不等式专题
1. 不等式的基本观点
1.
不等（等）号的定义：
a b 0 a b; a b 0
.
a b; a b 0 a b.
2. 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式
3. 同向不等式与异向不等式 . 4.同解不等式与不等式的同解变形 . 2. 不等式的基天性质 （1） a （3） a
b b a （对称性）
（2） a
b,b c a
（4） a
c （传达性）
b, c
d
b a c b c （加法单一性）
d 0
a c ac
a c
a c b 0
d （同向不等式相加）
ac bc
（5） a b, c （7） a
b
d （异向不等式相减）
（8） a
（ 6） a. b, c
b,c
bc （乘法单一性）
b b 0, c d 0
1 a
ac bd （同向不等式相乘）
(9) a b
0,0 c d
（异向不等式相除）
(10) a
b, ab 0
d
1 （倒数关系） b
（11） a
b 0
a n b n (n Z, 且 n
1) （平方法例）
（ 12） a b
nn
0 a b ( n Z, 且 n
1) （开方法例）
练习：（ 1）对于实数 a, b,c 中，给出以下命题：
① 若 a ④ 若 a
b, 则 ac 2
b 0, 则
1
bc ；
2
② 若 ac ⑤ 若 a b
2
bc ,则 a b 2；
③
若 a b
⑥ 若
a
1 ； b
a c a
0, 则
b
0,则 a 2 ab b2 ；
；
⑧
a
1 a
a ； b
1 ，则 b
。
a b
0,则 a
b ；
⑦
若 c
a b 0,则
b
若 a b, a 0, b 0
c b
此中正确的命题是 ______
（答：②③⑥⑦⑧） ；
（ 2）已知
1
x y 1 1 x y
，
3
，则
3x y 的取值范围是 ______
（答：1 3 x y （答：
7 ）；
（ 3）已知 a
b c ，且 a b c 0, 则 的取值范围是 ______
a
c
2, 1 ）
2
3. 不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）
.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结） ① 一元一次不等式 ax>b 解的议论；
，定解 .
1
高考数学不等式专题复习计划
一元一次不等式
ax b 0(a
0) 的解法与解集形式
0 时， x
b
0 时 ， 当 a
, 即解集为
x | x
b 当 a
x
b 即解集为 x | x
b
a
a
a a
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0( a≠ 0) 解的议论 .
0
0
0
y ax2
bx c
y ax 2
bx c
y ax 2
bx
c
二 次
函
数
y
ax 2 bx
c
0 （ a
）的图象
一元二次方程
有两相等实根
有两相异实根
ax2 bx c
0
xb1 x2
无实根
a 0 的根
x1, x2 ( x1 x2 )
2a
ax2 bx c 0 (ax x xb
0)的解集
1或x x2
x x
R
2a
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x x1 x
x 2
（ 2）分式不等式的解法：先移项通分标准化（切忌去分母）
f x ＞0
f x g x 0
f x 0f x
f x g x <0
0f x g x 0
f x 0 g x
g x
g x
g x 0
g x
（3）无理不等式：转变为有理不等式求解
2
f x g x 0g x 0
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○
f (x)
0
1
定义域
f (x)
g (x)
g(x) 0
f (x) g(x)
○2
f ( x)
g( x)
f (x) g (x) f (x)
0 0
或 f (x)
g (x) [ g( x)] 2
0
0
○3
f ( x) g (x)
f (x) 0 g( x) 0
f (x) [ g( x)] 2
（4）. 指数不等式： 化 代数不等式
a a
f ( x) f ( x)
g( x ) f ( x ) g (x )
a b(a
(a 1) 0,b 0)
f ( x) g ( x); a
f ( x) lg a lg b
a (0 a 1)
f (x) g (x)
（5） 数不等式： 化 代数不等式
f (x)
log a f (x) log a g(x)( a 1)g(x)
0
0 ; log a f ( x) log a g ( x)(0 a 1)
f (x) f (x)
0 g(x)
g( x) 0
f (x) g (x)
（6）含 不等式
○
○
2 用数形思想；
○
1 用分 思想去 ； 3 用化 思想等价 化
| f ( x) | g (x)
| f ( x) | g ( x)
g ( x) 0
g ( x) f (x) g (x) 0( f ( x), g (x)不一样时
为 0) 或 g (x) g (x)
f ( x)
0
g ( x)或 f ( x) g (x)
： 求以下不等式的解集
（1） 3x
2
5x 2
0 ， （2）
x
3x
2 2 （3） 2 3x 5 x2 2x
2 （ 4） x 3 x 3 8
3
（5）2
x
(3 a)x 3a 0
（6）
( x 1)(x 2) 2 0 （ 7） (x
2) x2 2x 3 0
2
（ 8） x
3x 10 8 x
（ 9）
（10）
5．含参不等式的解法 ：求解的通法是“定 域 前提，函数增减性 基 ，分 是关 ．
原不等式的解集是⋯” 。注意 ：按参数 ，最后 按参数取 分 明其解集；但若按未知数 ，最后 求并集
”注意解完以后要写上： “ 上，
. 如
（1）若
log
2
a 3
1 ， a 的取 范 是 __________
（答：
a 1
0 a 或
2
3 ）；
3
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（2）解不等式
ax2 ax
1
；
x( a
R)
时，
时，
（
a
0
时，
{ x | x
0} a 0 { x | x
1 或a
x 0} a
；
1
{ x |
0
x 0} x
或
0} ）
a
提示：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有会合的形式表示；
如对于 x 的不等式 ax b 0
（ 2）不等式解集的端点值常常是不等式对应方程的 的解集为 (
根或不等式存心义范围的端点值。
,1) ，则不等式
x 2
ax b
0 的解集为
__________（答：（－ 1,2））
6. 不等式的恒建立 , 能建立 , 恰建立等问题 ：不等式恒建立问题的惯例办理方式？（常应用函数方程思想和“分别变量法”转变
为最值问题，也可抓住处给不等式的结构特点，利用数形联合法）
1) 一元二次不等式恒建立问题：
练习：若一元二次不等式 ax 2
4x a
0 的解集是 R则 a 的取值范围是
2). 恒建立问题
若不等式
f x f x
A在区间 D 上恒建立 , 则等价于在区间 D 上 f x上
min max
A
若不等式
B 在区间 D 上恒建立 , 则等价于在区间 D f x
B
练习：（ 1）设实数 x, y 知足 x
x 3
2( y 1)
2
1
，当
x
y c 0 时， c 的取值范围是 ______（答： 2
1,
）；
（2）不等式 x 4 （3）若不等式 2
a 对一确实数 x 恒建立，务实数 a 的取值范围 _____（答： a 1 ）；
x
1 m( x2
1) 对知足 m 2
的全部 m 都建立，则 x 的取值范围
（ 答：（
7 1 , 3 1 ））； 2 2
（4）若不等式
( x
2
1) n a 2 ( 1) n 1 对于随意正整数 n 恒建立，则实数 a 的取值范围是 _____（答： [ 2, ) ）；
n 2
3（5）若不等式
2mx 2m
1 0 对 0 x 1 的全部实数 x 都建立，求 m 的取值范围 . （答： m 1
2
）
3). 能建立问题
若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f 练习： 已知不等式 x
x x
A 建立 , 则等价于在区间 D f B 建立 , 则等价于在区间 D 上的上
x
max
A ； B .
f
x
min
4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集，务实数
4
a 的取值范围 ____
（答： a 1）
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7.基本不等式及其应用
1. 几个重要不等式 （1） 若 a R,则 | a | 0,a2
0
（2）若a、 b R , 则a2 b2
2ab(或 a2 b2 2 | ab | 2ab) （当仅当 a=b 时取等号）
ab
（3）假如 a,b 都是正数，那么
a
b
. （当仅当 a=b 时取等号）
2
则：
极值定理：若
○
x, y R , x y S, xy P, 1 假如 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小；
○
2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时， P 的值最大 .
（利用极值定理求最值的必需条件： 一正、二定、三相等 . ）
(4) 若 a、b、 c R , 则
a
b c 3
（当仅当 a=b=c 时取等号） 3 abc
(5) 若 ab
0,则
b
a
a b
2 （当仅当 a=b 时取等号）
(6)a 0时，|x | a x 2 2. 几个有名不等式
a 2
x
a 或 x a;| x | a
x2
2 1 1 a b
a2
ab
a
a b
x
（7）a 若a、b R, 则 || a | | b || | a b | | a | | b |
a 2 b2
.
2
2
（ 1）均匀不等式：
假如 a,b 都是正数，那么
（当仅当 a=b 时取等号）
即：平方均匀数≥算术均匀数≥几何均匀数≥调解均匀数（
a、b 为正数）：
）
特别地， ab
(
a
b )
2
a 22 b （当 a = b 时， (a b2
)
2
2
2
2
, ,
a b 2
22
ab
2
1
2
n
n
(
a 2 b 2 c 2
a
b c
a b c R a
b c时取等 )
幂均匀不等式： a
a 2 ... a2
1
n
1
( a a 2 ... a ) 2
3 3
注：比如：
(ac bd ) 2 ( a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) .
常用不等式的放缩法：①
11
n n 1
1 p 2 p 1 n( n 1) n n(n 1)
11
n 1 1 (n 2) n
②
n 1
n
1 n
n 1
p
1 2 n
p
1
n
n 1
n
n 1(n 1)
3. 不等式证明的几种常用方法 练习： 应用一：求最值
比较法、综合法、剖析法、换元法、反证法、放缩法、结构法 .
5
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2
1 1
（ 2） y＝x＋ x
4x 2
1. 求以下函数的值域（
1） y＝3x ＋ 2x 2
技巧一：凑项 已知 x
5 4
，求函数 y 1 的最大值。
4 x 5
技巧二：凑系数
当
时，求 y x(8 2x) 的最大值。
技巧三： 分别
求 y
x2 7x 10 ( x
x 1
1) 的值域。
条件求最值 1. 若实数知足 a
b
2 ，则 3a 3b 的最小值是
.
2. 若 log 4 x log 4 y
2，求
1 x
1 y
的最小值 . 并求 x, y 的值
技巧四：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，不然就会犯错。
1. 已知 x
0, y
0，且
1
x
9 1，求 x y
y 的最小值。
2. 若 x, y
R
且 2 x
y 1，求
11
的最小值
x y
技巧五、取平方
已知 x， y 为正实数， 3x＋2y＝ 10，求函数 W＝ 3x ＋ 2y 的最值 .
4.简单的线性规划
1、已知线性拘束条件，探究线性截距——加减的形式 ( 非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式 ) 目标关系最值问题（要点）
2x
例、设变量 x、 y 知足拘束条件 x
y 2 y y
1
1 ，则 2x 3y 的最大值为
x
2、设计线性规划，探究平面地区的面积问题
x y 2 0
例 在平面直角坐标系中，不等式组x y 2
表示的平面地区的面积是 0
y 0
15 高考题
6
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1.（15 北京理科）若 x ， y 知足
x x
y≤ 0，
则z
y ≤1，
x 2 y 的最大值为（ ）A．0 B．1
C．
3
D．2
x ≥ 0，
知足拘束条件
2
（ 广东理科）若变量 3. 15
x ，
y
4x 5y 8 则
1 x 3 z 3x 0
y
2
2 y
的最小值为（
）
A.
31
B.6C.
23 5
D. 4
5
4.（15 年广东文科）若变量 ， 知足拘束条件 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D.
x
x，y 知足拘束条件 x y
y 0 y
4 1
6.（15 年安徽文科）已知
0 ，则 z=-2x+y 的最大值是 ( )A.-1 B.-2 C.-5 D.1
7.（15 年福建理）若变量
x 2y
x, y 知足拘束条件 x y
x 2y
0, 0, 2 0,
则 z
2x y 的最小值等于 ( )A.
5 2
B. 2 C.
3 2
D.2
10.（15 年福建文）变量 x, y
知足拘束条件
x y x 2 y mx y
0
，若
2 0 0
z 2x y 的最大值为
，则实数 m 等于（ ） 2 A.-2 B.- 1 C.1
11.（15 年新课标 1 理科）若 x,y 知足拘束条件
则
y x
的最大值为 .3
12.（15 年新课标 2 理科）若 x， y 知足拘束条件 ，则 的最大值为 ____________．
x y 5 0
13.（15 年新课标 2 文科）若 x,y 知足拘束条件 2 x
x
y 1 0
2 y 1 0
,则 z=2x+y 的最大值为
．8
7（ 2013 山东卷）在平面直角坐标系 中 , 为不等式组 所表示的地区上一动点 , 则直线 的最小值为 _____
7
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