强非局域介质中1_1维高斯型损耗空间双孤子的相互作用

HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS

强激光与粒子束

Vol.24,No.1󰀁Jan.,2012󰀁

文章编号:󰀁1001-4322(2012)01-0056-05

强非局域介质中1+1维高斯型损耗

空间双孤子的相互作用

*

李昌华,󰀁王形华,󰀁黎东波,󰀁刘孟连

(赣南师范学院物理与电子信息学院,江西赣州341000)

󰀁󰀁摘󰀁要:󰀁研究了1+1维高斯型双光束在含小损耗的强非局域非线性介质中的传输特性。通过对该介质中光束传输遵循的非局域非线性薛定谔方程进行近似简化,得到了含小损耗强非局域非线性介质中1+1维高斯型双光束传输模型。在此基础上运用解析的方法研究了双光束传输的演化规律,得到了准双孤子解。经过进一步分析发现,在传输过程中两光束中心的轨迹为艾里函数;两光束会准周期性地碰撞、分离;随着传输距离的增大,两光束中心之间的最大距离会越来越大。另一方面,当损耗逐渐增大时,两光束的碰撞空间周期将变短,同时两光束中心之间的最大距离也越来越大。

󰀁󰀁关键词:󰀁非线性光学;󰀁强非局域介质;󰀁小损耗;󰀁损耗孤子;󰀁空间孤子相互作用󰀁󰀁中图分类号:󰀁O437󰀁󰀁󰀁󰀁文献标志码:󰀁A󰀁󰀁doi:10.3788/HPLPB20122401.0056

󰀁󰀁1997年,Snyder等人提出了强非局域模型并得到了孤子解[1],由此掀开了非局域空间光孤子的研究序幕。2003年,郭旗在亚太光通信产业发展论坛上全面综述了在此之前非局域空间光孤子的研究状况[2]。光束在非局域非线性介质中传输时遵循非局域非线性薛定谔方程(NNLSE),据此,郭旗等修正了Snyder模型,得到了󰀁大相移󰀁的结果;接着讨论了平行垂直入射强非局域双孤子的相位演化和控制问题;共面平行垂直入射、

不共面对称斜入射强非局域空间光孤子的相互作用[5]和强非局域介质构成的平面波导中双光束、三光束同向共同传输的相互作用[6];强非局域空间光孤子的相互作用[7]。在实验方面,发现向列相液晶和铅玻璃具有强非局域特性,可实现全光控制。在高阶非局域空间孤子方面,已发现厄米-高斯空间光孤子,拉盖尔-高斯空间光孤子[15],厄米-高斯呼吸子[16],贝塞尔型孤子[17]和Ince-Gauss孤子[18]等。目前对非局域空间光孤子的研究大都基于无损耗情形,文献[19-20]利用变分法探讨了1+1维高斯型单光束存在小损耗时的传输特性,对双光束情形则没有涉及到,而且相关的文献报道也很鲜见。本文利用解析方法,探讨1+1维高斯型单光束在含小损耗强非局域介质中的传输特性,并在此基础上对双光束的相互作用进行探讨。

[8-12]

[13-14]

[3]

[4]

1󰀁含小损耗强非局域介质中1+1维高斯型光束演化规律的解析分析

󰀁󰀁1+1维光束在非局域非线性介质中传输存在损耗时,其遵循的NNLSE为[19-20]

i󰀁󰀁+󰀁󰀁󰀁󰀂-󰀁R(x-x󰀁)|󰀁(x󰀁,z)|2dx󰀁+i󰀁󰀂=0(1)2+󰀁󰀁z󰀁x式中:z为传输轴坐标;x为横轴坐标;󰀁(x,z)为傍轴光束;󰀁(󰀁>0)为传输损耗系数;󰀁=1/2k,󰀁=k󰀁,󰀁=n1/n0,

2

󰀁

+󰀁

n0为非线性介质折射率线性部分,n1为折射率的非线性系数,k为与线性折射率对应的波数;R(x-x󰀁)为非局域介质响应函数。

󰀁󰀁存在传输损耗时,󰀁(x,z)可表示为

[19]

󰀁(x,z)=󰀁(x,z)exp(-󰀁z)

中,P(z)=

(2)

2

这表明在传输过程中,光束的复振幅大小、传输功率随传输距离将按指数规律衰减。P(z)=P0exp(-2󰀁z),其

󰀁

-󰀁

󰀁

|󰀁(x,z)|dx,为光束传输功率;P0=

2

󰀁

-󰀁

󰀁

|󰀁(x,0)|dx=

󰀁

󰀁

-󰀁

|󰀁(x,z)|2dx,为初始功率。

对于强非局域介质w/a(z)󰀁1(w为介质响应函数特征宽度,a(z)为光束束宽),对R(x-x󰀁)在x󰀁=0处作泰

*

收稿日期:2011-03-17;󰀁󰀁修订日期:2011-07-13

基金项目:江西省教育厅科技项目(GJJ11586)

作者简介:李昌华(1977󰀁),男,硕士,主要从事非线性光学传输理论的研究;jxlch01@sina.com。通信作者:王形华(1963󰀁),男,教授,主要从事非线性光学传输理论的研究;jxwxh@126.com。第1期李昌华等:强非局域介质中1+1维高斯型损耗空间双孤子的相互作用57

勒级数展开取到二阶,再在x=0处作第二次泰勒级数展开取到二阶,式(1)可简化为

󰀁

󰀁󰀁󰀁2󰀁121󰀁P0x-󰀁-󰀁x󰀁2|󰀁(x󰀁,z)|2dx󰀁=0i+󰀁2+󰀁󰀂exp(-2󰀁z)R0P0-󰀁z󰀁x22

󰀁

(3)

式中:R0=R(0);󰀁=-󰀁2R(x)/󰀁x2|x=0>0。式(3)最后一项仅对光束的相位产生一个附加值,对束宽演化规律无影响。󰀁很小,exp(-2󰀁z)󰀁1-2󰀁z,式(3)可简化为

2

12󰀁󰀁󰀁i+󰀁󰀁󰀂(1-2󰀁z)R0P0-󰀁P0x=02+󰀁2󰀁z󰀁x

(4)

式(4)即为1+1维光束在含小损耗强非局域介质中传输的近似简化模型。

󰀁󰀁假设式(4)仍具有高斯形式的试探解

2x2

󰀁(x,z)=A(z)exp[i󰀁(z)]exp-2+ic(z)x

2a(z)

(5)

式中:A(z),󰀁(z)分别为复振幅的大小、相位;c(z)为波前曲率系数。

󰀁󰀁将式(5)代入式(4),考虑到实部系数之和、虚部系数之和分别要等于0,同时x取值为-󰀁~+󰀁范围内的任何值,式(4)中x的各次系数必须分别都等于0,由此可导出

da-4ac󰀁=0

dz

d󰀁+󰀁-󰀁P0(1-2󰀁z)(R0-1󰀁a2)=02dza4dc󰀁21-4+4󰀁c+󰀁󰀂P0(1-2󰀁z)=0dza2

󰀁󰀁无损耗时,󰀁=0,各参量的演化规律为[3]

2

a2=a20cos(󰀁z)+1sin2(󰀁z)

󰀁(6)(7)(8)

(9)

-12A=

P0cos2(󰀁z)+1sin2(󰀁z)

󰀁󰀁(10)

2

1󰀁󰀂P0a0(1-1/󰀁)(1/󰀁+1)z󰀁=-arctan[󰀁tan(󰀁z)]+sin(2󰀁z)+󰀁P0R0z-2

216a0󰀁8ka20c=

󰀁k(󰀁-1)sin(2󰀁z)224[cos(󰀁z)+󰀁sin(󰀁z)]

[19]

(11)(12)

式中:󰀁=(󰀁󰀂P0)1/2,为无损耗时的传输系数;a0=a(0),为初始束宽;󰀁=Pc/P0为功率比;Pc=1/[󰀁a40k󰀁],为临界功率。保留到一级修正,由式(6),(8)可得

2

g20=cos

1/󰀁z)+󰀁sin2(

1/󰀁z)(13)(14)

2󰀁g50(z)zg(z)=g0(z)+

3󰀁+g40(z)

式中:g(z)=a(z)/a0为归一化束宽;g0(z)为无损耗时归一化束宽。式(13)、(14)即为1+1维高斯型单光束在含小损耗强非局域非线性介质中传输时束宽的演化规律。当损耗足够小,光束从光腰处入射,且初始功率等于临界功率时,可近似得到束宽缓慢展宽的准空间光孤子󰀁󰀁󰀁损耗光孤子。

2󰀁1+1维高斯型损耗双孤子的相互作用

󰀁󰀁含小损耗强非局域介质中,总功率为P0的高斯型双光束传输同样满足式(4)

󰀁(x,z)=󰀁(x,z)exp(ifz)

由式(4),(15),并令波函数󰀁(x,z)的常系数项为0,可得f=󰀁R0P0及

2

󰀁󰀁󰀁1󰀁i+󰀁󰀁󰀂P0x2󰀁(1-2󰀁z)=02-󰀁z󰀁x2

[4,19]

。令

(15)

(16)

󰀁󰀁式(16)的解只是比式(4)的解少了一个依赖于输入总功率和介质长度的相位因子exp(ifz),由式(4)解得的关于束宽演化的结论同样适合于式(16)[4]。设式(4)的试探解为

󰀁󰀁(x,z)=󰀁[x󰀁x0(z),z]exp[󰀁i󰀁(z)x+i󰀁(z)]

(17)

式中:󰀁(z)=(1/4)k󰀁x20(z)sin(2󰀁z);󰀁(z)表示光束波数在x轴的分量,󰀁(z)=-kx0(z)󰀁sin(󰀁z);x0(z)=

58强激光与粒子束第24卷

2

x0(0)cos(󰀁z)[4];x0(z)必须满足d2x0(z)/dz2+󰀁(1-2󰀁z)2x0(z)=0[1],由此可解得

22

-󰀁+2󰀁z󰀁2-󰀁+2󰀁z󰀁2

33x0(z)=C1AiryAi+C2AiryBi24244󰀁󰀁4󰀁󰀁(18)

式中:C1和C2为常数,AiryAi和AiryBi为艾里函数。利用线性叠加,假设式(16)的试探解为󰀁(x,z)=C󰀁[󰀁+(x,z)󰀁󰀁-(x,z)],其中,

󰀁+(x,z)=󰀁-(x,z)=

C󰀁是待定常数,󰀁󰀂 表示两束光输入时的相位差为0或󰀁。则

2

P0[x+x0(z)]2

exp[i󰀁󰀁(z)-i󰀁(z)+i󰀁(z)]exp-+ic(z)[x+x0(z)]2

2a(z)󰀁a(z)

[x-x0(z)]P0exp[i󰀁󰀁(z)+i󰀁(z)+i󰀁(z)]exp-+ic(z)[x-x0(z)]222a(z)󰀁a(z)

2

2

(19)

式中:󰀁󰀁(z)=-{arctan[󰀁tan(󰀁z)]}/2。

󰀁󰀁将试探解代入式(16),取x系数的实部和虚部分别为0可得

da(z)-4󰀁c(z)a(z)=0

dz

dc(z)󰀁21-4+4󰀁c(z)+󰀁󰀂(1-2󰀁z)P0=0dza(z)2

同样引入归一化束宽参量g(z)=a(z)/a0,并保留到一级修正,由式(20),(21)可得

2󰀁g50(z)zg(z)=g0(z)+43󰀁+g0(z)

结合式(15),可得式(16)的解为

󰀁(x,z)=

把式(19)代入式(23)得

󰀁󰀁(x,z)=

[x󰀁x0(z)]2C󰀁P0exp[i󰀁󰀁(z)+ifz+i󰀁(z)󰀁i󰀁(z)x]exp-+ic(z)[x󰀁x0(z)]2(24)22a(z)󰀁a(z)

C󰀁[󰀁+(x,z)exp(ifz)󰀁󰀁-(x,z)exp(ifz)]

(23)(22)(20)(21)

由于两光束必须满足

󰀁

-󰀁

+󰀁

2

|󰀁󰀁(x,0)|dx=P0,由此可得

C󰀁=

把式(24),(25)代入P=

1222{1󰀁exp[-x0(0)/a(0)]}

(25)

󰀁

-󰀁

+󰀁

|󰀁(x,z)|dx可得双光束传输过程中的总功率

(26)

2

42

x20(z)+a(z)󰀁(z)P0

P=1󰀁exp-21󰀁exp[-x0(0)2/a20]a(z)

当输入总功率等于临界功率,即P0=Pc时,得到双孤子解

󰀁󰀁(x,z)=

Pc

exp{i[󰀁󰀁(z)+󰀁(z)+fz]}22

2{1󰀁exp[-x20(0)/a0]}-[x󰀁x0(z)]󰀁i󰀁(z)xexp1/2

2a20

[󰀁a0]

(27)

3󰀁光束中心的演化规律

󰀁󰀁由式(18)可知,存在小损耗时光束中心的演化规律与󰀁,󰀁,C1和C2有关。只要给出恰当的初始条件就能得出其光束中心的演化规律。图1给出了含小损耗强非局域介质中同功率高斯型双孤子平行入射时光束中心的演化规律。假设两光束到传输轴的初始距离都为1,即x0(0)=1;由于两光束都垂直入射,所以x0󰀁(0)=0。󰀁可以视光束和介质情况而定,这里假定为0.1;结合式(18)可得C1=1.4364,C2=-3.0841。图1给出了每束光的初始功率为0.5Pc,总功率P0=Pc,不同损耗情形时两光束中心演化的规律。从图中可知在传输过程中两光束中心到z轴的距离按艾里函数形式变化;两光束按准周期的规律在z轴相遇,发生碰撞,分开,再碰撞,再分开;且两光束中心之间的最大距离越来越大,即两光束中心逐渐远离;当损耗逐渐增大(从图1(a)到图1(d),损耗系数逐渐变大,从0.05变大到0.1),碰撞周期变短,两光束中心之间的最大距离也越来越大,这表明两光束中心也逐渐远离。第1期李昌华等:强非局域介质中1+1维高斯型损耗空间双孤子的相互作用59

Fig.1󰀁Beamcentervspropagationdistance

图1󰀁光束中心随传输距离的演化

4󰀁结󰀁论

󰀁󰀁用解析的方法研究了1+1维高斯型光束在含小损耗的强非局域非线性介质中的传输特性,得到光束各参量的演化方程和束宽的演化规律;得到了损耗孤子解。通过相关变换简化了含小损耗时1+1维高斯型双光束所满足的强非局域传输方程,依据此方程探讨了存在小损耗时1+1维高斯型双光束之间的相互作用。结果表明,在小损耗情形下,两光束在传输过程中会在z轴上不断发生相互碰撞,每次碰撞之后波形依然保持不变,继续按照自身的演化规律传输;两光束中心之间的最大距离会越来越大。另一方面,在传输过程中两光束的中心轨迹为艾里函数,当损耗逐渐增大,两光束中心的轨迹会准周期性的远离z轴,两光束中心之间的最大距离同时也越来越大,相互碰撞的周期逐渐变短。参考文献:

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Interactionbetween(1+1)DGaussianspatialdouble

solitonswithlossesinstronglynonlocalmedia

LiChanghua,󰀁WangXinghua,󰀁LiDongbo,󰀁LiuMenglian

(SchoolofPhysicsandElectronicInformation,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

󰀁󰀁Abstract:󰀁Thepropagationpropertiesof(1+1)DGaussiandoublelightbeamsinstronglynonlocalnonlinearmediawithlowlossesarestudied.BysimplifyingthenonlocalnonlinearSchr󰀁dingerequationwhichthelightpropagationinstronglynonlocalnonlinearmediawithlowlossesobeys,thepropagationmodelof(1+1)DGaussiandoublelightbeamsinthemediaisobtained.Withanalysismethod,theevolutionlawsofdoublelightbeamspropagationarestudied,thequasidoublesolitonssolutionisob-tained.Furtherstudiespointoutthatthetrajectoriesofthetwolightbeams󰀁centersinpropagationareAiryfunctions;thetwolightbeamswillcollideandseparate;withtheincreaseofpropagationdistance,themaximaldistancebetweenthetwolightbeams󰀁centerswillbecomelarger.Whenthelossesincrease,thecollisionspatialperiodwillbecomesmaller,andthemaximaldistancebetweenthetwolightbeams󰀁centerswillbecomelarger.

󰀁󰀁Keywords:󰀁nonlinearoptics;󰀁stronglynonlocalmedia;󰀁smallloss;󰀁lossysolitons;󰀁spatialsolitonsinteraction