2016年浙江省宁波市中考数学试卷
一、选择题
1 . 6的相反数是（ ） A．﹣6 B．
C．﹣ D．6
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5
D．a•a2=a3
3．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ） A．0.845×1010元 B．84.5×108元 4．使二次根式
C．8.45×109元
D．8.45×1010元
有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 5．如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
6．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
7．某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 尺寸（cm）
160
165 3
170 2
175 2
180 2
1 学生人数（人）
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ） A．165cm，165cm
B．165cm，170cm
C．170cm，165cm
D．170cm，170cm
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
10．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ） A．a=﹣2
B．a= C．a=1 D．a=
11．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
12．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 二、填空题
D．3S1+4S3
13．实数﹣27的立方根是 ． 14．分解因式：x2﹣xy= ．
15．…，下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，按此规律，图案⑦需 根火柴棒．
16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．
17．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．
18．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 ．
三、解答题（本大题有8小题，满分78分）
19．先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x=2．
20．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）
21．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）：
根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）求本次被调查的学生人数． （2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．
22．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
23．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线． （2）求DE的长．
24．某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
进价（万元/套） 售价（万元/套）
A 1.5 1.65
B 1.2 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元． （1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=三角形，求完美分割线CD的长．
，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰
26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG． （1）求点B的坐标．
（2）当OG=4时，求AG的长． （3）求证：GA平分∠OGE．
（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．
2016年浙江省宁波市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1 .6的相反数是（ ） A．﹣6 B．
C．﹣ D．6
【考点】相反数．
【分析】依据相反数的定义求解即可． 【解答】解：6的相反数是﹣6． 故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5
D．a•a2=a3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误； B、3a﹣a=2a，错误； C、（a3）2=a6，错误； D、a•a2=a3，正确； 故选D．
【点评】此题考查同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法的定义解答．
3．宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（ ） A．0.845×1010元 B．84.5×108元
C．8.45×109元
D．8.45×1010元
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于84.5亿有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．
【解答】解：84.5亿元用科学记数法表示为8.45×109元．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．使二次根式
有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1 【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，x﹣1≥0， 解得x≥1， 故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
5．如图所示的几何体的主视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可． 【解答】解：如图所示：几何体的主视图为：故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
6．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，则是红球的概率为（ ） A．
B．
C．
D．
．
【考点】概率公式．
【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
【解答】解：1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3=6个，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是3÷6=． 故选：C．
【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．某班10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 尺寸（cm）
160
165 3
170 2
175 2
180 2
1 学生人数（人）
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ） A．165cm，165cm
B．165cm，170cm
C．170cm，165cm
D．170cm，170cm
【考点】众数；中位数． 【专题】统计与概率．
【分析】根据表格可以直接得到这10名学生校服尺寸的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．
【解答】解：由表格可知，这10名学生校服尺寸的众数是165cm，
这10名学生校服尺寸按从小到大排列是：160、165、165、165、170、170、175、175、180、180， 故这10名学生校服尺寸的中位数是：故选B．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（ ）
cm，
A．40° B．50° C．60° D．70° 【考点】平行线的性质．
【分析】由CD∥AB，∠ACD=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A度数，继而求得答案．【解答】解：∵CD∥AB，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠A=50°． 故选B．
【点评】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．
9．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2 【考点】圆锥的计算． 【专题】与圆有关的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果． 【解答】解：∵h=8，r=6， 可设圆锥母线长为l， 由勾股定理，l=
=10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π， 所以圆锥的侧面积为60πcm2． 故选：C．
【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
10．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ） A．a=﹣2
B．a= C．a=1 D．a=
【考点】命题与定理．
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项． 【解答】解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是a=﹣2， 故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题
任何一个命题非真即假．的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ） A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数的性质．
【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1判断二次函数的增减性．
【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误； B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误； C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误； =1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
A．4S1 B．4S2 C．4S2+S3 【考点】平行四边形的性质．
D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2， ∴S2=S1﹣S3， ∴S3=2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1． 故选A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型． 二、填空题
13．实数﹣27的立方根是 ﹣3 ． 【考点】立方根．
【分析】由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果． 【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27， ∴实数﹣27的立方根是﹣3． 故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
14．分解因式：x2﹣xy= x（x﹣y） ． 【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据观察可知公因式是x，因此提出x即可得出答案． 【解答】解：x2﹣xy=x（x﹣y）．
【点评】此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
15．…，下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，按此规律，图案⑦需 50 根火柴棒．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）=7n+1根，令n=7可得答案． 【解答】解：∵图案①需火柴棒：8根； 图案②需火柴棒：8+7=15根； 图案③需火柴棒：8+7+7=22根； …
∴图案n需火柴棒：8+7（n﹣1）=7n+1根； 当n=7时，7n+1=7×7+1=50， ∴图案⑦需50根火柴棒； 故答案为：50．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．
16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 10
+1 m（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m， ∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°， ∴BE=AE•tan60°=10∴BC=CE+BE=10∴旗杆高BC为10故答案为：10
（m）， +1（m）． +1m．
+1．
【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
17．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为
．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由CD∥AB可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵弦CD∥AB， ∴S△ACD=S△OCD， ∴S阴影=S扇形COD=故答案为：
．
•π•
=
×π×
=
．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
18．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 6 ．
【考点】反比例函数的图象；三角形的面积；等腰三角形的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积． 【解答】解：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，）， ∵点C是x轴上一点，且AO=AC， ∴点C的坐标是（2a，0），
设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y=kx， ∴解得，k=
， ，
上， 或
（舍去），
又∵点B（b，）在y=∴
∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC=故答案为：6．
，解得，
=，
【点评】本题考查反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题（本大题有8小题，满分78分）
19．先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x=2． 【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式=x2﹣1+3x﹣x2 =3x﹣1，
当x=2时，原式=3×2﹣1=5．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形） 【考点】作图—应用与设计作图；轴对称的性质；中心对称． 【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可； （2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可； （3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可． 【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示； （3）如图3所示．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
21．为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）：
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数． （2）将条形统计图补充完整．
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【专题】统计与概率．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可知选择劳技的学生60人，占总体的30%，从而可以求得调查学生人数；
（2）根据文学的百分比和（1）中求得的学生调查数可以求得文学的有多少人，从而可以求得体育的多少人，进而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据调查的选择体育的学生所占的百分比可以估算出全校选择体育类的学生人数． 【解答】解：（1）60÷30%=200（人）， 即本次被调查的学生有200人；
（2）选择文学的学生有：200×15%=30（人）， 选择体育的学生有：200﹣24﹣60﹣30﹣16=70（人）， 补全的条形统计图如下图所示，
（3）1600×（人）．
即全校选择体育类的学生有560人．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．
22．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质． 【专题】动点型．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3， 解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴解得：
， ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，求点P的坐标为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．
23．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线． （2）求DE的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ODA=∠DAE， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F， ∴AF=CF=3， ∴OF=
=
=4．
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°， ∴四边形OFED是矩形， ∴DE=OF=4．
【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
24．某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
进价（万元/套） 售价（万元/套）
A 1.5 1.65
B 1.2 1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元． （1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组
，解此方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．
【解答】解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，
解得：
，
答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则A种设备购进数量增加1.5a套， 1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69， 解得：a≤10，
答：A种设备购进数量至多减少10套．
【点评】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．注意根据题意找到等量关系是关键．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=三角形，求完美分割线CD的长．
，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰
【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】新定义．
②△ACD是等腰三角形，③△BDC【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，∽△BCA即可．
②如图3中，③如图4中，（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，当AD=AC时，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得
=
，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°， ∴∠ACD=∠A=40°， ∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃． ∴∠ACB=96°或114°． （3）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴∴（
=
，设BD=x， ）2=x（x+2），
=66°，
∵x＞0， ∴x=
﹣1，
∵△BCD∽△BAC， ∴
=
=
×2=
， ﹣
．
∴CD=
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．
26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC=，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG． （1）求点B的坐标．
（2）当OG=4时，求AG的长． （3）求证：GA平分∠OGE．
（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；
（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；
（3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；
（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应 边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC=，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H， ∵四边形OABC为菱形， ∴OC∥AB， ∴∠BAH=∠COA． ∵tan∠AOC=， ∴tan∠BAH=．
又∵在直角△BAH中，AB=5， ∴BH=AB=4，AH=AB=3， ∴OH=OA+AH=5+3=8， ∴点B的坐标为（8，4）；
（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M， 在直角△AOM中，∵tan∠AOC=，OA=5， ∴AM=OA=4，OM=OA=3， ∵OG=4，
∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1， ∴AG=
（3）如图1，过点A作AN⊥EF于点N， ∵在△AOM与△AFN中，∴△AOM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN， ∴GA平分∠OGE．
（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q， 由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．
，
=
=
；
∵AB=AD， ∴∠ABP=
，
∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF， ∴∠OGA=∠EGA=∴∠OGA=ABP， 又∵∠GOA=∠BAP， ∴△GOA∽△BAP， ∴
=
，
．
，
∴GQ=×4=
∵tan∠AOC=， ∴OQ=∴G（
×=，
， ）．
【点评】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．
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