2017全国中考数学真题 等腰三角形与等边三角形(选择题+填空题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类

知识点29

等腰三角形与等边三角形（选择题+填空题+解答题）解析版

一、选择题

1. 6. 7．(2017年四川南充，7，3分)如图4，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( ) A．(1，1) B．(3，1) C．(3，3) D．(1，3) 答案：D 解析：过点B作BC⊥OA于点C，则OC＝1，BC＝OB2OC2＝2212＝3．∴点B的坐标为(1，

3)．故选D．

y B O 图3

A x

2. 11．(2017天津，3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下

列线段的长等于BP+EP最小值的是 A．BC

AB． CE C．AD D．AC

EPBD第11题C

答案：B，解析：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称， BP=CP，因此连接CE，BP+CP的最小值为CE，故选B.

3. 6. （2017浙江湖州，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于

A．1 B．2 C.

32 D．2

1

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CPABD（第6题）

答案：A，解析：在Rt△ABC中，连接CP并延长至AB于点D,由三角形的重心性质得到，重心到顶点的距离与重

：;又∵AC=BC，在等腰直角△ABC中，由三线合一，得到CD垂直心到对边中点的距离之比为2:1，即CP:PD21平分线段AB，AB=6，∴CD=BD=3，点P到AB所在直线的距离即为PD的长度，即PD=1.

4. （2017浙江台州，8，4分）如图，已知等腰三角形ABC，ABAC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）

A． AE=EC

B．AE=BE

C． ∠EBC=∠BAC

D．∠EBC=∠ABE

答案：C，解析：∵△ABC是等腰三角形， AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BC＝BE，∴∠ACB＝∠BEC，∴∠BAC＝∠EBC，因此选C．

5. （2017内蒙古包头）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ） A． 2cm B． 4cm C. 6cm D．8cm

答案：A，解析：考点等腰三角形的性质及三角形的三边关系（.1）若底边长为2cm，则腰长为(102)24cm，（2）若腰长为2cm，则底边长为4+2＞4符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为2cm；

10226cm，2+2＜6不符合三角形三边关系，所以该等腰三角形的底边长为6cm舍去.

6. （2017广西河池，12，3分）已知等边△ABC的边长为12， D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）

A．3 B．4 C. 8 D．9

答案：C

2

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解析：

由题易知△DEF为等边三角形，x＋2x＝12解得x＝4，∴AD＝2x＝8

7. （2017湖北荆州，6，3分）如图，在△ABC中，AB＝AC, ∠A ＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）

A.30° B.45° C.50° D.75°

答案：B，解析：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．

二、填空题

1. （2017浙江丽水·12·4分）等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是

答案：100°.

解析：根据三角形的内角和等于1800，又等腰三角形的一个内角为100°，所以这个100°的内角只可能是顶角，故填100°．

2. 16．(2017江苏扬州，，3分)如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= ▲ cm． 【答案】2+23 0【解析】根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP＝43。根据折叠的性

000,DPDA43,易得EPC30,PEC90,所以

质可以得到DPEA60EC

11PC(8434)223 A22DEBC3

P第16题图

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3. （2017山东淄博，16，4分）在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE

⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝____________. 答案：23，解析：过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接AD，则AG＝BG＝2． ∴CG＝AC－AG＝4－2＝23. ∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC,

111

∴2AB×DE＋2AC×DF＝2AB×CG. 111

∴2×4×DE＋2×4×DF＝2×4×CG. ∴DE＋DF＝CG＝23.

2

2

2

2

AGEB

三、解答题

1. （2017四川内江，18，9分）如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC. 求证：△BDE是等腰三角形.

FDC

思路分析：如图，直接利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B＝∠BDE，即可得出答案．

证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3．

4

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∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2． ∴∠2＝∠3．

∵AD⊥BD，∴∠2+∠B＝90°，∠3+∠BDE＝90°. ∴∠B＝∠BDE．

∴△BDE是等腰三角形．

2. （2017江苏连云港，22，10分） 如图，已知等腰三角形ABC中，ABAC，点D,E分别在边AB、AC上，且ADAE，连接BE、CD，

交于点F.

(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.

思路分析：（1）根据全等三角形的判定SAS可证明△ABE≌△ACD，然后证∠ABE=∠ACD，（2）根据（1）的结论可得AB=AC，从而得∠ABC∠ACB，∵∠ABE∠ACD∴∠FBC∠FCB∴FBFC，得点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即可证出结论，

解：(1)∠ABE∠ACD.

因为ABAC，∠BAE∠CAD，AE所以∠ABE∠ACD.

(2)因为ABAC，所以∠ABC∠ACB.

由(1)可知∠ABE∠ACD，所以∠FBC∠FCB，所以FBFC. 又因为ABAC，所以点A、F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC．

3. 18．（2017呼和浩特）（6分）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线． （1）求证：BD＝CE

（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当△ABC的重心到顶点A的距离与底

边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．

AD，所以△ABE≌△ACD.

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（1）证明：∵AB、AC为等腰三角形的两腰 ∴AB＝AC ∵BD，CE分别是两腰上的中线 ∴AE＝AD

在△AEC与△ADB中 AE＝AD ∠A＝∠A AC＝AB

∴△AEC≌△ADB ∴BD＝CE

（2）四边形DEMN为正方形

4. 26．（2017宁夏，9分在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥AB，PN

⊥AC，M、N分别为垂足．

（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高； （2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．

AMBPNC

思路分析：（1）连结AP，将△ABC分割成两个三角形，结合等边三角形的三条边相等， 利用面积公式，即可求证结论；（2）设BP的长为x，利用面积的和差关系，将四边形AMPN 的面积S用含x的代数式表示，将几何问题转换成代数式求最值问题，在此即是S关于x 的二次函数，运用配方法求出最值． （1）解：连结AP，

∵ △ABC是等边三角形，

故不妨设AB=BC=AC=a，其中BC边上的高记作h， ∵ PM⊥AB，PN⊥AC，

111ABMPACPNa(PMPN)， 22211又∵ S△ABC =BChah，

22∴ S△ABC =S△ABP+S△ACP =∴ PM+PN =h，

即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；

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AMBPNC

（2）解：设BP=x，

在Rt△BNP中，∠BMP=90°，∠B=60°，BP=x，

∴ BM=BP·cos60°=

31x，MP=BP·sin60°=x，

22 ∴ S△BMP=

332111x； BM·MP=·x·x=822223(2-x)2； 8 ∵ PC=2-x，同理可得：S△PNC=

又∵ S△ABC=

32

×2=3， 4 ∴ S四边形AMPN= S△ABC -S△BMP -S△PNC

=3-323333x-(2-x)2= -(x-1)2+

884433． 4 ∴ 当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，是

5. （2017北京，19，5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D． 求证：AD＝BC．

ADB

C

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思路分析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD＝∠C＝BDC. 再据等角对等边，及等量代

换即可求解．

解：∵AB＝AC, ∠A＝36°∴∠ABC＝∠C＝

11(180°-∠A)＝×(180°-36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠22DBC＝

11∠ABC＝×72°＝36°，∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴AD＝BD22＝BC．

6. （2017黑龙江大庆，24， 7分）

如图，以BC为底边的等腰ABC，点D,E,G分别在BC,AB,AC上，且EG//BC，DE//AC，延长GE至点F，使得BEBF.

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当C45，BD2时，求D,F两点间的距离.

思路分析:（1）证明两组对比分别平行（2）构造直角△DHF，利用勾股定理求解

解：（1）∵EG∥BC，∴EF∥BD，∴∠AEG=∠ABC，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠AGF,又BE=BF，∴∠F=∠FEB=∠AEG=∠AGE,∴BF∥AC，∵ED∥AC，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形.

（2）如图,作FH⊥DE，交DE延长线于点H，则四边形FBEH为正方形，FH=EH=EB.

∵∠ACB=45°，∴△ABC和△EDB都是等腰直角三角形，∵BD=2，∴BE=2×sin45°=2，

∴FH=2,HD=22,在Rt△FHD中，DF=HD2FH2=28=10

7. （2017内蒙古赤峰，25，12 分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E

分别是OA、OB、AB的中点．

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GPOCEQ图1AOPAEPB图2图3ECODCDABQDBQ（1）当∠AOB

＝90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

思路分析：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合

一性质，等角对等边，等边对等角，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，多边形内角和等，掌握相关图形的判定定理与性质定理是解题的关键．

（1）①利用直角三角形斜边上的中线性质证OE＝AE；②证PE垂直平分OA；③证∠OPE＝45°，④证∠OQE＝45°，写出结论.

（2）（1）中的结论成立.证△PCE≌△EDQ可得EP＝EQ． （3）∠AOB的度数＝

1（四边形的内角和－∠AGB的度数）． 2解：（1）EP＝EQ．连接OE．

∵∠AOB＝90°，E是AB的中点，∴OE＝AE． 又∵OP＝AP，∴PE垂直平分OA，∴点C在PE上． ∵∠OPA＝90°，∴∠OPE＝

1∠OPA＝45°． 2同理可证∠OQE＝45°．∴EP＝EQ．

（2）∵△OPA等腰直角三角形，点C是OA的中点，

∴OC＝PC，∠PCA＝90°．

∵点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点， ∴CE∥OD，OC∥DE．

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∴四边形ODEC是平行四边形． ∴OC＝DE． ∴PC＝DE．

同理可证CE＝DQ，∠BDQ＝90°． ∵CE∥OD，OC∥DE， ∴∠ACE＝∠AOD＝∠EDB． ∴∠PCE＝∠EDQ． ∴△PCE≌△EDQ． ∴EP＝EQ． （3）连接OG．

∵△OPA等腰直角三角形，点C是OA的中点， ∴OC＝PC，∠PCA＝90°． ∴PC垂直平分OA．

∵点G在PC上，∴AG＝OG． 同理可证点G在QC上，∴BG＝OG． ∴∠PCA＝∠PCA，∠PCA＝∠PCA． ∵△ABG为等边三角形，∴∠AGB＝60°． ∵四边形的内角和为360°， ∴∠AOB的度数＝

11（四边形的内角和－∠AGB的度数）＝（360°－60°）＝150°． 22

8. 21．（本题满分9分）（2017山东莱芜，21，9分） 己知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接AE、DB．试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由． EEF BB DDAACC ① ②

（第21题图）

思路分析：（1）通过证明Rt△ACE≌Rt△BCD即可解决；（2）通过证明△EBD≌△ADF即可得解. 解：（1）AE＝DB，AE⊥DB.

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理由：由题意可知，CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°， ∴Rt△ACE≌Rt△BCD. ∴AE＝DB.

延长DB交AE于点M，

∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.

又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°， ∴在△AMD中，∠AMD=180°－90°＝90°，∴AE⊥DB. （2）DE＝AF，DE⊥AF.

理由：设ED与AF相交于点N，由题意可知，BE＝AD.

∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC， ∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，

∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，∴△EBD≌△ADF. ∴DE＝AF.

∠E＝∠FAD，∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，∴∠FAD＝45°. ∴∠AND＝90°. ∴DE⊥AF.

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