北京市2020-2021年高一数学第二学期期中考试试卷及答案

考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间为120分钟。请将第Ⅰ卷的答案填涂在答题纸上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。

第Ⅰ卷 （选择题，共75分）

一、选择题：（本大题共15个小题，每小题5分，共75分；把答案填涂在机读卡上） ．．．．．．．．．．

1．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )

A．棱柱 C．圆柱

2．在区间[1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的概率为（ ）

A．

B．棱台 D．圆台

1131 B． C． D． 42433． 已知△ABC中，a＝2，b＝3，∠B＝60°，那么角A等于( )

A．135° B．90° C．45° D．30°

4．△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a3,b4，∠C=60， 则c的值等于（ ）

A. 5 B. 13 C.13 D.37 5．△ABC中, 如果

abc, 那么△ABC是（ ） cosAcosBcosCA. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形

6．已知A船在灯塔C北偏东70°方向2km处，B船在灯塔C北偏西50°方向3km处，则A，B两船的距离为( )

A．19 km B．7 km C．(6＋1) km D．(6－1) km

7． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）

A. 1:2:3 B.2：3：4 C.3:2:4 D.3:1:2 8．正三棱锥的底面边长为a，高为

6a，则此棱锥的侧面积等于（ ） 6A.

33233323 a2 a B. a2 C. a D.

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9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （ ）

A．3

10．下表是某校120名学生假期阅读时间(单位: 小时)的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10,15)，[20,25)，[25,30)[15,20)，四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（ ） A．2，5，8，5 B．2，5，9，4 C．4，10，4，2 D．4，10，3，3

分组 频数 12 30 频率 0.10 B．2

C．2

D．2

[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 a 0.40 0.25 1.00 m n 120 11．以下茎叶图记录了甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况．乙队记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以m表示．那么在3次比赛中，乙队平均得分超过甲队平均得分的概率是（ ） A．3 B．4 C．7 D．9

551010

12．为了了解在一个小水库中鱼的养殖情况，从这个小水库中的多处不同位置捕捞出100条

鱼，将这100条鱼做一记号后再放回水库. 几天后再从水库的不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条. 根据上述样本，我们可以估计小水库中鱼的总条数约为（ ）

A．20000 B．6000 C．12000 D．2000

13．某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距抽取样本，将全体会员随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第1组至第3组抽出的号码依次是（ ） A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，12

14．一个正三棱柱的每一条棱长都是a，则经过底面一边和相对侧棱的不在该底面上的端点

的截面面积为 （ ） A.

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727262a B. a C. a D. 7a2 42315．在ABC中，角A,B,C对边的边长分别为a,b,c，给出下列四个结论：

1 以,,为边长的三角形一定存在； ○abc2 以○

111a,b,c为边长的三角形一定存在；

2223 以a,b,c为边长的三角形一定存在； ○

4 以○

abbcca,,为边长的三角形一定存在. 222D．3

那么，正确结论的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2

第Ⅱ卷 （非选择题，共75分）

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案作答在答题纸上） ．．．．．．．．．．

16．一个高为2的圆柱,底面周长为2,该圆柱的表面积为_________.

17．已知正方体外接球的表面积是12π，那么正方体的棱长等于___＿＿__．

18．随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据依次为：162，

168，170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm；样本数据的方差为 .

19．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了

了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为_______．

20．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sin A＝ab(sin C＋2sin B)，

a＝1.则△ABC的周长的取值范围是__________．

三、解答题：（本大题共4个小题，共50分）

21．（本大题12分）

随机抽取某中学甲乙两班各6名学生，测量他们的身高(单位:cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.

（Ⅰ）判断哪个班的平均身高较高, 并说明理由； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；

（Ⅲ）现从乙班这6名学生中随机抽取两名学生，求至少有一名身高不低于175cm的学生被抽中的概率.

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22．（本大题12分）

北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）给出图中实数a的值；

（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约

有多少户；

（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.

23．（本大题13分）

0.100 0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12 14 月均用水量 / 吨

0.225 在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，已知b＋c－a＝bc． （Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a＝3，cosC＝

24．（本大题13分）

在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求ABC的面积．

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222

3

，求c的长． 3

4，cosA4,b3． 5高一年级数学期中试卷

一、选择题： (8×5′=40′) 题 号 答 案 题 号 答 案 题 号 答 案 1 D 9 B 16 6 2 D 10 A 17 2 3 C 11 D 18 172 , 45 4 C 12 D 19 15 5 B 13 B 6 A 14 A 20 232，1＋3 7 D 15 C 8 A 二、填空题：(6×5′=30′) 三、解答题： 21、解析 (1)b＋c－a＝bc，

2

2

2

b2c2a21

cosA＝＝.…………………………………………3分

22bc∵0<∠A<π，

π

∴∠A＝.…………………………………………5分

3

π3

(2)∵在△ABC中，∠A＝，a＝3，cosC＝，

33∴sinC＝1－cosC＝

216

1－＝.…………………………………7分

33

ac

由正弦定理，知＝. sinAsinC3×

6

326＝.…………………………………………13分

33

asinC

∴c＝＝sinA

2

22、解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B∴C4,cosA4， 533A,sinA，…………………………………………3分 45∴sinCsin22723。……………5分 AcosAsinA42210372,sinC， 510第5页共7页

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA

又∵B4,b3，∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴absinA36。…………………………………………7分 sinB511367263absinC3。……13分 2251050∴△ABC的面积S23、（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1，

所以，图中实数a0.120.050. ………………………4分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为

(0.0250.0750.225)20.65， ………………………5分

所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300(户). ………………………8分 （Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404.记这四名同学家庭分别为a,b,c,d,

月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402.记这两名同学家庭分别为e,f, 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d), (b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种， ………………………9分 事件A的可能结果为：(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),共8种，…11分

所以P(A)8. ………………………12分 1524、解：（Ⅰ）由茎叶图可知：

甲班样本平均身高 (单位：cm) 为：x甲=162+168+170+171+179+182=172；

6163+170+171+174+177+180=172.5.

6 -------------------------2分 乙班样本平均身高 (单位：cm) 为：x乙= 由x甲x乙可以估计乙班平均身高高于甲班. -------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 x甲=172， 所以，甲班的样本方差为：

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2 s甲=1[(162172)2+(168172)2+(170172)2+(171172)2+(179172)2+(182172)2] 6 45. -------------------------8分 （Ⅲ）设“至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中”的事件为A.------9分 从乙班6名学生中抽中两名学生有：（180，177），（180，174），（180，171）， （180，170），（180，163），（177，174），（177，171），（177，170），（177，163）， (174, 171)，（174，170），（174，163），（171，170），（171，163），（170，163）， 共15个基本事件，

而事件A含有9个基本事件， -------------------------11分 所以P(A)93. 1553. --------------------12分 5 答：至少有一名身高不低于175cm的同学被抽中的概率为

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