一元二次不等式的解法

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：

.

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：

或

.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法

设一元二次方程

的两根为

且

，

，

则相应的不等式的解集的各种情况如下表：

二次函数 （）的图象

注意：

（1）一元二次方程的两根

是相应的不等式的解

集的端点的取值，是抛物线

与轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式

与

的解集。

知识点三：解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程

，计算判别式

：

①时，求出两根，且

（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③

时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2

+bx+c＞0(a＞0)的过程 规律方法指导

1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；

3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数

经典例题透析

类型一：解一元二次不等式

1．解下列一元二次不等式 （1）

； （2）

； （3）

思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

总结升华：

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当

时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当

且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.

举一反三：

【变式1】解下列不等式 (1) ； (2) (3) ； (4)

.

【变式2】解不等式：

类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数

2．不等式

的解集为

，求关于

的不等式

的解集。

总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。 举一反三： 【变式1】不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______, b=________。

【变式2】已知

的解为,试求、,并解不等式

.

【变式3】已知关于的不等式

的解集为，求关于的不等式

的解集.

类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，

求实数m的取值范围。

思路点拨：不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。

举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，

求的取值范围.

【变式2】若关于的不等式的取值范围.

【变式3】若关于的不等式的取值范围.

的解为一切实数，求

的解集为非空集，求

类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法

4．解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1＞0； （3）x2-(a+1)x+a＜0；

总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；

③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：

【变式2】解关于的不等式：（

）

5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。

总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；

【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；

【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1＞0

学习成果测评 基础达标：

8．解下列不等式

(1) 14-4x2≥x； (2) x2+x+1>0；

1．不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（ ） A．（－3a，4a） B．（4a，－3a） C．（－3，－4） D．（2a，6a）

2．使

有意义的x的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

3．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（ ）

A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6

4．解不等式得到解集，那么的值等于( )

A．10 B．-10 C．14 D．-14

5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）

A． B．

C． D．

6．抛物线y=－x2+5x－5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x的取值范围是____。 7．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是____。

(3) 2x2+3x+4<0； (4)

；

(5)

； (6)

； (7)

9．已知不等式ax2－3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}。 （1）求a，b；

（2）解不等式ax2－(ac+b)x+bc＜0。

10. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．

能力提升：

11．不等式

的解集是全体实数，则a的取值范围是( )

A． B． C． D．

12．对于满足0≤p≤4的实数p，使恒成立的x的取值范围是__ . 13．已知

的解集为

，则不等式

的解集是________. 14．若函数的定义域为R，则a的取值范围为

________________. 15．若使不等式和同时成立的x的值使关于x的不

等式

也成立，则a的取值范围是________________.

16．若不等式ax2+bx+c＞0 的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＜0 的解集是___________；不等式cx2+bx+a＞0的解集是_____________． 17．已知

，

(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围； (2)如果对x∈[-3，1]，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.

18．解下列关于x的不等式 ；

综合探究：

19．解关于x的不等式：.

20. 设集合A={x|x2-2x-8＜0}, B={x|x2+2x-3＞0}, C={x|x2-3ax+2a2＜0}，若C(A

∩B)，求实数a的取值范围．