专题研究 ｜‰礅 ｜ 浅谈 檐型厦骥麈庸 ４５４３５０） ◎李国明 （河南省焦作市修武县第一中学几何概型，是新课改新增的考查内容之一．它以其形象 直观的特点，备受人们青睐，它又可以与定积分等知识紧密 联系，以此为载体设计的试题情景新颖，还可以极大地提高 ＝丽 例２ 在线段［０，１］上任意 投三个点，问由０至三点的三线 学生接受信息、处理信息、创新探究的学习能力． 几何概型的概念 段，能构成三角形与不能构成三 角形这两个事件中哪一个事件的 概率大． 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模 型，简称为几何概型． 二、几何概型的基本特点 解析设０到ｉ点的ｉ线段 长分别为 ，Ｙ，ｚ，即相应的右端点 坐标为 ，Ｙ， ，显然０≤ ，Ｙ， ≤１．这 条线段构成三角形的 充要条件是： ＋Ｙ＞ ， ＋：＞Ｙ，Ｙ＋ ＞ ． 在线段［０，１］上任意投 二点 ，ｙ＿，。，与立方体０≤ ≤１， （１）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个． （２）每个基本事件出现的可能性相等． 三、几何概型概率计算公式 事件Ａ发生概率 ０≤ｙ≤ｌ，０≤ｚ≤１中的点（ ，Ｙ， ）一一对应，可见所求“构成 角形”的概率等价于边Ｋ为１的立方体 中均匀地掷点， 而点落在 ＋Ｙ＞ ， ＋ ＞Ｙ，Ｙ＋。＞ 区域中的概率．这也就 是落在图中由△ＡＤＣ，△ＡＤＢ，△ＢＤＣ，△ＡＯＣ，△ＡＯＢ， △ＢＯＣ所同成的区域Ｇ中的概率． 由于 （Ｔ）＝１，Ｖ（Ｇ）＝１ Ｖ（Ｇ） １ Ｐｒ ４、一 盛皇 匡垫 壅！亘 墓签 ２ 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 四、几何概型的应用 （一）与长度有关的几何概型 １．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表 示，则其概率的计算公式为： ３ ｘ了１×丁１×· ＝÷， Ｐ ｒ ４、一 盛皇 堡 试验的全部结果所构成的区域长度 ２．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随 ｐ 而 ‘ ｉ， 由此得出能与 能构成三角形两事件的概率一样大． 机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个 随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定 （三）综合问题 随着对几何概型的进一步学习，几何概型与二次方程、 线性规划、定积分、立体几何、不等式等知识的综合应用将 成为今后一个主要复习方向． 例３ 随机地取两个正数 和 Ｙ，这两个数中的每一个都不超过１， 试求 与Ｙ之和不超过１，积不小于 ０．０９的概率． 区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解． 例１ 公共汽车在０～５分钟内随机地到达车站，求汽 车在１～３分钟之间到达的概率． 分析将０～５分钟这段时间看作是一段长度为５个 单位长度的线段，则１～３分钟是这一线段中的２个单位 长度． 解 设“汽车在１—３分钟之间到达”为事件Ａ，则 解析０≤ ≤１，０≤Ｙ≤１，不等 Ｐ（Ａ）＝二＿ ＝÷． 所以“汽车在１～３分钟之间到达”的概率为÷． 式确定平面域Ｓ．Ａ＝‘ ＋Ｙ≤１，ｘｙ≥ ０．０９’．则Ａ发生的充要条件为０≤ 不等式确定了Ｓ的子域Ａ． Ｙ≤１，１≥ｘｙ≥０．０９， （二）与面积（或体积）有关的几何概型 １．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 故 ，＝措 ＝ １一 ） ０．１８ｌｎ３＝０．２． 一 表示，则其概率的计算公式为： 总之，几何概型是高中的新生事物，在平时模拟试题中 ：丽 考中常考的题型． ． 多有出现，试题难度以中低档为主，在平时学习中应注意不 断总结各种题型，同时注意与其他知识的综合应用以及在 实际问题中的应用，可以较好地提高学生解决实际问题的 能力． ２．“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高 ３．如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积 表示，则其概率的计算公式为 数学学习与研究２０１２ ５