广东省韶关市翁源中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一.选择题（共8小题，每题5分，共40分）. 1．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A． y=
B． y=（x﹣1）
2
C． y=2
﹣x
D．y=log0.5（x+1）
2．（5分）函数f（x）=cos（2x+ A．
B． π
）的最小正周期是（）
C． 2π
D．4π
3．（5分）若直线l经过点A（1，2），B（4，2+），则直线l的倾斜角是（） A． 30° B． 45° C． 60° D．90° 4．（5分）如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，上述判断正确的是 （） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D．②④
5．（5分）等差数列{an}中，a1=3，a5=7，则数列{an}第9项等于（） A． 9 B． 10 C． 11 D．12 6．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（） A．
7．（5分）在△ABC中， A．
B．
2
B． ﹣ C． ﹣ D．
，三边长a，b，c成等差数列，且ac=6，则b的值是（）
C．
D．
8．（5分）在关于x的不等式x﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是
（） A． （3，4） B． （﹣2，﹣1）∪（3，4） C． （3，4] D． [﹣2，﹣1）∪（3，4]
二.填空题（共6小题，每小题5分，共30分）. 9．（5分）求函数
在区间[
]上的最大值．
10．（5分）在△ABC中，C=2，a=30°，B=120°，则△ABC的面积为．
11．（5分）设点P（3，2）是圆（x﹣2）+（y﹣1）=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有．
12．（5分）不等式
13．（5分）若数列{an}中，a1=1，an+1=an+1，则通项公式an=．
14．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列和为．
三.解答题（共6小题，80分） 15．（12分）已知函数f（x）=
+2sinx．
的前100项
≤2的解是．
2
2
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期； （2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+
16．（12分）（1）在等差数列{an}中，a4=10，a10=﹣2，若前n项和Sn=60，求n的值； （2）在等比数列{an}中，a1=81，a4=24，求它的前5项和S5． 17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=
，三棱锥P﹣ABD的体积V=
，求A到平面PBC的距离．
）的值．
18．（14分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC+c=b． （1）求A的大小；
（2）若a=，求b+c的取值范围．
19．（14分）若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．
20．（14分）已知函数f（x）=ax+ax+2b﹣a，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0，当∈（﹣2，6）时，f（x）＞0． （1）求a、b的值；
（2）设F（x）=﹣f（x）+4（k+1）x+2（6k﹣1），则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？
2
2
3
（n≥3）．
广东省韶关市翁源中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每题5分，共40分）. 1．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A． y= B． y=（x﹣1） C． y=2 D．y=log0.5（x+1）
考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论． 解答： 解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，
2
由于函数y=（x﹣1）在（0，1）上是减函数，故不满足条件，
﹣x
由于函数y=2在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，
由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A．
点评： 本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．
2﹣x
2．（5分）函数f（x）=cos（2x+ A．
B． π
）的最小正周期是（）
C． 2π
D．4π
考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．
解答： 解：根据复合三角函数的周期公式函数f（x）=cos（2x+故选：B．
）的最小正周期是π，
得，
点评： 本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式础题．
应用，属于基
3．（5分）若直线l经过点A（1，2），B（4，2+），则直线l的倾斜角是（） A． 30° B． 45° C． 60° D．90°
考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆．
分析： 由两点求斜率公式求得直线l的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线l的倾斜角．
解答： 解：∵直线l经过点A（1，2），B（4，2+），
∴，
设直线l的倾斜角为α，（0°≤α＜180°）， 则tan
，α=30°．
故选：A．
点评： 本题考查了两点求斜率公式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 4．（5分）如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，上述判断正确的是 （） A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D．②④
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 在①中也有可能m⊂α；由直线与平面垂直的性质定理得②③正确；由直线与平面垂直的判定定理得④正确．
解答： 解：由直线l⊥平面α，知：
①若直线m⊥l，则m∥α或m⊂α，故①错误；
②若m⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥l，故②正确； ③若m∥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m⊥l，故③正确； ④若m∥l，则由直线与平面垂直的判定定理得m⊥α，故④正确． 故选：B．
点评： 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
5．（5分）等差数列{an}中，a1=3，a5=7，则数列{an}第9项等于（） A． 9 B． 10 C． 11 D．12
考点： 专题： 分析： 解答：
等差数列的通项公式． 等差数列与等比数列．
由已知求出等差数列的公差，写出通项公式，则答案可求． 解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1=3，a5=7，得
．
∴an=a1+（n﹣1）d=3+n﹣1=n+2． ∴a9=9+2=11． 故选C．
点评： 本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题，属会考题型． 6．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，那么cosB=（） A．
B． ﹣
C． ﹣
D．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，再利用余弦定理求出cosB的值即可． 解答： 解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4， ∴a：b：c=3：2：4，
则由余弦定理得：cosB==．
故选：A．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
7．（5分）在△ABC中，
，三边长a，b，c成等差数列，且ac=6，则b的值是（）
A． B． C． D．
考点： 数列与三角函数的综合． 专题： 综合题．
分析： 根据三边长a，b，c成等差数列，可得a+c=2b，再利用余弦定理及ac=6，可求b的值．
解答： 解：由题意，∵三边长a，b，c成等差数列 ∴a+c=2b
∵
2
2
2
2
∴由余弦定理得b=a+c﹣2accosB=（a+c）﹣3ac ∵ac=6 ∴b=6 ∴
2
故选D．
点评： 本题以三角形载体，考查余弦定理的运用，考查数列与三角函数的综合，属于中档题．
8．（5分）在关于x的不等式x﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（） A． （3，4） B． （﹣2，﹣1）∪（3，4） C． （3，4] D． [﹣2，﹣1）∪（3，4]
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 分类讨论；不等式的解法及应用．
2
分析： 把不等式x﹣（a+1）x+a＜0化为（x﹣1）（x﹣a）＜0，讨论a＞1，a＜1时，求出解不等式的解集，
再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出a的取值范围．
2
解答： 解：关于x的不等式x﹣（a+1）x+a＜0可化为 （x﹣1）（x﹣a）＜0，
当a＞1时，解不等式得1＜x＜a； 当a＜1时，解不等式得a＜x＜1；
∵不等式的解集中恰有两个整数，∴3＜a≤4或﹣2≤a＜﹣1， ∴a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]． 故选：D．
点评： 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．
二.填空题（共6小题，每小题5分，共30分）. 9．（5分）求函数
在区间[
]上的最大值．
2
考点： 二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 利用二倍角的正弦与余弦将f（x）=sinx++，再利用正弦函数的性质即可求得在区间[解答： 解：∵f（x）=sinx+=
=sin（2x﹣又x∈[∴2x﹣
，∈[+
sin2x ）+． ]， ，
]，
2
2
sinxcosx转化为f（x）=sin（2x﹣]上的最大值．
）
，
sinxcosx
∴sin（2x﹣∴sin（2x﹣
）∈[，1]， ）+∈[1，]．
即f（x）∈[1，]． 故f（x）在区间[故答案为：．
点评： 本题考查二倍角的正弦与余弦，考查辅助角公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题． 10．（5分）在△ABC中，C=2，a=30°，B=120°，则△ABC的面积为．
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 根据已知可得∠C，由正弦定理可解得a的值，代入三角形面积公式即可求解． 解答： 解：在△ABC中，C=2，a=30°，B=120°，∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，
，]上的最大值为．
由正弦定理可得：∴可得：∴S△ABC=
=
，
，从而解得：a=2， =
．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．
11．（5分）设点P（3，2）是圆（x﹣2）+（y﹣1）=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是有x+y﹣5=0．
考点： 轨迹方程．
专题： 计算题；直线与圆．
分析： 求出圆的圆心与半径，求出所求直线的斜率，然后求解以点P为中点的弦所在的直线方程．
22
解答： 解：圆（x﹣2）+（y﹣1）=4的圆心（2，1），
22
点P（3，2）是圆（x﹣2）+（y﹣1）=4内部一点， 以点P为中点的弦所在的直线的斜率为：﹣
=﹣1．
22
以点P为中点的弦所在的直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3）． 即x+y﹣5=0．
故答案为：x+y﹣5=0．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．
12．（5分）不等式≤2的解是{x|x≤﹣4，或x＞﹣1}．
考点： 其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 由不等式解答： 解：由不等式
≤2，可得≥0，即
≥0，∴
，由此求得x的范围． ，
≤2，可得
求得x≤﹣4，或x＞﹣1，
故答案为：{x|x≤﹣4，或x＞﹣1}．
点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
13．（5分）若数列{an}中，a1=1，an+1=an+1，则通项公式an=3﹣2×
考点： 数列递推式．
专题： 等差数列与等比数列．
．
分析： 由已知得an+1﹣3=（an﹣3），a1﹣3=﹣2，从而{an﹣3}是公比为，首项为﹣2的等比数列，由此能求出an．
解答： 解：∵数列{an}中，a1=1，an+1=an+1， ∴an+1﹣3=（an﹣3）， ∵a1﹣3=﹣2，
∴{an﹣3}是公比为，首项为﹣2的等比数列， ∴an﹣3=﹣2×（）∴an=3﹣2×故答案为：3﹣2×
n﹣1
， ．
．
点评： 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
14．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列和为
．
的前100项
考点： 数列的求和．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 等差数列{an}中，由a5=5，S5=15，解得a1=1，d=1，故由此利用裂项求和法能够求了数列解答： 解：等差数列{an}中， ∵a5=5，S5=15， ∴
，
的前100项和．
==，
解得a1=1，d=1， ∴an=1+（n﹣1）=n， ∴∴数列=1﹣
=
． ． =
=
，
）+（
）+…+（
）
的前100项和S100=（1﹣）+（
故答案为：
点评： 本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．
三.解答题（共6小题，80分） 15．（12分）已知函数f（x）=
+2sinx．
（1）求函数f（x）的定义域和最小正周期； （2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+
）的值．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： （1）由sinx≠0，即可求得f（x）的定义域，利用三角恒等变换可求得f（x）=2
sin
（+x），从而可求其最小正周期；
，于是可求得f（α+
）的值．
（2）由f（α）=2，α∈[0，π]，可求得α=
解答： 解：（1）∵sinx≠0解得x≠kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ（k∈Z）}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵f（x）=
+2sinx=2cosx+2sinx=2
sin（
+x）﹣﹣﹣（4分）
∴f（x）的最小正周期T==2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）∵f（α）=2， ∴cosα+sinα=1，
2
∴（cosα+sinα）=1，即2sinαcosα=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∵α∈[0，π]，且sinα≠0， ∴α=
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（10分） ∴f（α+
）=2
sin（
+α+
）=2
sin
=
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评： 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的定义域与周期，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（12分）（1）在等差数列{an}中，a4=10，a10=﹣2，若前n项和Sn=60，求n的值； （2）在等比数列{an}中，a1=81，a4=24，求它的前5项和S5．
考点： 等比数列的前n项和；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）首先利用等差数列的通项公式求出首相和公差，利用前n项和公式建立关于n的方程，解方程求出结果．
（2）利用等比数列的通项公式求出公比，利用等比数列前n项和公式求的结果．
解答： 解：（1）设等差数列{an}的首项a1，公差为d，由a4=10，a10=﹣2，得：解得：a1=16，d=﹣2 所以
整理得：n﹣17n+60=0 解得：n=5或12
（2）设等比数列{an}的公比为q，则
2
所以
故答案为：（1）n=5或12 （2）S5=211
点评： 本题考查的知识点：等差数列及前n项和公式，等比数列及前n项和公式 17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=
，三棱锥P﹣ABD的体积V=
，求A到平面PBC的距离．
考点： 点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于
H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可． 解答： 解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ∵ABCD是矩形， ∴O为BD的中点 ∵E为PD的中点， ∴EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ∴PB∥平面AEC； （Ⅱ）∵AP=1，AD=∴V=∴AB=，
作AH⊥PB交PB于H， 由题意可知BC⊥平面PAB ∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC． 又
．
，三棱锥P﹣ABD的体积V==
，
，
A到平面PBC的距离
点评： 本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
18．（14分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC+c=b． （1）求A的大小；
（2）若a=，求b+c的取值范围．
考点： 正弦定理的应用． 专题： 解三角形．
分析： （1）由正弦定理得可得故
；
sin（B+
），因为
∵sinC≠0，可求得，0＜A＜π，
（2）b+c的值可求得为2，故有
．
，从而可求
解答： 解：（1）由正弦定理得：
，
∴
又∵0＜A＜π， ∴
．
=2sinB，c=
，
，
，
∵sinC≠0，∴
（2）由正弦定理得：∵b=又由（1）知：∴∵
∴
∴∴∴
，
， ，
∴．
点评： 本题主要考察了正弦定理的综合应用，三角函数值域的求法，属于中档题．
19．（14分）若公比为c的等比数列{an}的首项a1=1且满足（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．
考点： 数列的求和；等比数列． 专题： 综合题．
（n≥3）．
分析： （Ⅰ）由题设，当n≥3时，an=can﹣2，代（Ⅱ）由（Ⅰ），分c=1和位相减法求和．
解答： 解：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，an=can﹣2，an﹣1=can﹣2，由题设条件可得an﹣2≠0，因此
2
2
即可求得c．
时两种情况讨论c=1时，数列{an}是等比数列．最后根据错
，
，即2c﹣c﹣1=0解得c=1或
2
（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分两种情况讨论，
*
当c=1时，数列{an}是一个常数列，即an=1（n∈N） 这时，数列{nan}的前n项和当
时，数列{an}是一个公比为
的等比数列，即
（n∈N） ①
*
这时，数列{nan}的前n项和1式两边同乘
2，得
②
①式减去②式，得
*
所以（n∈N）
点评： 本题主要考查了数列的求和问题．考查了用错位相减法求数列的和．
20．（14分）已知函数f（x）=ax+ax+2b﹣a，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0，当∈（﹣2，6）时，f（x）＞0． （1）求a、b的值；
（2）设F（x）=﹣f（x）+4（k+1）x+2（6k﹣1），则当k取何值时，函数F（x）的值恒为负数？
考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．
223
分析： （1）由题意可得，﹣2和6是方程ax+ax+2b﹣a=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值．
2
（2）要使F（x）的值恒为负数，即kx﹣2kx+（k+2）＜0恒成立，分k=0和k≠0两种情况，分别求得 k的取值范围，再取并集，即得所求．
223
解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax+ax+2b﹣a，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；
当x∈（﹣2，6）时，f（x）＞0，
223
故﹣2和6是方程ax+ax+2b﹣a=0的两个根，
223
∴，
解得，
2
∴f（x）=﹣4x+16x+48．
②∵F（x）=﹣f（x）+2kx+13k﹣2=kx﹣2kx﹣（k+2），要使F（x）的值恒为负数， 即kx﹣2kx+（k﹣2）＜0恒成立，
当k=0时，不等式化为﹣2＜0，符合题意． 当k≠0时，由
，
2
2
解得k＜0．
综上可得，k≤0，
即k的取值范围为（﹣∞，0]．
点评： 本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，一元二次方程根与系数的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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