第六章实数教案

【教学目标】 知识与技能：

通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；

过程与方法：

通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。

情感态度与价值观：

通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。

教学重点：算术平方根的概念和求法。 教学难点：算术平方根的求法。

教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 【教学过程】 一、情境引入：

问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

二、探索归纳： 1.探索：

学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。

接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、少呢？

学生会求出边长分别是1、3、4、6、

2，接下来教师可以引导性地提问：54，那么正方形的边长分别是多25上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2.归纳：

⑴算术平方根的概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。

⑵算术平方根的表示方法：

a的算术平方根记为a，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。 三、应用：

例1、 求下列各数的算术平方根： ⑴100 ⑵

497 ⑶1 ⑷0.0001 ⑸0 649解：⑴因为102100,所以100的算术平方根是10，即10010；

497749497； ⑵因为()2，所以的算术平方根是，即

864648648716471641674； ⑶因为1,()2，所以1的算术平方根是，即1993939993⑷因为0.0120.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.00010.01； ⑸因为020，所以0的算术平方根是0，即00。

注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；

③0的算术平方根是0。

由此例题教师可以引导学生思考如下问题：

你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？

归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

即：只有非负数有算术平方根，如果xa有意义，那么a0,x0。 注：a0且a0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。

例2、 求下列各式的值： （1）4 （2）

49 （3）(11)2 （4）6281 分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。 解：（1）42 （2）498179 （3）(11)211211例3、 求下列各数的算术平方根： ⑴32 ⑵43 ⑶(10)2 ⑷

1106 解：(1)因为329，所以3293； ⑵因为436482，所以43648；

⑶因为(10)2100102，所以(10)210010； ⑷因为

11031106，所以11061103。 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结： 1、由323，626，可得a2a(a0)

2、由(11)211，(10)210，可得a2a(a0) 教师需强调a0时对两种情况都成立。 四、随堂练习：

1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。 2、求下列各式的值：

1，

925， 52， (7)2 3、求下列各数的算术平方根：

（4）626 190.0025， 121， 42， ()2，1

2164、已知a1b10,求a2b的值。 五、课堂小结

1、这节课学习了什么呢？

2、算术平方根的具体意义是怎么样的？ 3、怎样求一个正数的算术平方根？

板 书 及 板 图 设 计 6.1.1平方根 1算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 投影区 的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的 算术平方根。 2算术平方根的表示方法： a的算术平方根记为a，读作“根号a”或 “二次很号a”，a叫做被开方数。

6.1.2平方根(2)

【教学目标】 知识与技能：

会用计算器求算术平方根；了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题。

过程与方法：

通过折纸认识第一个无理数2，并通过估计它的大小认识无限不循环小数的特点。用计算器计算算术平方根，使学生了解利用计算器可以求出任意一个正数的算术平方根，再通过一些特殊的例子找出一些数的算术平方根的规律，最后让学生感受算术平方根在实际生活中的应用。

情感态度与价值观：

通过探究2的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想，并且锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点：

①认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 ②会用算术平方根的知识解决实际问题。 教学难点：

认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程：

一、通过实验引入：

怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？

设大正方形的边长为x，则x22，由算术平方根的意义可知x2，

所以大正方形的边长为2。 二、讨论2的大小：

由上面的实验我们认识了2，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论2的大小。

因为121,224,12＜2＜22，所以1＜2＜2. 因为1.421.96，1.522.25，所以1.4＜2＜1.5。 因为1.4121.9881，1.4222.0164，所以1.41＜2＜1.42

因为1.41421.999396，1.41522.002225，所以1.414＜2＜1.415 „„

如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。2=1.41421356„„

注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。2=1.41421356„„，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如3,5,7等，圆周率π也是一个无限不循环小数。

三、用计算器求算术平方根： 大多数计算器都有“似值。

例1、 用计算器求下列各式的值：

) (1)3136； (2)2（精确到0.001”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近

解：（1）依次按键（2）依次按键

3136，显示：56.所以313656

1.414213562，2=，显示：这是一个近似值。所以21.414.

注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。 四、探索规律：

（1）利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ „ „ 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 „„(2)用计算器计算3（结果保留4个有效数字），并利用你发现的规律写出

0.03，300 ，

30000的近似值。你能根据3的值求出30的值吗？

学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：0.25,0.791,2.5,7.91,25,79.1,250。从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。

由31.732可得0.030.1732,30017.32,30000173.2，由3的值不能求出30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。

此题学生可独立完成。 五、实际应用：

例1、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2

的长方形纸片，使它的长与宽之比为3：2，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认识。

解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm。

根据边长与面积的关系可得：3x2x300，6x2300，x250，x50 ∴长方形纸片的长为350cm。因为50﹥49，所以50﹥7，从而350﹥21 即长方形纸片的长应该大于21cm，而已知正方形纸片的边长只有20cm，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。

答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方

形纸片。

六、随堂练习：

1.用计算器求下列各式的值：

（1）1369 （2）101.2036 （3）5 （精确到0.01） 2、估计大小：

（1）140与12 （2）

51与0.5 23、已知21.414，求0.02，0.0002，200，20000的值。 七、课堂小结

1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；

2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；

3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4、怎样的数是无限不循环小数？

板 书 及 板 图 设 计 6.1.2平方根(2) 引入： 投影区 讨论2的大小: 例题分析： 小结：

6.1.3平方根(3)

【教学目标】 知识与技能

了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根

过程与方法

通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。通过对正数平方根特点的探究，了解平方根与算术平方根的区别和联系，体验类比、化归等问题解决数学思想方法的运用，提高学生对问题的迁移能力。

情感、态度与价值观

通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。

教学重点: 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系。

教学难点:平方根与算术平方根的区别和联系。 教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作 教学过程 一、情境导入

如果一个数的平方等于9，这个数是多少？

讨论：这样的数有两个，它们是3和－3.注意329中括号的作用． 又如：x24，则x等于多少呢？ 25二、探索归纳：

1、平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．

例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算． 2、观察：课本P73的图14.1-2.

图14.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了

开平方运算的本质．并根据这个关系说出1,4,9的平方根．

例4 求下列各数的平方根。 （1） 100 （2）

9 （3） 0.25 163、按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，符号：正数a的算术平方根可用a表示；正数a的负的平方根可用-a表示．

例5 求下列各式的值。

（1）144， （2）－0.81， （3）121196 （4）562，

56

2归纳：平方根和算术平方根两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

三、练习

课本P75 小练习1、2、3 四、小结：

1、什么叫做一个数的平方根？

2、正数、0、负数的平方根有什么规律？

3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？

板 书 及 板 图 设 计 6.1.2平方根(3) 平方根的概念：如果一个数的平方等于a， 投影区 那么这个数就叫做a的平方根．即： 如果x2=a，那么x叫做a的平方根． 求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 6.2 立方根

【教学目标】 知识与技能：

① 了解立方根的概念和表示方法，并会求一个数的立方根； ② 会用计算器求一个数的立方根。 过程与方法：

从具体的计算出发归纳出立方根的概念，然后讨论立方与开立方的关系，研究立方根的特征，最后介绍实用计算器求立方根的方法。

情感态度与价值观：

通过探索立方根的特征，培养学生独立思考和小组交流的能力；通过立方根与平方根的比较使学生学会类比学习的数学思想；通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想。

教学重点：立方根的概念和求法 教学难点：立方根的求法。 教学过程： 一、情景引入：

要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

二、探索归纳：

1.探索：设这种包装箱的边长为xm，则x327， 这就是要求一个数，使它的立方等于27.

因为 3327，所以 x3，即这种包装箱的边长应为3m。 2.归纳：

① 立方根的概念：

一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。

② 立方根的表示方法：

如果x3a，那么x叫做a的立方根。记作x3a，3a读作三次根号a。

其中a是被开方数，3是根指数，3a中的根指数3不能省略。

③ 开立方的概念：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。

3、探索立方根的特点：

根据立方根的意义填空，思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？ （1）因为238 ，所以8的立方根是（ ）；

（2）因为( )30.125，所以0.125的立方根是（ ） ； （3）因为( )30，所以0的立方根是（ ）； （4）因为( )38，所以8 的立方根是（ ）； （5）因为( )388，所以的立方根是（ ）。 2727学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。

归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：

填空：因为38＿＿＿，38＿＿＿，所以38＿＿＿38； 因为327＿＿＿，327＿＿＿，所以327＿＿＿327 由上面两个例子可归纳出：一般地，3a3a。

注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的

绝对值的立方根，然后再确它的相反数。 三、应用：

例1、 求下列各式的值：

（1）364 （2）3125 （3）3分析：根据立方根的意义求解。

27 64解：（1）3644 （2）31255 （3）3例2、 求下列各式中x的值：

（1）x30.008 （2）x33273 6443 （3）(x1)38 8分析：此题的本质还是求立方根。

解：（1）∵x30.008 ∴x30.008 ∴x0.2 （2）∵x333273 ∴x3 ∴x 882（3）∵(x1)38 ∴x12 ∴x3

例3、用计算器计算3103，3106，3109，3103，3106的值，你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知32166，则30.000216＿＿＿＿，3216000＿＿＿＿。

分析：在用计算器求立方根时按键顺序是：3这样即可显示出计算结果

解：310310，3106102，3109103，3103101，3106102 由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。

3、被开立方的数字、=，

0.0002160.06，321600060。

四、随堂练习：

1、 立方根等于本身的数是＿＿＿，如果31a1a,则a＿＿＿。 2、64的立方根是＿＿＿＿，(4)3的立方根是＿＿＿＿。 3、已知3x16的立方根是4，求2x4的算术平方根。 4、已知x34，求3(x10)3的值。 5、比较大小：（1）31.2＿＿32.1，（2）3五、课堂小结

1.立方根和开立方的定义．

23＿＿3，（3）3＿＿37 342.正数、0、负数的立方根的特征． 3.立方根与平方根的异同．

板 书 及 板 图 设 计 6.2 立方根 1、立方根的概念： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这 投影区 个数叫做a的立方根或三次方根。 2、立方根的表示方法： 如果x3a，那么x叫做a的立方根。 记作x3a，3a读作三次根号a 例题分析： 小结：

6.3.1实数（1）

【教学目标】 知识与技能：

① 了解无理数和实数的概念以及实数的分类； ② 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。 过程与方法：

在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。

情感态度与价值观：

① 通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；

② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。 教学重点：

① 了解无理数和实数的概念； ② 对实数进行分类。 教学难点：对无理数的认识。 【教学过程】

一、复习引入无理数：

34795利用计算器把下列有理数3,,,,写成小数的形式，它们有什么特

58119征？

发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：33.0,34791,50.5 0.6,5.875,0.858119归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，

反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。

通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数， 把无限不循环小数叫做无理数。

比如2,5,33等都是无理数。3.14159265„也是无理数。

二、实数及其分类：

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 2、实数的分类：

按照定义分类如下：

整数有理数小数）（有限小数或无限循环实数 分数数）无理数（无限不循环小按照正负分类如下：

正有理数正实数负无理数实数零

负有理数负实数负无理数3、实数与数轴上点的关系：

我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？

活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。

活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示

2，与负半轴的交点就是2。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。

归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；

反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。

三、应用：

例1、下列实数中，无理数有哪些？

2，

2，3.14，35，0，10.12112111211112，π，(4)2。3，0.7 17解：无理数有：2，35，π

注：①带根号的数不一定是无理数，比如(4)2，它其实是有理数4； ②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。 比如10.12112111211112。

例2、把无理数5在数轴上表示出来。

分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。 解：如图所示，OA2,AB1,

O B C A 由勾股定理可知：OB5,以原点O为圆心，以OB长度为半径画弧， 与数轴的正半轴交于点C,则点C就表示5。 四、随堂练习：

1、判断下列说法是否正确： ⑴无限小数都是无理数； ⑵无理数都是无限小数； ⑶带根号的数都是无理数；

⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；

⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。

2、把下列各数分别填在相应的集合里： „ 有理数集合

„ 无理数集合

22, 3.1415926，7，8，32，0.6，0，36，，0.313113111。 73

3、比较下列各组实数的大小：

（1）4，15 （2）π，3.1416 （3）32,五、课堂小结

1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 .

323 （4） ,223板 书 及 板 图 设 计 6.3.1实数（1） 1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数 2、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 3、实数的分类： 按照定义分类如下： 投影区 整数有理数小数）（有限小数或无限循环实数 分数数）无理数（无限不循环小按照正负分类如下： 正有理数正实数负无理数实数零 负有理数负实数负无理数

6.3.2 实数（2）

【教学目标】 知识与技能：

① 掌握实数的相反数和绝对值； ② 掌握实数的运算律和运算性质. 过程与方法：

通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。

情感态度与价值观：

通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。

教学重点：

① 会求实数的相反数和绝对值； ② 会进行实数的加减法运算； ③ 会进行实数的近似计算。 教学难点：

认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。 【教学过程】

一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律： 1、相反数：有理数a的相反数是a。

2、绝对值：当a≥0时，aa，当a≤0时，aa。

3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。

二、实数的运算：

1.实数的相反数：数a的相反数是a。

2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。

三、应用：

例1、（1）求364的绝对值和相反数； （2）已知一个数的绝对值是3，求这个数。

解：（1）因为3644，所以36444，364(4)4 （2）因为33,33，所以绝对值为3的数是3或3。 例2、计算下列各式的值：

（1）(32)2； （2）3323。 分析：运用加法的结合律和分配律。

解：（1）(32)23(2_2)303； （2）3323(32)353 例3、计算：

（1）5 （精确到0.01）

（2）32 （结果保留3个有效数字） 解：（1）52.2363.1425.38； （2）321.7321.4142.45。 四、随堂练习： 1、计算：

（1）4262； （2）3(32)；

4（3）3523； （4）3891()2。

52、计算：

（1）223（精确到0.01）；

（2）

5。 2、34 （精确到十分位）

23、在平面内有四个点，它们的坐标分别是

A(2,22),B(5,22),C(5,2),D(2,2)。

（1）依次连接A、B、C、D，围成的四边形是一个什么图形？ （2）求这个四边形的面积。

（3）将这个四边形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？ 五、课堂小结

1、实数的运算法则及运算律。 2、实数的相反数和绝对值的意义

板 书 及 板 图 设 计 6.3.2 实数（2） 1、相反数：有理数a的相反数是a。 2、绝对值：当a≥0时，aa，当a≤0时，aa。投影区 3、实数四则运算及运算率 4、实数比大小