和Ｂｕｃｋｉｎｇ ｈａｍ ７【定理 量纲分析是物理学和工程学中常用的一种方 法，兀定理是量纲分析的主要工具，它由Ｂｕｃｋｉｎｇ ｈａｍ 在１９１４年提出，主要用于物理定律的构模研究。 ４．１量纲分析的理论基础［６ 人们在描述各种物理过程时需要使用一些物 ２０１０年第７期 舰船电子工程 １Ｏ５ 理量，各种物理量通过描述自然规律的方程及新物 理量的定义而相互联系。为了使用方便，通常在其 中取一组互相独立的物理量作为基本物理量，而其 它的物理量则可用这组基本物理量导出。当选定 Ｅｑｉ３一 ：ｚｌ ２… ｉ一１，２，…，超 ● ● （９） ● ● ● 如果要用物理量ｑ ，ｑｚ，…，ｑ 导出一个物理量 ● ● ● Ｘ，这个物理量是一个与度量制单位无关的数，则 ‰ ‰ ～＂ ． ‰ 了一组基本物理量并确定其度量单位后，便建立了 一种度量体系。例如：力学中以长度、质量、时间为 基本物理量，度量单位分别为厘米、克、秒。这就是 人们熟知的厘米．克．秒制（ＣＧＳ）。 设ｚ ，ｚ ，…， ，是所选单位制中的ＴＦ／个基本 量，则导出量Ｘ的量纲式为： ［ｘ］一ｚｊ ｚ …ｚ （５） 我们将式（１）两端取对数则有： １ｎ［ｘ］一ａｌ ｌｎｘ１＋ａ２ｌ眦２＋…＋口 ｌｎｘ （６） 由式（２）可见，量纲可以看成 维“矢量空间” 的“矢量”。ｌｎｘ ，ｌｎｘｚ，…，ｌｎ．ｒ 可以看作 空间的 “正变基矢”，则ａ ，ａ ，…，ａ 就是量纲矢量１ｎ［Ｘ］ 的分量，于是量纲式就可以写成： ｌｎＩ Ｘ ｌ～（ １， ２，…，ａｍ） （７） 由矢量空间的性质知道：几个物理量的量纲彼此 独立，则无法用它们幂次的乘积组成无量纲量，用矢量 的语言就是代表ｆ电ｆ门量纲的矢量彼此线性无关。 在ｍ维空间内最多有ｍ个彼此无关的矢量。 ｍ个矢量（ ， ，…， ），（ｉ一１，２，…， ）线性无 关的条件是由它们组成的行列式不等于零： ＝／－０ （８） 一个物理过程牵涉的物理量常常很多，哪些是 规律本身内在的变量，哪些不是，它们之间的关系 即规律如何，量纲分析法的理论基础一丌定理为 我们提供了基本的依据。 ４．２ Ｂｕｃｋｉｎｇ ｈａｍ 定理 一个物理定律反映了客观现实中若干物理量 之间的固有关系，显然这个定律在用数学式子写出 时不应因单位制的不同而变化【７］。假若我们还没 有发现这个定律，但已经知道了这个定律中所包含 的物理量，用什么样的关系来描述定律才能满足不 因度量单位制的变化而改变定律的表达式，这正是 Ｂｕｃｋｉｎｇ ｈａｍ ７ｒ定理要回答的问题。 假定有一个物理定律含有 个物理量ｑ ，ｑｚ， …，ｑ ，这 个物理量仅涉及 个基本物理量 ， ｚ。，…， （注意：一个物理量定律不一定涉及全部 的基本物理量），这些物理量的量纲分别为： 应满足 ［ｘ］一［ｑ ］ ［ｑ２］ ｚ…［ｑ ］ 一 ？ ２…ｚ 一１（１０） 对物理量 ， ｚ，…，ｚ ，可分别列出方程，得 方程组，即为： 】 ．广ａ２１ ２－ｔ－’ ＋口 Ｙ 一０ ２Ｙ ＋ａ２２Ｙ２＋・ 。 ０ …） －・ｍ Ｆａ２ｍ ２Ｔ ＋ａ 一０ 记Ａ一（ａ ），ｙ一（ １，Ｙ２，…，Ｙ ） ，上式可写 为： Ａｙ一０ （１２） 设Ａ的秩ｒａｎｋＡ—ｒ，则上述齐次方程组有 一ｒ个独立解。每一个解均可构造出一个包含ｑ ， ｑｚ，…，ｑ 但与度量单位无关的数值表达式。在 定理中，记这些无量纲数为兀 ，兀。，…，７ｃ…。 描述一个包含物理量ｑ ，ｑｚ，…，ｑ 的定律，用 隐函数方程写出为： ｆ（ｑｌ，ｑ２，…，ｑ ）一０ （１３） 因为物理定律不因度量制单位的变化而变化， 依赖于ｑ ，ｑｚ，…，ｑ 的独立无量纲数只有７ｃ ，７ｃｚ， …，兀 ，，故可用这些无量纲数描述物理定律，式 （９）可等价地写成为： Ｆ（兀ｌ，兀２，…，丁【…）一０ （１４） 这就是 定理的主要结果。 这个结果说明在构造物理定律的表达式时，研 究物理量ｑ ，ｑ：，…， 之间的关系可以转为研究物 理量兀 ，兀 ，…，兀 一 之间的关系。 ５ 应用实例 以求雷达的功率密度为例。设距离雷达天线 Ｒ远的目标处的功率密度为ｓ，假定为理想无损 耗、自由空间传播的收发公用天线的单基地雷达。 则目标处功率密度Ｓ与雷达发射功率Ｐ、雷达与目 标的距离Ｒ、波长 及有效面积Ａ有关。 在国际单位制中，选取质量（Ｍ）、长度（Ｌ）、时 间（丁）为基本量，则该问题涉及的各物理量的量纲 式为： 量纲式Ｉ ＭＴ ＭＬ 一。ｌ 丁。１ Ｌ ｌ Ｌ ｌ Ｌ。 １Ｏ６ 方亮等：量纲分析在雷达作战效能评估中的应用 总第１９３期 由量纲分析方法（公式两边量纲一致），则Ｓ的 量纲为： Ｉ－ｓｌ—Ｐ Ｒ。： 口３Ａ 即， ＭＴ 一Ｐａ１Ｒ。２ ％Ａ Ｉ （１６） 所以： （１５） Ｓ＝ＰＲ Ｇ（４ 嚣 此结论与已验证的公式 ］ｓ＝＝＝ （２１） 一致。 为容易看出它们之间的关系，将量纲列成下 表： Ｓ Ｍ：１ ６ 结语 应用量纲分析，不仅可以使我们在许多复杂的 物理过程中，避开严格的通常是繁琐的数学推理， 较容量地得出物理量的半定量关系，而且也可以有 助于新的科学发现。 Ｐａ１ 口１ Ｒ ０ 。３ Ａ ０ Ｏ Ｌ：０ Ｔ：一３ ２ａｌ —— １ ２ ０ ３ ２ａ４ Ｏ Ｏ 雷达的作战能力指数构模与物理学中的定律 有很大差异，雷达的作战能力不是一个严格的物理 量，没有严格的量纲，因而不便用隐函数的表达式。 （１７） 由表中可见： ｆ ａｌ一１ ２ １＋ａ２＋ａ３＋２ａ４—０ 利用量纲分析所求出的无量纲数只是为构造作战 能力指数公式提供了一种选择的机会，在具体使用 无量纲数构造模型时还必须借助于对实际问题的 了解和分析，仅靠量纲分析的结果是不够的。 参考文献 【 一３ａ１一一３ 解得： ｊ．＜ Ｉ２＋ 一 ｄ２＋ａ３＋２ａ４—０ 所以， ・ （ｌ １Ｉ ８）ｌ ）（４ ｉ（１９） ，为无量 ５～ 一膊（（ ） ［１］鞠儒生．基于数据耕种与数据挖掘的系统效能评估方 法研究［Ｄ］．长沙：国防科学技术大学，２００６ ［２３徐学文，王寿云．现代作战模拟［Ｍ］．北京：科学出版社， ２００１：１５Ｏ～１ ７９ 由天线理论知道，天线增益Ｇ一 纲量，且（ ） 变为： 一也为无量纲量，所以式（１９） （２０） ［３ 甄涛，王平均，张新民．地地导弹武器作战效能评估方 法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００５：１０～１７ ［４］陈永光，李修和，沈阳．组网雷达作战能力分析与评估 ［Ｍ＿Ｊ．北京：国防工业出版，２００６：１３￣２７ ［５］彭峰生，廖振强．基于幂指数模型的自行高炮系统效能 分析ＥＪ］．南京理工大学学报，２００７，３１（６）：７３１～７３４ Ｓ—ＰＲａ２（ ｔ 。ｓ ０ａ４（４ ７ｃ）～ 般来说，天线增益取一次幂，则ＯＬ 一１，且ａ。 ＋２ａ４—０，又２＋ａ２＋ａ３＋２ａ｛一Ｏ， 得： ｆａ１—１ ［６］宋德政．量纲分析原理及应用［Ｊ］．西南工学院学报， １９９９，１４（２）：７５－－８０ Ｊｒ２刘奇志．武器作战效能指数模型与量纲分析理论［Ｊ］． 军事运筹与系统工程，２００１（３）：ｌ５～１９ ｌａ２一一２ Ｊ ａ３一－－２ ｌａ 一１ ［８］丁鹭飞，耿富录．雷达原理［Ｍ］．西安：西安电子科技大 学出版社，２００２：１２８～１３０ 乖 尔 尔 乔 乔 钎 ：’ ： ｛！： ！ 尔 ’： ｛！： Ｉ： ｛’； ｛’ ！； ｛！ 币 ’ ｛！；：筇 ！ ． ’ 乔｛！≈ ；： ！ 尔 ！ 筇 ！；尔 ！ ’；尔 ！ 尔 （上接第３８页） ［４］Ａｉｄａｌａ，Ｖ．Ｊ．，Ｎｏｒｄｏｎｅ，Ｓ．Ｃ．Ｂｉａｓｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｐ～ ｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｓｅｕｄｏｌｉｎｅａｒ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｆｉｌｔｅｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ＡＥ １８，ｌ９８２（７） Ｉ、ｒａｎｓ．ＡＣ－２８，１９８３ ［６］陈宝林．最优化理论与算法［Ｍ］．北京：清华大学出版 社，２００５ ［７］罗浩，赵厚奎，杨津骁．～种解决纯方位跟踪问题的新 的最小二乘模型［Ｊ］．火力指挥与控制，２００８，３３（１１）： 】３７～】３９ Ｅｓ］Ａｉｄａｌａ，Ｖ．Ｊ．，Ｈａｍｍｅｌ，Ｓ．Ｅ．Ｕｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｐｏｌａｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ ｆｏｒ ｂｅａｒｉｎｇｓ—ｏｎｌｙ ｔｒａｃｋｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ