数学(理)试题
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)
1、=( )
A.-2+4i B.-2-4i C.2+4i D.2-4i
2、设集合A={x|x＞3},B={x|A.
},则A∩B=( )
B.(3,4) C.(-2,1) D.(4,+∞)
3、已知△ABC中，,则cosA=( )
A. B. C. D.
4、曲线在点（1,1)处的切线方程为( )
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0
5、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB,E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D. ,则|b|=( )
6、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=A.
B.
C.5 D.25
,
,则( )
7、设a=log3π,
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a
8、若将函数y=tan()(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数
y=tan(
)的图象重合，则ω的最小值为…( )
1
A. B. C. D.
9、已知直线y=k(x+2)(k＞0)与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=( )
A. B. C. D.
10、甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A.6种 B.12种 C.30种 D.36种
11、已知双曲线C:交C于A、B两点.若
(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F且斜率为，则C的离心率为( )
的直线
A. B. C. D.
12、纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“Δ”的面的方位是( )
A.南 B.北 C.西 D.下 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分) 13、（
)4的展开式中x3y3的系数为___________.
14、设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3.则=___________.
15、设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球
O的表面得到圆C,若圆C的面积等于,则球O的表面积等于______________.
2
16、已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,ABCD的面积的最大值为_____________. 三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)
),则四边形
17、(10分) 设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,cos(A-C)+cosB=求B.
,b2=ac,
18、(12分)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1. (Ⅰ)证明:AB=AC;
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.
19、(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (Ⅰ)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式.
3
20、(12分)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核. (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(Ⅲ)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.
21、(12分)已知椭圆C:(a＞b＞0)的离心率为,过右焦点F的直线l
与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
22、(12分)设函数
=x2+aln(1+x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2.
的单调性;
.
成立?若存
(Ⅰ)求a的取值范围,并讨论(Ⅱ)证明: fx2
12In2. 4
4
2009年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）
数学(理)试题
答案解析:
一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分) 1、(5分) A
解析:2、(5分) B
.故选A.
解析:∵(x-1)(x-4)＜0,∴1＜x＜4,
即B={x|1＜x＜4},∴A∩B=(3,4).故选B. 3、(5分) D
解析:∵,∴A为钝角.
又∵,∴.
代入sin2A+cos2A=1,求得故选D. 4、(5分) B
.
解析:∵∴y′|x=1=-1. ∴切线的斜率k=-1. ∴切线方程为y-1=-(x-1), 即x+y-2=0.故选B. 5、(5分) C
,
5
解析:如图所示,连接A1B,因A1D1
BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，
所以A1B∥D1C,则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角. 不妨设AB=1,则AA1=2,设∠ABE=α,∠ABA1=β,则
,,,.
∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=6、(5分) C 解析:设b=(x,y),
.故选C.
由
得
解方程组得则|b|=7、(5分) A
或.故选C.
解析:∵a=log3π＞log33=1,,
.
∴a＞b＞c.故选A. 8、(5分) D
解析:将函数y=tan(
)(ω＞0)的图象向右平移
6
个单位,
得y=tan(),又因平移后函数的图象与y=tan()的图象重合,
∴(k∈Z),即,
∴ 当k=0时,9、(5分) D
,即ω的最小值为.故选D.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,Δ=16(k2-2)2-4k2·4k2＞0.
得-1＜k＜1,即0＜k＜1,
,x1x2=4.
又∵|FA|=2|FB|,由抛物线定义,知F(2,0),抛物线的准线方程为x=-2,∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2, ∴x1+2=2x2+4,即x1=2x2+2. 代入x1·x2=4,得 x22+x2-2=0,
∴x2=1,或x2=-2(舍去,因x2＞0). ∴x1=2×1+2=4.
∴.
∴.
又0＜k＜1,∴10、(5分) C
.故选D.
解析:由题意知甲、乙所选的课程有一门相同的选法为乙所选的课程都不相同的选法有
一门不相同的选法共有24+6=30种.故选C.
7
种，甲、
种，所以甲、乙所选的课程中至少有
11、(5分) A
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),由得(c-x1,-y1)=4(x2-c,y2), ∴y1=-4y2.
设过F点斜率为的直线方程为∴
则有
∴
将y1=-4y2分别代入①②得
化简得
∴.
化简得16c2=9(3a2-b2)=9(3a2-c2+a2).
∴25c2=36a2.∴,即.
12、(5分) B
8
,
,
解析:如右图所示正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC,剪开棱D1C1使正方形DCC1D1向北的方向展平.剪开棱A1B1,使正方形ABB1A1向南的方向展开,然后拉开展平,则标“Δ”的面的方位则为北.故选B. 二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分) 13、(5分) 6
解析:设展开式中第r+1项为x3y3项, 由展开式中的通项,得=
得r=2.∴系数为14、(5分) 9
.令
.
,
解析:由a5=5a3,得,
.
15、(5分) 8π
解析:如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d,在Rt△ONB中,d2=R2-BN2.①
又∵π·BN2=
,
∴.
9
在△ONM中,d=OM·sin45°=,②
将②代入①得∴S球=4πR2=8π. 16、(5分) 5
,∴R2=2.
解析：如图所示,设|ON|=d1,|OP|=d2,则d12+d22=|OM|2=12+(在△ONC中,d12=|OC|2-|CN|2=4-|CN|2,∴同理在△OBP中,S四边形=S△CAD+S△CAB=
.
.
)2=3.
==
=.
当且仅当d1=d2时取等号,即d1=d2=时取等号.
三、解答题 ( 本大题 共 6 题, 共计 70 分)
17、(10分) 解:由cos(A-C)+cosB=及B=π-(A+C)得
cos(A-C)-cos(A+C)=,
10
cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,
.
又由b2=ac及正弦定理得 sin2B=sinAsinC.
故,
或(舍去),
于是或.
又由b2=ac知b≤a或b≤c,
所以.
18、(12分) 解法一:(Ⅰ)取BC的中点F,连接EF,则EF,从而EFDA.
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF∥DE. 又DE⊥平面BCC1,故AF⊥平面BCC1, 从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线, 所以AB=AC,
(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角. 由题设知∠AGC=60°.
设AC=2,则
.又AB=2,,故
11
.
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