第16讲 立体几何综合问题

立体几何综合问题

100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

立体几何是高中数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。

范例选讲

ADBC 例1．如图，已知PA面ABC，

于D，BCCDAD1。

（1）令PDx，BPC，试把tan表示为x的函数，并求其最大值；

（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得BQCBAC？

讲解 （1）为寻求tan与x的关系，B首先可以将转化为PCDPBD。 CPAABCADBC∵ 面，于D， ∴ PDBD。

PDPDxx,tanPBD。 ∴ tanPCDDCBD2xx2x。 ∴ tantanPCDPBDxx221x2∵ AD为PD在面ABD上的射影。 ∴ PDAD1，即x1。

∴ tanx2x21x2x1222。 4PAD即tan的最大值为

2，等号当且仅当x2时取得。 4（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得

tanBQCtanBAC。

tanBACtanACDABD令tan1。 3x1，解得：1x2，与x1交集非空。 23x2∴ 满足条件的点Q存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例2． 如图所示：正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的

6正切值为。

2P（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。

EDCAB 讲解： （1）连AC,BD交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD， ∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角， ∴ tan∠PAO=

6。 23。 2设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO =

设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。

PO3， 在RtPFO中，tanPFOFO∴ PFO。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为

331EO//PD。（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，

2∴ EOD就是异面直线PD与AE所成的角。

在RtPDO中，PDOD2PO25。 2∴ EO5。 4由AOBD，AOPO可知：AO面PBD。所以，AOEO。 在RtAOE中，

PAO210。 tanAEOEO5∴ 异面直线PD与AE所成的角为arctan210。 5HE（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽D一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。

为了达到上述目的，我

CGFKOAB们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：面PFO面PBC。

延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接EH,GH。 ∵ 四棱锥PABCD为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点， ∴ BCPG，BCFG。

∴ BC面PFG。∴ 面PBC⊥面PFG。 ∵ PFPG，PFO3，∴ PFG为正三角形。

∴ FHPG，∴ FH面PBC。

取AF中点为K，连EK，则由HE//FK及HEFK得四边形HEKF为平行四边形，所以，KE//FH。

∴KE面PBC。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

高考真题

1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD

是菱形，且C1CB=BCD=60。 （I）证明：C1C⊥BD；

（II）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角 BD的平面角的余弦值； （III）当

CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请CC132给出证明。 2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a0a2. （Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小； （Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

[答案与提示：1。（Ⅰ）略；（Ⅱ）

3；32 C D

M B E

N

A F

221CD（Ⅲ）=1。 2．（Ⅰ）MN；（Ⅱ）a0a2aCC1222时，MN的长最小，为

21；（Ⅲ）arccos] 23