托勒密定理证明
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发布时间：2024-10-23 02:49
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时间：6分钟前
在任意凸四边形ABCD中，通过构造相似三角形进行证明。首先，作△ABE，使其满足∠BAE=∠CAD和∠ABE=∠ACD，连接DE。可以得出△ABE与△ACD相似，从而得到BE/CD=AB/AC，即BE·AC=AB·CD（1）。接着，由△ABE与△ACD的相似性，可以推出AD/AC=AE/AB，并且∠BAC=∠EAD，进而△ABC与△AED相似，得出ED·AC=BC·AD（2）。将（1）和（2）相加，得到AC（BE+ED）等于AB·CD与AD·BC之和。
如果四边形ABCD是圆的内接四边形，当BE+ED等于BD时，等式成立，这就是著名的托勒密定理。在复数表示法中，将顶点A、B、C、D的坐标表示为复数，利用复数恒等式和三角不等式，可以进一步证明托勒密定理是圆内接四边形性质的体现。
对于圆内接四边形ABCD，具体证明过程如下：在弦BC上，圆周角∠BAC等于∠BDC，而AB上的∠ADB等于∠ACB。在AC上选取点K，使得∠ABK等于∠CBD，通过相似三角形的性质，得AK·BD等于AB·CD，CK·BD等于BC·DA，两者相加即得AC·BD的值等于两边对边乘积之和。
更一般地，对于四边形ABCD，其广义托勒密定理表述为：对角线长m和n，边长a、b、c、d之间的关系为m^2*n^2等于a^2*c^2+b^2*d^2减去2abcd*cos(A+C)。这个定理扩展了托勒密定理的适用范围，不仅限于圆内接四边形，还适用于所有四边形。
扩展资料
定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
