《现代控制理论(第三版)》答案刘豹-唐万生编

1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

U(s)+-K1KpsK1+-KpsK1s+-1J1sKbJ2s2(s)Kns图1-27系统方块结构图

解：系统的模拟结构图如下：

Kp+U(s)-K1Kp+-K1Kpx6+-K1x5+++-1J1x4x3KbJ2x2x1(s)Kn图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下：

x1x2x2Kbx3J2KpKpKn1x3x3x4x5x6J1J1J1J1阿 x4x3x5K1x3K1X6x6K1KKx11x61uKpKpKp令(s)y，则yx1

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

1xx2x3x4x5x600000K1Kp1000000KbJ2KpJ11K1000KnJ1000001J000000x10xKp20xJ130ux400xK15K1K1x6Kp

Kpx1x2xy1000003x4x5x6

1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1L2i1CUi2---------Uc---------R2图1-28 电路图

解：由图，令i1x1,i2x2,ucx3，输出量yR2x2

R1x1L1x1x3u有电路原理可知：L2x2R2x2x3x1x2Cx3 既得

x1x2x3R111x1x3uL1L1L1R21x2x3L2L2

11x1x2CCyR2x2写成矢量矩阵形式为：

R1L1x1。x02。x31C。0R2L21C11L1x1L11x20uL2x30 0y0R2x10x2x3

1-4 两输入u1，u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

u1b1+---a1a2a5a61u2b+-2++--a3a4图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示：

x10100x0x2a10aa2106xb0x31002x110ux40a5a4a3x0340b2

x1y1010x2x3x4s100(sIA)a2sa10a610s1 0a5a4a3s100100a0W1Ba2sa160ux(s)(sIA)s1b1100 0aa054a30b2s1001W1asa10a006uy(s)C(sIA)B101021b100s10a00 5a4a30b2

y1y2

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

(2)y5y7y3yu3u2u

......列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令x1y，x2y，x3y，则有

。110x100x。x0ux00122。x3375x31 x1y231x2x3...相应的模拟结构图如下：

13u+---5x3x2x12++y73

1-6 （2）已知系统传递函数W(s)6(s1),试求出系统的约旦标

s(s2)(s3)2准型的实现，并画出相应的模拟结构图

1016(s1)4333 解：W(s)s(s2)(s3)2(s3)2s3s2s1310xx203030x0200x400x100x21u0x310x41

x1101x2y4333x3x41-7 给定下列状态空间表达式

1010x10xx2230x21u3x113x32‘

x1y001x2x3（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：

0s12s30 （2）W(s)(sIA)11s3sIAs(s3)22(s3)(s3)(s2)(s1)

s32s301(sIA)12(s3)s(s3)0 (s3)(s2)(s1)s5s1(s1)(s2)s320s301Wux(s)(sIA)1B2(s3)s(s3)01(s3)(s2)(s1)s1(s1)(s2)s52(s3)1s(s3)(s3)(s2)(s1)(2s1)(s3)

(s3)1Wuy(s)C(sIA)1B001s(s3)(s3)(s2)(s1) (2s1)(s3)(2s1)(s2)(s1)1-8 求下列矩阵的特征矢量

100302 （3）A127601323621160 解：A的特征方程 IA1276解之得：11,22,33

10p110p11302p21p21 当11时，1276p31p31p111p211 解得： p21p31p11 令p111 得 P1p311p1111） p（或令p111，得P121p31110p120p12302p222p22 当12时，1276p32p32解得：

p222p12,p321p12 令p122 得 2p122P2p224 p321p1212） （或令p121，得P2p221p32210p130p13302p233p23 当13时，1276p33p33解得：

p233p13,p333p13 令p131

得

p131P3p233 p3331-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

1412x131xx2102x227u3x113x353（2）

x1y1120y011x2x2324112(1)(3)20 解：A的特征方程 IA1311,23,31

412p11p11102p213p21 当13时，113p31p31p111p211 解之得 p21p31p11 令p111 得 P1p311

412p11p111102p213p211 当23时，113p31p311p121p220 解之得 p12p221,p22p32 令p121 得 P2p320412p13p13102p23p23 当31时，113p33p33解之得

p130,p232p33 令

p331 得

p130P3p23p2 331

110012T102 T1112101 011

0123181T1B1122752 0115334

3~CT120110x0011102314约旦标准型0101203y32

第二章答案

2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。

1083001~x5314~03x12u4

（2） A=

11

41

解：第一种方法： 令 IA0 则

11410 ，即1240。

求解得到13，21 当13时，特征矢量pp111p 21由 Ap11p11311p1，得41pp11 213p21即p11p213p11，可令4pp1111p213p212

当1时，特征矢量pp1222p

22由App1222p2，得1141pp12p 2222即p12p22p124p ，可令p1212p22p222

1则T11112422，T11 241113t eAt11e3t024e1et220et12221e3tet4

第二种方法，即拉氏反变换法：

sIAs114s1 13t1t4e4e13t1t2e2e

sIA1s11 s3s14s11s1s3s1 4s3s1s3s1 s1s3s11114s3s1

1112s3s111112s3s1 11s3s113t1t2e2e1At1eLsIAe3tet13t1tee44

13t1tee22第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13，21

1313t3tee013e3t44e3t44t 11t11e11e1e3tet4444113t1tee13t3t1013t3t1122Ateeeee41401444e3tet13t1tee44

13t1tee22

2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。 （

3

）

2ete2ttt2tee2e2t2et2e2tet （4）

11t3tt3teeee24t 1t3tete3tee210解：（3）因为 0I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 01Att02et2e2tt2te2e4e2t2et0213 2tt4eet0（4）因为010I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 011t33tee1144 1341ete3t22t0Att01t33t2e2eet3e3t

2-6 求下列状态空间表达式的解：

010xx1u 00y1,0x

初始状态x0，输入ut时单位阶跃函数。 解： A 00s1 sIA0s11s1s1sIA2s0s01s2 1s11011t1 teAtL1sIA01因为 B ，utIt 1xttx0tBud

0t01t1t1t0d 0011011t1tt01d 11t1t22 1t12tt1 2t11y10xt2t1

22-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u1和u2为分段常数。

u2-1/su1K/(s+1)x1Xx2+1+X+y2

图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图

u2-Xu1K-X∫x1∫x21+X+y2

列出状态方程 x1ku1x1 x2x1u2 yx22x1

10k0u1 xx1001u2x1y21

x2则离散时间状态空间表达式为

xk1GTxkHTuk ykcxkDuk

由GTe和HT0eAtdtB得：

AtT10k02T CAB11001eLsIAAt11s10eTLT1s1e10 1T00k0k1e T01TkT1eTHeAtdt0TT0etT1e0k01eTdtT011T1ek1e10e10当T=1时 xk11xkuk 11e11ke yk121xk

e0.1当T=0.1时 xk10.11ek1e0.100uk xk0.1ke0.90.11 yk121xk

第三章答案

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：

u+-ax1y+-x2+x3-+--x4bcd图3.16 系统模拟结构图

解：由图可得：

x1ax1ux2bx2x3cx3x2x1x1x2cx3 x4x3dx4yx3状态空间表达式为：

a1xx02x310x4y0010x11x0b002u1c0x30

01dx40000x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式：

10x12111xx010xa0u22x3002x3b0 c0dyx000解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a0,b0。 要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有

c0,d0。

3-2时不变系统

3111XXu1311

11yX11试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：

311A,B11311MBAB11rankM12,系统不能控。

111,C111

-2-2-2-211C11N

CA2244rankN2,系统能观。

方法二：将系统化为约旦标准形。

IA31123103

12，241则状态矢量：A1P11P1P111 A2P22P2P2-1112211-1T，T1 11-12211-3111-20T-1AT221-10-4 111-32211221111-1TB00 111122

111120 CT1-11-102系统不可控。系统可观。 T-1B中有全为零的行，CT中没有全为0的列，3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数

i和i

11(1)A1,b1,C11 02解：构造能控阵：

Mb111Ab 12要使系统完全能控，则112，即1210 构造能观阵：

1C1N CA112要使系统完全能观，则121，即1210 3-4设系统的传递函数是

y(s)sa3 2u(s)s10s27s18（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：W(s)y(s)sa u(s)(s1)(s3)(s6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：

a-1a3a-6y(s)sa10615 u(s)(s1)(s3)(s6)s1s3s611，23，36 1X00a1y100011u30X061

a3a6X615系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

ya10 x1000x0 u 0x01

1827101（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为

0018a 1027x1 ux 01100y001 x 3-6已知系统的微分方程为：y6y11y6y6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：a06，a111，a26，a33，b06 系统的状态空间表达式为

1000x0 u 0x01

61161y600 x...传递函数为

0s1W(s)C(sI-A)-1B6000s1611s61060s36s211s6 1其对偶系统的状态空间表达式为：

0066 1011x0 ux 0160y001 x传递函数为W(s)6 32s6s11s63-9已知系统的传递函数为

s26s8W(s)2

s4s3试求其能控标准型和能观标准型。

s26s82s512解：W(s)2

s4s3s4s3系统的能控标准I型为

010 xx1 u -3-4y52xu 能观标准II型为

0-35 xx2 u 1-4y01xu 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

1000 230x1 ux 1132y001 x1000，b1，C001 230解：A1132Mb013 AbA2b1272511rankM23，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。

01C0113 NCA2CA179rankN3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。

3-11试将下列系统按能控性进行分解

1210,b0,C111 010（1）A0431解：

Mb014 rankM=2<3，系统不是完全能控的。 AbA2b000913010，RAb0，R1，其中R是任0构造奇异变换阵Rc：R1b323130意的，只要满足Rc满秩。

010301 得R1100 001即Rcc1300100321 bR1b0 ccR121 ARc1ARc142cc10003-12 试将下列系统按能观性进行结构分解

1210,b0,C111 010（1） A04311210,b0,C111 010解： 由已知得A0431C111 则有NCA232CA2474rank N=2<3，该系统不能观

111 232构造非奇异变换矩阵R01，有R01001311 210则R00010101x2u xR01AR0xR01bu2307321ycR0x100x

3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解

1001,b2,C112 223（1）A2012第四章答案

4-1判断下列二次型函数的符号性质： （1）Q(x)x123x2211x322x1x2x2x32x1x3 （2）v(x)x124x22x322x1x26x2x32x1x3 解：（1）由已知得

Q(x)x1x2x31x13x2x32x11x1x211x3x22x3x1x211x3131121x11x22x311

1110，21312111320，3111710 24111因此Q(x)是负定的 （2）由已知得

x1Q(x)x1x2x3x14x23x3x13x2x3x2x3

111x1xx1x2x31432131x3110，211111130，3143160 4131因此Q(x)不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：

aax1112x a21a22试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。

即：

IAa11a21a12a222(a11a22)a11a22a12a21 0有解，且解具有负实部。

即：a11a220且a11a22a12a21

方法（2）：系统的原点平衡状态xe0为大范围渐近稳定，等价于

ATPPAQ。

P取QI，令P11P12P12TAPPAQ，得到 ，则带入P222a11a1202a21a11a222a120P111P0 a21122a22P2212a112a21a11a222a120a214(a11a22)(a11a22a12a21)0，则此方程组有唯一2a22若 a120解。即

22Aa21a22(a12a22a21a11)1P 22Aa11a122(a11a22)A(a12a22a21a11)其中detAAa11a22a12a21 要求P正定，则要求

1P1122Aa21a222(a11a22)A0

(a11a22)2(a12a21)22P0

4(a11a22)

因此a11a220，且detA0

4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。

11（1）xx 23（2）x11x 11解：（1）系统唯一的平衡状态是xe0。选取Lyapunov函数为

2V(x)x12x20，则

V(x)2x1x12x2x22x1(x12x2)2x2(2x13x2)22x126x1x26x2

2(x13232x2)x2022V(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近

稳定。

（2）系统唯一的平衡状态是xe0。选取Lyapunov函数为

2V(x)x12x20，则

V(x)2x1x12x2x22x1(x1x2)2x2(x1x2)

22x122x20V(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近稳

定。

4-6设非线性系统状态方程为：

x1x2x2a(1x2)x2x1,a02

试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：

x2f(x) 2a(1x)xx2211f(x)0J(x)1a4ax3ax2 xT22取PI

Q(x)JT(x)J(x)11001a4ax3ax2 21a4ax3ax222200202a8ax26ax2很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)x12x220，则

V(x)2x1x12x2x22x1x22x2(x1a(1x2)2x2)

222a(1x2)x20V(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近稳

定。

4-9设非线性方程：

x1x2x2xx231

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：

xf(x)32

x1x2f(x)0J(x)2xT3x1V(x)fT(x)f(x)x21 1x2232x13x2x(xx) 212x3x12x，有V(x)。

取PI

Q(x)JT(x)J(x)03x1202113x1013x12213x211 10则Q(x)213x1010，213x1213x12 ，根据希尔维斯特判据，有： 23x1212（3x121）0，Q(x)的符号无法判断。 234322（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)x14x20，则

V(x)3x13x13x2x23x13x23x2(x13x2)

23x20V(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近

稳定。

4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数

x1-x12x12x2 x-x22解：假设V(x)的梯度为：

a11x1a12x2V1V axaxV2112222计算V(x)的导数为：

x12x12x2V(x)(V)xa11x1a12x2a21x1a22x2x2

22a11x12a12a21x1x2a22x22a12x12x22a11x13x2T选择参数，试选a11a221,a12a210，于是得：

xV1V2xx,即120，表明上述选V1，显然满足旋度方程x2x1x2x1x2择的参数是允许的。则有：

2V(x)(12x1x2)x12x2

11如果12x1x20或x1x2，则V(x)是负定的，因此，x1x2是x1和x2的

22约束条件。 计算得到V(x)为：

x1(x20)x2(x1x1)V(x)0x1dx10x2dx212(x12x2)2

112xx0即xxxe0是渐进稳定的。因此在范围内， V(x)是正定的，12122第五章答案

5-1已知系统状态方程为：

1110x0u x0111011试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 解：依题意有：

1110,b0 A0111011MbAb011012 rankMA2b3，系统能控。 112系统0(A,b,C)的特征多项式为：

IA(1)3(1)133221

0100x0u。 001则将系统写成能控标准I型，则有x1231引入状态反馈后，系统的状态方程为：x(AbK)xbu，其中K为13矩阵，设Kk0k1k2，则系统K(A,bK,C)的特征多项式为：

f()det[I(AbK)]3(3k2)2(2k1)(1k0)

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

f*()(1)(2)(3)362116

比较f()与f*()各对应项系数，可解得：k05k19k29，则有：

K-5-9-9。

5-3有系统：

210xx1u01 y10x（1） 画出模拟结构图。

（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 解（1）系统模拟结构图如下：

u+-x2+-x1y12题5-3 系统模拟结构图

（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统

(A,b,C)完全能控。

0 对于系统0(A,b,C)有：

01 MbAb rankM2，系统能控，故若系统动态性能11不满足要求，可任意配置极点。

（3）系统0(A,b,C)的特征多项式为：

IA(2)(1)232

则将系统写成能控标准I型，则有x01023x1u。 引入状态反馈后，系统的状态方程为：x(AbK)xbu，设Kk0则系统K(A,bK,C)的特征多项式为：

f()det[I(AbK)]2(3k1)(2k0)

根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：

f*()(3)2269

比较f()与f*()各对应项系数，可解得：k07k13，K7

5-4设系统传递函数为

(s1)(s2)(s1)(s2)(s3)

试问能否利用状态反馈将传递函数变成

s1(s2)(s3)

若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。

k1，3。 (s1)(s2)s2s2解：W(s)

(s1)(s2)(s3)s32s25s6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。 能控标准I型为

0100x65y21000u1x 211x令Kk0k1k2 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为

f()det[I(AbK] 3(2-k2)2(5-k1)(6k0 )

由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为

f*()(2)(3)(2) 3721612

比较f() 与f*() 的对应项系数，可得

k018 k121 k25

即K18215 系统结构图如下：

11vu++---2x3-5x2x1-2+++y--6-5-21-18题5-4 系统模拟结构图

5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。

1222,b0 011（1） A1011解：系统的能控阵为：

MbAb240010 rankMA2b3，系统能控。 115由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统0(A,b,C)任意配置极点的充要条件是0(A,b,C)完全能控。又由于rankM3，系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左(A,b,C)0侧，使闭环系统镇定。

5-7设计一个前馈补偿器，使系统

1s1W(s)1s(s1)1s2 1s解耦，且解耦后的极点为1,1,2,2。 解：W(s)W0(s)Wd(s)

Wd(s)W0(s)-1W(s)

-11s1s2-1W0(s)11-11-s(s1)s(s1)(s2)s(s1)s1

-11-ss2ss2 -(s2)s(s2)s(s2)1-1s1s1s(s1)s1Wd(s)W0(s)1W(s)1s2s20(s2)s(s2)(s1)s1s11 0(s2)2s2s(s1)2(s2)2(s2)s(s1)3(s1)(s2)5-10已知系统：

x0100x01uy10x

试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。 解：因为Nc10cA01满秩，系统能观，可构造观测器。

系统特征多项式为detIAdet120，所a0,L0110,a010

T1LN011001100110

T0110

有以于是xT1ATxT1buycTx0,1x

001xu 100g1 引入反馈阵G，使得观测器特征多项式：

g2

fdetIAGcg1det1g22g2g1

根据期望极点得期望特征式：

f*r2r23r2r2

比较f与f*各项系数得：

g23r,g12r2

2r2012r23r即G，反变换到x状态下GTG2r2 103r3r

观测器方程为：

ˆAGcxˆbuGyx3r22r103r ˆxu2y012r