19平面向量四心问题(最全)

1 已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）.

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足

，则动点P一定过△ABC的〔 〕.

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

4 已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔 〕.

A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足

OPOA(ABABACAC)，0,，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心

（C）重心 （D）垂心

6.O为△ABC所在平面内一点，如果OAOBOBOCOCOA，则O必为△ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

7.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足

222222OABCOBCAOCAB，则点O是三角形ABC的（ ）

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

8.设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，

OPOA(ABABcosBACACcosC)动点P满足的（ ）

0,，，则动点P的轨迹一定通过△ABC

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

△PP12P3的形1,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30，|OP1||OP2||OP3|1， 9.已知向量OP状是

10.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m = ．

22211在△ABC内求一点P，使APBPCP最小．

→与AC→满足(12.（06陕西）已知非零向量AB△ABC为( )

1

→ + )·BC=0且 · = , 则

→→→→|AB||AC||AB||AC|2

→AB→AC→AB→AC

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

213.已知ABC三个顶点A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

14．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（ ）

15．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（ ）

3A．2 B．2 C．3 D．6

16．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB( )

11A．2 B．0 C．1 D．2

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

（一）三角形各心的概念介绍

1、重心——三角形的三条中线的交点；

2、垂心——三角形的三条垂线的交点；

3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；

4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）

根据概念，可知各心的特征条件

重心将中线长度分成2：1；

垂线与对应边的向量积为0；

角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

外心到三角形各顶点的距离相等．

（二）三角形各心的向量表示

点O是△ABC的重心 OAOBOC0

点O是△ABC的垂心  OAOBOBOCOCOA

(ABABcosBACACcosC)设0,，则向量心

必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂

(ABABACAC)设0,，则向量

必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;

22点O是△ABC的外心 OAOBOC

2设O为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，

1XA+XB+XCYA+YB+YCOG(OAOBOC)3则有 重心G（ ， ）

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