7.1复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义

【7.1复数的概念】

【学习目标】掌握复数的有关概念

正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系 理解复数的几何意义 【难点突破】 知识点1：.复数的概念

我们把形如abia,bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 全体复数梭构成的集合C=abi|a,bR叫做复数集，其中i21.

知识点2：复数的几何意义

复平面内的点Za,b.这是复数的一种几何意义. 复数z=a+bi一一对应复数的几何意义---与向量对应

平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义. 复数z=a+bi一一对应知识点3：复数的模和共轭复数

1.向量OZ模叫做复数z=abi,的模或绝对值，记作z或abi.即z=abi=a2b2，其中a,b∈R，z表示复平面内的点Za,b到原点的距离。

2.如果b=0，那么z=abi是一个实数a，它的模就等于aa的绝对值.

共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.

虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi,那么z=a-bi.

特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.

共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.

【例题分析】

例1.若复数z的共轭复数记作

位，所以

𝑧的虚部为（ ）

_

𝑧 ，且复数 𝑧 满足2𝑧+𝑧=3−2𝑖 ， 其中i为虚数单

_

A. −2𝑖 B. 2𝑖 C. -2 D. 2 【答案】 D

【解析】设 𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅) ，则 𝑧̅=𝑎−𝑏𝑖 ， 2𝑧+𝑧̅=2(𝑎+𝑏𝑖)+𝑎−𝑏𝑖=3𝑎+𝑏𝑖=3−2𝑖 ，

所以 𝑎=1 ， 𝑏=−2 ，所以 𝑧=1−2𝑖 ，故 𝑧̅=1+2𝑖 ， 所以 𝑧̅ 的虚部为2. 故答案为：D.

例2.在复平面内，三点 𝐴 、 𝐵 、 𝐶 分别对应复数 𝑧𝐴 、 𝑧𝐵 、 𝑧𝐶 ，若 𝑧𝐵−𝑧𝐴=1+3𝑖 ，则 𝛥𝐴𝐵𝐶 的

𝐶

𝐴

𝑧−𝑧4

三边长之比为________ 【答案】 3：4：5

⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 𝑎+𝑏𝑖 ， 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 𝑐+𝑑𝑖 ， 【解析】设 𝐴𝐵

则 𝑎+𝑏𝑖=(𝑐+𝑑𝑖)(1+3𝑖)=(𝑐−3𝑑)+(𝑑+3𝑐)𝑖 ， 所以 𝑎=𝑐−3𝑑 ， 𝑏=𝑑+3𝑐 ，

⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑐−𝑎)+(𝑏−𝑑)𝑖=4𝑑−4𝑐𝑖 ， 所以 𝐵𝐶

33⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝑐,𝑑)⋅(4𝑑,−4𝑐)=0 ， 所以 𝐴𝐶

33

4

44

4

4

所以 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 ,

又 𝐴𝐶=|𝑧𝐵−𝑧𝐴| ，所以 𝐴𝐶=|1+3𝑖|=√12+(3)2=3 ，

𝐶

𝐴

𝐴𝐵|𝑧−𝑧|𝐴𝐵445

又 𝐴𝐶⊥𝐵𝐶 ,则 𝐴𝐶=故答案为： 3:4:5 .

𝐵𝐶√52−323

=3 ，

4

所以 𝛥𝐴𝐵𝐶 的三边长之比为： 3:4:5 ,

【小题演练】

1.已知复数z满足 |𝑧|−𝑧=1+𝑖 （i为虚数单位），则 𝑧= （ ） A. i B. −𝑖 C. 1−𝑖 D. 1+𝑖 2.已知 𝑎∈𝑅 ，若有 |𝑎−𝑖|=√5 （ 𝑖 为虚数单位），则 𝑎= （ ） A. 1 B. -2 C. ±2 D. ±1 3.若复数z满足 𝑧+(5−6𝑖)=3 ，则z的虚部是（ ）

A. −2𝑖 B. 6𝑖 C. 1 D. 6 4.设复数 𝑧 满足： (1+𝑖)𝑧=2−𝑖 ，则 𝑧 的虚部为（ ） A. 2𝑖 B. 2 C. −2𝑖 D. −2 5.已知复数z满足 𝑧⋅(1+2𝑖)=5 ，则z的虚部是________， |𝑧|= ________．

6.若复数 𝑧 满足 (1−2𝑖)𝑧=10 （ 𝑖 为虚数单位），则 𝑧 的虚部为________， |𝑧|= ________

1

1

3

3

【参考答案】

1.【答案】

B

【解析】解：令 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 ，

因为 |𝑧|−𝑧=1+𝑖 ，所以 √𝑎2+𝑏2−(𝑎+𝑏𝑖)=1+𝑖 ，即 √𝑎2+𝑏2−𝑎−𝑏𝑖=1+𝑖 ，

22𝑎=0所以 {√𝑎+𝑏−𝑎=1 ，解得 { ，

𝑏=−1−𝑏=1

所以 𝑧=−𝑖 ， 故答案为：B。 2.【答案】 C 【解析】因为 𝑎∈𝑅

所以 |𝑎−𝑖|=√𝑎2+(−1)2=√5 ， 即 𝑎2+1=5 ， 解得 𝑎=±2 ， 故答案为：C 3.【答案】 D

【解析】 𝑧=3−(5−6𝑖)=−2+6𝑖 ，则z的虚部是 6。

故答案为：D。 4.【答案】 D

【解析】因为 (1+𝑖)𝑧=2−𝑖 ，故可得 𝑧=1+𝑖=(1+𝑖)(1−𝑖)=2−2𝑖 。 则 𝑧 的虚部为： − 。

23

2−𝑖

(2−𝑖)(1−𝑖)

1

3

故答案为：D. 5.【答案】 -2；√5

【解析】 ∵𝑧⋅(1+2𝑖)=5 ， ∴𝑧=1+2𝑖=(1+2𝑖)(1−2𝑖)=1−2𝑖 ，

∴ z的虚部是 −2 ， |𝑧|=√12+(−2)2=√5 . 故答案为：-2； √5 . 6.【答案】 4；2√5 【解析】 𝑧=1−2𝑖=(1−2𝑖)(1+2𝑖)=

10

10(1+2𝑖)

10(1+2𝑖)

5

5

5(1−2𝑖)

=2+4𝑖 ，

所以复数 𝑧 的虚部是4， |𝑧|=√22+42=2√5 , 故答案为： 4 ； 2√5。