工科物理大作业09-电磁感应与电磁场

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．如图9-1所示，在无限长载流直导线旁，放置一圆形导体线框，且线框平面与直导线共面。则在下列情况下线框会产生感应电动势的是：

A．线框与直导线相对静止； B．线框的速度v沿纸面向上运动； C．直导线的电流IIO 图9-1

I0sint，线框与直导线相对静止；

D．线框绕过圆心O且垂直纸面的轴以角速度 转动；

E．线框以速度v向右远离直导线运动。 （C、E） [知识点] 法拉第电磁感应定律，由磁通量m变化判断。

[分析与解答] 判断线框在磁场中是否有感应电动势，只要看通过它的磁通量

mBdSBcosθdS是否发生变化即可，在A、B、D所示线圈中没有感应电动势因为磁通

SS量不变化；在C所示线框中有感应电动势，因为直导线电流在变化，磁场B在变化，则m会发生变化；而在E所示线框中也有感应电动势，因为离直导线越远，磁场越弱，m减小；。

2．如图9-2所示，通过导体线圈的磁感线减少了，则线圈内感应电动势的方向为：

A．顺时针； B．逆时针； C．iBB0； D．无法判断。 （B）

dm的负号意义。 dt 图9-2

[知识点] εi[分析与解答] 由楞次定理知，原来磁场方向向上并减弱，磁通量减少了，感应电流产生的磁场要阻碍向上的磁通量的减少，则会“减则同”，即其方向会与变化的磁场相同，则由右手螺旋法则知线圈内感应电动势的方向为逆时针。

3．如图9-3(a)所示，将一根导线弯折成半径为R的3/4圆周abcde，置于均匀磁场B中，当导线沿aoe的分角线方向以v向右运动时，导线中产生的感应电动势i为：

A．

bBcav2BRv； B．0； 2Oed 图9-3(a)

C．BRv； D．2BRv。 （D） [知识点] 补偿法，动生电动势分析与计算.

[分析与解答] 将圆弧导线abcde的a、e端用一直导线连接，形成如图9-3(b)所示的闭合回路。

当回路整体以速度v向右运动时，通过回路的磁通量不变，由法拉第电磁感应定律知，回路中电动势之和为零。即 abcdeaabcdeea0 又由动生电动势公式i eaabBcavOed 图9-3(b)

vBdl分析可知直导线ea电动势为

2RvB

vBdlvBeae则从上分析可知，导线abcde中的电动势与直导线ea电动势大小必相等，即圆弧形导线abcde上的电动势为

abcdeea2RvB，负号表示其方向相反

4. 如图9-4所示，M、N为水平面内的两根平行金属导轨，ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直导线，外磁场B垂直于水平面且向上，当外力使ab向右平移时，则cd的运动情况为：

A．不动； B．转动；

C．向左移动； D．向右移动。 （ D ）

[知识点] 动生电动势与安培力。

NdaMcBbv

图9-4

[分析与解答] 由于直导线ab处于均匀磁场B中，且速度、磁场与杆的方向三者垂直，有电动势

iBvab，电动势的方向就是vB的方向，则当ab向右平移时，会在abcda闭合回路中形成方

向为b→a→d→c顺时针的感应电流；又由安培定律dFIdlB知，直导线cd会受到向右的安培力的作用，直导线将会向右移动。

5．如图9-5所示，一导体棒ab，长为L，处于均匀磁场B中，绕通过c点垂直于棒的OO轴在水平面内转动，已知ac A．ab2L。则导体棒中感应电动势和a、b两端点的电势大小关系为： 31BL2，UaUb； 61BL2，UaUb； 6B．abC．ab0，UaUb；

D．ab0，有时UaUb，有时UaUb。 （A）

OB[知识点] 动生电动势判断与计算。

[分析与解答] 以c点为原点，建立如图所示坐标，在导体棒上任选一线元dx，其上的动生电动势为 dvBdlxBdx 整个导体棒上的电动势为 acO'xdxb

1L32L3Bxdx1BL20 6 图9-5

即感应电动势的方向为b→a，则a点电动势高于b点，即UaUb。

6．如图9-6(a)所示，在圆柱形区域内分布着均匀磁场B，且

dB为正的恒量，现将ao、ob、ab、dt

ab和cd 5段导线置于图示位置，则下列说法正确的是：

A．由于a、b两点电势确定，所以ab和aob上感生电动势相同，即ab B．cd导线处于B0的空间，故cd=0；

C．在该区域内，变化磁场激发的涡旋电场强度

aob；

BEkr，故

aobaab，abao0； bD．oa、ob均垂直于Ek，故oaob0。 （D）

[知识点] 感生电动势的概念、分析。

[分析与解答] 在如图9-6(b)所示的变化磁场中，在空间产生感生电场，感生电场线的分布是以o为圆心的一系列同心圆，各点的感生电场Ek方向沿着圆周的切线方向。

由于oa和ob与感生电场的方向正交，由电动势定义c

图9-6(a)

d

EkBoEkdlacbd 知，a00，ob0，则aob0；而ab导线处在感生电场中，且感生电场沿ab的分量不为零，则ab0，且方向由a指向b，即ab0。

cd导线虽处在磁场以外，但该空间仍有感生电场分布，且感生电场沿cd的分量不为零，则cd0。

经计算知，圆柱形区域内涡旋电场强度为Ek且有abS1 图9-6(b)

rdB，即Ekr。 2drdBdB、a，式中S1为三角形的面积，S2为扇形的面积，则aSˆab，但ˆ2ˆbˆbdtdtao0。

7．在下列关于自感和位移电流的表述中，正确的是： A．自感系数的定义式为Lm，所以，I越大，L越大； I B．自感是对线圈而言的，对直导线回路不存在自感问题； C．位移电流的本质是变化的电场；

D．位移电流只在平板电容器中存在，但它能激发磁场；

E．位移电流是电荷的定向运动产生的，也能激发磁场。 （C）

[知识点] 自感系数L和位移电流的概念。

[分析与解答] 线圈的自感系数L是反映线圈电磁惯性大小的物理量，它只和线圈本身的形状、大小、匝数、磁介质分布有关，而与线圈是否载流无关。当然线圈中有电流时，m与I成正比，故L与I无关。

从自感的定义式Lm可知，m是穿过一个回路的磁通量，这个“回路”即可以指线圈回I路，也可以指一般的载流回路。因而，并不是线圈才有自感，非线圈回路也有自感，只是与前者相比自感小得多。

位移电流实质上是指“变化的电场”，因而，它可存在于真空、介质、导体中。而且变化的电场（位移电流）是能激发磁场的。

8．激发涡旋电场的场源是：

A．静止电荷； B．运动电荷；

C．变化的磁场； D．电流。 （C） [知识点] 感生电场的概念。

9．已知平板电容器的电容为C，两板间的电势差U随时间变化，则其间的位移电流为： A．

dD； B．0； dtdU。 （D） dtq S C．CU； D．C[知识点] 位移电流Id的计算。

[分析与解答] 设平行板电容器的极板面积为S，其间的电位移为 D当极板间的电势差随时间变化时，极板上的带电量也同样随时间变化，则其间的位移电流为

Id由CdDddDdq DdSSdtdtSdtdtqdqdU关系可知 CUdtdtdU dt则 IdC

10．平板电容器在充电过程中，忽略边缘效应，作如图9-7所示的环路L1和L2，则沿两个环路的磁场强度H的环流必有：

A．HdlL1Hdl；

L2 B．HdlL1Hdl；

L2L1L2 C．HdlL1Hdl；

L2 D．Hdl0，Hdl0。 （C）

L1L2 图9-7

[知识点] 全电流安培环路定律。

[分析与解答] 根据全电流连续，平行板电容间的全部位移电流等于穿过L2的传导电流，因此，L1回路中的位移电流小于L2中的传导电流，则由H的环路定理知

HdlHdl

L1L2且

HdlIL2传

二、填空题

1．法拉第电磁感应定律的表达式为

idm ，此式表明：感应电动势i的大小等于dt磁通量随时间的变化率 ；负号表示i的方向（指向）是 阻碍磁通量的变化 的方向。

已知垂直通过一平面线圈的磁通量随时间变化的规律为m=6t线圈中的感应电动势的大小为i 12t[知识点] 法拉第电磁感应定律的意义。

2[分析与解答] m6t7t1

27t1（SI），则t时刻

7V，它表明i是随时间t变化的。

感应电动势的大小

idm12t7V dt

2. 如图9-8(a)所示，一条形磁铁插入线圈，根据楞次定律可知，线圈中感应电流i的流向是由c点指向 a 点。 [知识点] 楞次定理的应用。

[分析与解答] 由图9-8(b)知，原来磁场方向向上并在增加，由楞次定理知，磁通量增加了，则感应电流的磁场要阻碍向上的磁通量的增加，会“增则反”，即其方向会与变化后的磁场相反，则由右手螺旋法则知，线圈内感应电流的流向为顺时针方向即（即c→a）。

3．产生动生电动势的非静电力是 洛伦兹力 ，其相应的非静电性电场强度EkNSvNSvac 图9-8(a)

b

 vB ；动生电动势的方向（指向）就是 vB 的方向。

ac 图9-8(b)

b

产生感生电动势的非静电力是 感生电场力 。 [知识点] 动生电动势和感生电动势的概念。

4．如图9-9(a)所示，长为L的导体杆ab与通有电流I的长直载流导线共面，ab杆可绕通过a点，垂直于纸面的轴以角速度 转动，当ab杆转到与直导线垂直的位置时，杆中的动生电动势为

Iab0IDL(LDln)，a端的电势较b端的电势要 低 。 2DaDLb[知识点] 导体杆在非均匀场中转动时的动计算。

[分析与解答] 建立如图9-9(b)所示坐标，导体杆微元dr中的动生电动势为

divBdrrDBdr 直导线在dr处产生的磁场为

图9-9(a)

Iadrvbr

μI B0 方向向里

2r导体杆上的总电动势为

ODL 图9-9(b)

idiDLDμIμ0IDLrDdr0LDln

2D2r其方向由a指向b，则UaUb。

5．如图9-10(a)所示，直角三角形金属框架abc置于均匀磁场B中，磁

Bbcl30a 图9-10(a)

场方向与ab边平行，已知acl，bac30，当框架以角速度 绕ab边作匀角速度转动时，则ac边中的动生电动势ac

1Bl2 ，整个回路abca中的动生电动势为abca 0 。 8[知识点] 导体框在均匀场中转动时的动计算。

[分析与解答] 在ac上任选一线元dl，其vB方向如图，则dl上的动生电动势为 dacvBdlvBsin30dl而微元dl处的速度为 vlsin30 则ac边上总的动生电动势为 ac1vBdl 2dac11lBsin30dlBl2，方向由a指向c 028lBbdll由于ba边不切割磁场线运动，则 ba0 而cb边上总的动生电动势为 cbdcbcvBdl2l20l20vBdlBldl

l2030a 图9-10(b)

111BlBl2 方向由b→c 228则 abcaabbcca0

abl1，6．如图9-11所示，矩形导体线框abcd处于磁感强度BB0sint的均匀、变化磁场中，st 。 bcl2，则线框内感应电动势的大小为 l1l2B0co[知识点] 感生电动势感的计算。 [分析与解答] 线框内感生电动势的大小为 addmBdS dttl1bBl2

图9-11

c

B0costSB0l1l2cost

7. 在半径为R的圆柱形区域内存在一匀强磁场B，且以恒定变化率dB/dt减小，则区域内任一点（ r < R ）的感应电场强度Ek的大小为Ek的圆周在该点的切线方向 。 [知识点] 感生电场Ek的大小和方向。

EkrdB，其方向为 以中心为圆心、以r为半径2dtBOr RL 图9-12

[分析与解答] 由于B以及

dB的分布具有轴对称性，则感生电场的电场线为一系列的同心圆，如图dt9-12所示。作半径为rrR的环路L，选逆时针方向为绕行方向，则Ek的环流为

LEkdl2rEkSdBdB dSr2dtdt 则 EkrdB 2dt由于B在减小，则Ek的方向与图示方向相反。

8．半径为R的无限长圆柱形导体上均匀流有电流I，该导体材料的相对磁导率为r，则在与导体轴线相距r（r[分析与解答] 以r为半径，取圆形环路，则由有介质的安培环路定律有

0rI2r2 ； 而在导体轴线上一点的磁场能248RHdl2rHIr 22RIr2 2R H则磁感强度 Bμ0μrHμ0μrIr

2R2μ0μrI2r21则磁场能量密度 wmBH

282R4导体轴线上一点，r0 则 wm,o0

9．麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是： 变化的电场（位移电流）能激发磁场 和 变化的磁场能激发感生电场 。在麦克斯韦方程组中，表示变化电场与磁场关系的方程是

HdlδdSLSDdS 。 St[知识点] 麦克斯韦电磁场的基本理论。

10．如图9-13(a)所示，质量极小的薄金属片与长直导线共面，由于薄金属片质量极小，可借用超声悬浮技术，使金属片在微重力状态下悬浮着（详见工科物理教程下册第192页）。当长直导线中突然通过大电流I时，由于电磁感应，

I薄金属片

图9-13(a)

薄金属片中将产生涡电流，则它将 向右运动 。（填向上、向下、向左、向右或转动） [知识点] 涡电流的形成及方向判断。

[分析与解答] 当长直导线中电流增大时，其在薄金属片空间的磁通量增加，则会 在薄金属片中产生逆时针流动的感应涡旋电流，如图9-13(b)所示；这时，薄金属片内部因为带有涡流而成为载流导体，在长直导线的磁场中会受到磁力的作用；又由于长直导线的磁场与场点距离成反比，则对共面的圆电流而言，其靠近直导线的电流元受力大，且指向右边，远离直导线的电流元受力小，且指向左边，而圆电流受上、下磁力大小相等、方向相反，则圆电流将受到指向右边的合力的作

用，因此，薄金属片将在此力作用下将向右运动。 图9-13(b)

三、简答题

试比较位移电流与传导电流的异同点。

[答] 共同之处：位移电流与传导电流一样都会产生磁场。

不同之处：（1）传导电流源于自由电荷的定向运动，而位移电流不涉及电荷运动，本质上就是变化的电场；

（2）传导电流通过导体时要产生焦耳热，而位移电流则无热效应；

（3）传导电流只能在导体中存在，而位移电流可以在导体、电介质甚至真空中存在。

四、计算与证明题

1．如图9-14（a）所示，一边长为的正方形导体线框，内阻为R，以恒定速度v通过宽度为3a的均匀磁场区，B的方向垂直纸面向里。以正方形线框的前端刚好进入磁场区为计时起点，试在图9-14（b）所给的坐标中，画出正方形导体线框在运动过程中，其产生的感应电流Ii与时间t的关系曲线（要求标明有关坐标值，并取顺时针方向时电流Ii为正）。

[分析与解答] 如图9-14(c)所示，在正方形导体线框正在进入均匀磁场的过程中，t时刻线框进入磁场的面积为Sax，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

mBSBSBax

3aIi/Aaav0at/svt=0

图9-14(a)

图9-14(b)

x 图9-14(c)

av

avBavR0Ii/Aav2av3av

图9-14(f)

图9-14(d)

x 图9-14(e)

BavR4avt/s

则当0xa时，线框内的感应电动势为 dΦmdxBaBav dtdt即时间为0ta/v时，线框内的感应电流为 I1RBav，方向为逆时针方向 R如图9-14(d)所示，在正方形导体线框已经全部进入均匀磁场的过程中，线框的磁通量不变，即时间为a/vt3a/v时，则线框内无感应电流。

如图9-14(e)所示，在正方形导体线框正在离开均匀磁场的过程中，t时刻线框留在磁场的面积为Sa(ax)，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

mBSBSBa(ax)

则当0xa时，线框内的感应电动势为 dΦmdxBaBav dtdt即时间为3a/vt4a/v时，线框内的感应电流为 I1RBav，方向为顺时针方向 R则在整个过程中，感应电流Ii与时间t的关系曲线如图9-14(f)所示。

2．如图9-15所示，均匀磁场B中有一矩形导体框架，B与框架平面的正法线方向n之间的夹角3，框架内的ab

da段长为l，可沿框架以恒定速度v向右匀速运动。已知Bkt，k为正的常量，当tlcv0时，x0。试求：当直导线ab运动到

xb与cd边相距x时，框架回路中的感应电势i。 [分析与解答] 由题意知S的绕行方向为逆时针，则

图9-15

mBScos，而Sxl

idmdSdBBcosScos dtdtdtdxktcosllxcoskklvtcosklxcos

dt2klxcosklx0 （顺时针）

3．由两个无限长同轴薄圆筒导体组成的电缆，半径分别为R1和R2（R2率为的磁介质，且流过内、外圆筒的电流I大小相等，流向相反。

（1）试求长为l的一段电缆内的磁能； （2）试证明长为l的一段电缆的自感系数为LR1），其间充满磁导

l2πlnR2。 R1I[分析与解答] （1）由安培环路定律，当R1rR2时，H，B

2r2r取长为l，半径为r，厚度为dr的体积元，其体积dV2rldr，则微元的磁能为

I1I2I2ldr dWmwmdVBHdV222rldr24r8rI2lR2drI2lR2ln长为l的一段电缆内的磁能为 WmdWmR14r4R1（2）取长为l，厚为dr的面积元，其面积dS

ldr，则微元的磁通量为

Ildr 2r

dmBdS长为l的截面的磁通量为

IlR2drIlR2mdmlnR12rr2rR1LmlR2 lnI2R1则长为l的一段电缆的自感系数为

4．一无限长直导线通有电流II0e（式中I0、为恒量），与一矩形线框共面，并相互绝缘，线框的尺寸及位置如图9-15所示。试求：

（1）直导线与线框间的互感系数； （2）线框中的互感电动势。

tI=I0eata/23a/2 图9-16

[分析与解答]

（1）取dx，其到直导线距离为x，面积元dSadx，绕行方向为顺时针，则

0Ia0aI0etdmBdSdxdx

2x2x左侧线框磁通量为负值，右侧线框磁通量为正值，则有

3a21a2mdmdm右左0aI0etdx

2x0I0e2t3a0I0et2lnln3 12a2互感系数为

Mm0aln3 I2t（2）由II0e，m变化，互感电动势为

MMdI0a ln3I0et dt20aI0et ln3 （顺时针）

2

5．试计算下列各量：

（1）当前实验室达到的水平，可获得B2.0T的强磁场和E10应的能量密度有多大？并比较之。

6Vm的强电场。那么相

1B2122631.610Jm[解答] wm 20241071we0E24.4Jm3

2表明wm

（2）在加速器中，利用超导线圈可具有持续大电流的特性来制成超导储存环。若环中的

we，磁场比电场更利于储存能量。

B1.0T，要储存1.0kWh的能量，储存环的体积为多少？如果利用普通线圈中I500A电流

来储存同样的能量，该线圈的L应多大？ [解答] 由WmwmV， 1.0kWh3.6106Ws

WmWm3.61062410739.0m故 V wm1B21202Wm23.6106线圈的自感系数为 L29H 22I500通常一个直径为1cm，长为10cm，N

（3）如导线中存在着交变电场E71000匝的螺线管，其L约为103H。

E0sint，因而有交变的传导电流和位移电流。导线电导

11率的数量级为10，真空电容率0的数量级为10移电流密度D比值的数量级为多少？ [解答]

，的数量级为10。则传导电流密度与位

8EE0sint

DdDdE00E0cost dtdt取极大值，所以有

D0101110810 10710