投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３．ｃｏｎｒ 数学教学通讯（教师版） 试题研究＞解题技巧 与对数函数有关的不等式的解题策略 楸 剃慷 模理到 参 舯¨鲥碍 惭毒 王纪龙 广东中山纪念中学５２８４５４ ～一～一与是后粮 在全国各地的高考模拟题乃至高 （１）当ｐ＞Ｏ时，若对任意的 ＞Ｏ，恒有 ＝ 考题中．与对数函数有关的不等式的证 ，（ ）≤０，椰的取值范围； ｋ ， ＿（＼ ， 有 ＜明题屡见不鲜．并且基本都是处于倒数 （２）证日月．１ｎ２２ｌｎ３２ ＋ ・＋ ＜ 第二题甚至是压轴题的位置．属于比较 ２：难的题目．学生对于处理这类问题普遍 ２ｎ２－—徽＜２＿故套了２ｋ－１ 喜 ｎ（ ） ＝ ｎ－ｌ（一 一ｎ（ ）ｎ∈Ｎ．ｎ≥２）． ２１ｎｎ． 感觉束手无策。本文拟对这一类问题进 ２（ｎ＋１） 行分析。希望达到抛砖引玉的目的！ 证明分析：（２）由（１）可知ｌ眦≤ 一１缀 例３（２００８广一模理科第２０题）已 特别注重选修２—２中的单调性与导 （回到课本选修Ⅱ中的重要不等式ｅ ＞１ 知函 ）＝ｅ －ｘ（ｅ为自然对数的底数）． 数这节中Ｂ组练习题的一个处理指数和 ， ≠０的变形）．令 ＝ｎ ，得Ｉｎｎ ￣ｎ２－１， 所以 ≤—ｎ２－１１－１对数不等式问题很有用的～个不等式： 一（１）求函数厂（ ）的最小值； —＝．因此 竺 ｎ ｎ２’ ２ ，证明： ＋ ＋ ＞１慨，ｚ≠０， 胁Ⅲ微 ｎ （２）若ｎ 由它可得ｘ￣＞ｌｎ（ｘ＋１）（ ＞一１）①． ＋ ３＋－－・＋ ≤ ＼ ／２） ＋（＼ ／１＿ ３． ．＋ … Ｈ ） ＜ 令ｘ＋ｌ＝ｔ．￣Ｕｘ＝ｔ一１．于是又得ｔ一１＞ｌｎｔ （ｔ＞Ｏ），即 一１＞ｌｎｘ（ｘ＞０）；令 ＝——Ｉ＿（￡＞一１）， （ 一去）＝ｃｎ一・ 一（去＋ １ ．＋去）＜ｃｎ一 分析：（２）由（１）可知ｅｘ＞１帆， ≠０ （回到课本选修１Ｉ中的重要不等式），取 ｆ＋ｉ 一又得到 ｌｎ （ １）Ｉ即 一 （去＋ １４ ‘＋ ）＝ｃｎ 一 （ ：１，２，…ｎ），故ｅ一＞一 ＋１，从而 ￡＋ｌ ￡＋ｌ ｆ＋ｌ ｌ＞－ｌｎ（ｔ＋１）（ｚ＞一１），整理、换元得１一—Ｉ＿≤ （Ｉ＼ 一 —２— ３一 ＋—— ３＋ 一—— ４一 ＋—— ｎ＋．…＋． ＋ 一—— ｎ一———１ ）＋１ ／ ：＝（ｎ一一） １）一 ｅ ＋ｌ （一 ｉ＋ ） ，所以 （ 一 ） ＜享ｅ ＝ ｌｎ（１帆）（ ＞一１）②． ／１Ｉ—— 一一１＼２ｎ２－ｎ一１ Ｉ：一． ＼２ ｎ＋ｌ／２（ｎ＋１） 由①②联立可得１一÷例２（广东省２０１０届高三六校联考 ｛（ 一 ） ÷ 。 ＋ｌ ≤ｌｎ（１概）≤ 第２０题）已知￣ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ ）＝，ｒ 一１． １一 １一 ｅ一１ （ ＞一１），当ｘ＝Ｏ时取等号．（ ） （１） ）≤ｇ（ ）恒成立，求实数ｍ 在这个不等式中我们可以对 进行 的取值范围： 例４已知／（ ）＝ｌｎ（１ ）＋ａｘ（ｎ≤ 不同的赋值．就可以得到不同的不等 ０）， 式Ｉ女 一，ｎ得 ＜ｎ＋ｌ ＼ｌｎ（ ＋ ｎ）／ ＜ ｎ， （２）若ｎ ，且 ，求证：未弓＋ （１）讨 盒厂（ ）的单调性． ２ｎ－…＋＿＿￣ｌ＜２１ｎｎ． ｎｚ 即—— 一＜ｌｎ（１＋ｎ）一ｌｎｎ＜ ． ｃ２，证明：（－＋ １）．１＋ ）．．．．（ ＋ ｎ＋ｌ ｎ 证明分析：（２）由（１）可知ｌ腑≤ 一１ １＼ 下面我们举例说明这一类问题的 （回到课本选修Ⅱ中的重要不等式ｅ ＞１＋ １１，４／ｌ＜ｅ （ｎ ＥＮ ，ｎ≥２，其中无理数ｅ 解题策略． ≠０的变形），故ｌ ≤一１ ＝ｌｎ ．令 Ｔ ２．７１８２８…）． ， 例１设函娄 ）＝ｌ眦’ｐ ＋１． 证明分析：（２）由（１）得当ａ∈（一∞， 一１］时 ）单调递减．当ｎ＝一１时，Ｖ ∈ 倒５已知函堂 厂（ ）＝ａｌｎｘ一鲫一３， （ａ∈Ｒ）． ｂ似＋一＋ｃ（。＞０）的图象在点（１ （１））处 （０，１），恒 （ ） （ｏ）＝ｏ，即：ｌｎ（１ ）一 ＜ｏａ ∈（Ｏ，１）恒成立．令 ：—１ 有 （１）求函数厂（ ）的单调区间； （２）若函数ｙ－厂（ ）的图象在点（２， 的切线方程为ｙ＝ｘ—１． （１）用ａ表示出ｂ，ｃ； ｎ ，ｌｎ（ ＋ １）＜ １，于是 ，意的￡（２））处的切线的倾斜角为４５。，对于任 立，（２） （ ）￣＞ｌｎｘ在［１，＋ ）上恒成 ∈［１，２］＇函数ｇ（ ） 懈 （ ）＋ 求口青ｇ取值范围； （ ＋ １）・１＋ １）…一（ ＋ ）＝ ］在区间（￡，３）上总不是单调函数，求 ，¨ 明１…。～２’．１．１． ．，ｎ～ … １、 １一，… ｎｎ１ （ｔ＋刍）＋ｔｎ（ ＋喜）＋．．．＋ ｎ（ ＋吉）＜ １＋ ｍ的取值范围： １ １ １ １ （３）求证：ＴＩｎ２・－ｌ丁ｎ３・ Ｉｎ４…・ ｎ２、１．２’２．３’。 （ｎ－１）一 ＜ １）＋ （ １）． 证明分析：由（２）得口≥÷时 ）≥ ３２。 １１ １１ １ １ （ ＞１２，ｎ∈Ｎ・） ．． ．ｌｎｘ在［１，＋∞）上恒成立．—１ １２’２ ３’ ’ １ ｎ ｎ… 证明分析：由（１）可知，口＜０时 （ ） 当ａ＝ｌ时 （ ）＞￣ｌｎｘ在［１，＋ａ。）上恒 因此（ ＋ ）・（ ＋ ）．．一（ ＋ ｎ４ ］１妃 在（相似练习题：知ｉ￣ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ ）＋ 递增．当口：一１时，Ｖ ∈（１，＋。０，１）上单调递减，在（１，＋ｏ。），恒有厂 ｏ）上单调 成立，：ｌ＋ 即 一１＞ｌｎｘ在［１，＋∞）上恒成立．令 ，（ ） １）＝ｌ一３＝一２，因此不等式 一１＞ｌｎｘ 有 ＞ｎ ｌ １、 ＋ １， ＿Ｉｎ 。ｎ 然后 似（ａ≤０）．（１）若Ｉ ，（ ）在 ＝０处取得极值，求。的 在 ∈（１，＋∞）恒成立．于是 ＜—ｘ－—１累加即可． ， 这类问题一般的模式都是给出一 值： ：ＪＩ得 ＜ ．所以Ｉｎ２Ｉｎ３Ｉｎ４个含有参数而且与对数有关的函数．通 …一． （２）讨论，（ ）的单调性； ｋ ｋ ２ ３ ４ 过求导和单调性的计算得到参数的取 ｃｓ 证明：（ ＋吉）（・＋ ）．．．（ｔ＋ ）＜ …。’—ｌｎ—＜ｎ ２ ２——……・— ３１ ３－ １ ｎ——＝一１ １—ｎ— ． 值范围，然后在参数中选定一个参数，得到一个与对数函数有关的不等式．撮 、／广 （ｎ Ｎ’，ｅ为自然对数的底数）． 倒６（２０１０湖北）已知函 （ ）＝ 后对变量 相应地赋值证得结论． （上接第５０页） 称的两点，则ｆｙｙ－．－－４ｘ＋ｍ，问ｍ在什么取值范围内变化时， 上的一点．Ｐ到左准线距离为ｄ．且使ｄ， ｙ２— ２・ ’ 椭圆上总有两点关于￡对称． ｌ ＰＦｌｌ，｛Ｐ ｌ成等比数列的Ａｐ￣［－；Ｏｉ＿，求 带入 ∞：—Ｙ，－—ｙ２又由垂直得 ＡＢｅ－－一１简析：设而不解。整体代入，利用二 离心率ｅ的取值范围． ，， ￣－１－－Ｘ２ ｍ 次方程的判别式构建不等式求解． 简析：充分利用双曲线第一、第二 于是 ，忆 一 ；由对称性又可得 设Ａ（ ｌ，ｙ１），Ｂ（ｘ２， ）是椭圆上关于Ｚ 定义．借助平几中三点共线、不共线构 ｆ／ｂ２＋警 上 的对称点．则ＡＢ方程为ｙ＝—一１ ｘ＋ｂ建不等式求解．由题设及第二定义有ｅ＝ ．代入 ＸＩ＋Ｘ４ ｍ一３）：ｍ（－ １—３）＝一÷一３ｍ，又 ＝ 、２椭圆．Ａ＋ 二：１中ｘ雕ＩＰ，２ｌ＝：ｅ ，代入 ．：６－１３ ２—８ｂ ＋１６ｂ２—４８： ４ ３ －－＋丝：堕２ ２，？－￣ ２ ２一卜６ 由于 第一定叉Ｉ ＰＦ２ｌ—ｌＰ ｌ＝２口中，解出ｌＰＦ，ｌ－ ２ ２ ２ ‘ ０．因为 １≠ ，所以△＝（一８ｂ） －４×１３× ≠ ２，所以 ２．Ｔ＾２ ＞ １（ ，ｆＰＦ：Ｉ＝ｅＩ啊Ｉ＝ ．无论 ， ，Ｐ －帆２） ．构建含ｍ （１６ｂ２－４８）＞Ｑ又由韦达定理知弦Ａ曰中 －的不等式有１２ｍ ＋２ｍ ＋ｌ＜０，即（２ｍ＋１）・ 点为 等）＇￣－￣１－Ｖ－，故 ，篙 共线、不共线，都恒有Ｉ啊Ｉ＋Ｉ Ｉ≥ （６ｍ２—２ｍ＋１）＜ｎ因为６ｍ２—２ｍ＋ｌ＞Ｏ恒成 ＋ｍ．即６：一旦ｍＩＦ，Ｆ￣Ｉ：２ｃ，构建不等式得 ＋ ≥ ．代入△＞ｏ中，解得所求 立．所以ｍ＜一１．故所求ｍ的取值范围 ４ ２ｃ：因为ｅ＝ ＞ｌ， 为［÷ ． ｍ的取值范围为（＿ ， １３）． 所以２ａ（１＋ｅ）≥２ｃ（ｅ一１），即１＋ｅ≥ ｅ（ｅ一１），解得１＜ｅ≤ ＋ｌ，为所求离心 （够利用平面几何有关结论构 率ｅ的取值范围． ＠利用二次方程的｛一剐式构 建不等式 由此看出．圆锥曲线中求参数范围 建不等式 ０Ｉｓ 已知椭圆兰三４＋等＝ｌ和直线ｚ： 倒６双曲线吾一旷 笔＝０ １（。，６ ｅＲ） 的问题．涉及知识面广，变量多，综合性 强．对能力要求较高，能较好地锻炼和 的左、右个焦点分别为ＦＩ， ，Ｐ是它左支 培养学生的思维能力．值得重视． ５２