含答案解析
一、选择题（30分）
1．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA=AE交CB的延长线于点F，若AB=4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法运算
4．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ） A．5
B．5或6
C．5或7
D．5或6或7
5．假如平行四边形的周长为120cm，相邻两边长度之比为5：7，那么较长的边长为（ ） A．35cm
B．28cm
C．42cm
D．25cm
6．4cm、5cm，已知△ABC的各边长度分别为3cm、则连接各边中点的三角形周长为（ ） A．2cm
B．7cm
C．5cm
D．6cm
7．O是对角线AC、BD的交点，F分别是OD、OC的中点．如图，在矩形ABCD中，点E、假如AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 C．对角线相等
B．对角线互相垂直 D．轴对称图形
9．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为（ ） A．（﹣2，3）
B．（﹣3，2）
C．（3，2）
D．（2，﹣3）
10．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD=BC（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形，其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题（30分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为 ．
12．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
13．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 ．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为 ．
15．如图，在▱ABCD中，∠ABD=90°，若AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的面积为 ．
16． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 ．
17．正十边形的内角和是 ，其中一个外角是 ．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD=6，AC=8，则四边形周长为 ，面积为 ．
19．若点P（m+1，5）在第二象限，则m ．
20．读诗求解：“出水三尺一红莲，风吹花朵齐水面，水平移动有六尺，水深几何请你算？”请你写出水的深度为 尺．
三、解答、证明、作图题（每小题6分）
21．试用一种方法推导多边形的内角和公式（n﹣2）×180°．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，已知△ABC和△ABC外一点O，作△A′B′C′使其与△ABC关于点O成中心对称．
24．如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30触礁的危险吗？
海里．若该船连续保持由西向东的航向，那么有
25．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
26．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
27．如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点0，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是菱形．
28．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，求∠AED的度数．
四、附加题（12分）
29．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
2020-2020学年湖南省郴州市永兴县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（30分）
1．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质． 【专题】运算题．
【分析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠B=35°．
【解答】解：如图，∵BC⊥AE， ∴∠ACB=90°． ∴∠A+∠B=90°． 又∵∠B=55°， ∴∠A=35°． 又CD∥AB， ∴∠1=∠A=35°． 故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也能够利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm
D．9cm
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】依照直角三角形的性质，易知：AB=2BC；联立AB+BC=12cm，即可求得AB、BC的长．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°； ∴AB=2BC；
∴AB+BC=3BC=12cm，即BC=4cm，AB=2BC=8cm． 故选C．
【点评】此题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半．
3．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA=AE交CB的延长线于点F，若AB=4，则四边形AFCE的面积是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法运算
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】由正方形ABCD中，FA=AE，易证得Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），即可得S四边形
AFCE=S
正方形ABCD
，求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠D=90°，AB=AD， 即∠ABF=∠D=90°， 在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL）， ∴SRt△ABF=SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE=SRt△ADE+S四边形ABCE， ∴S四边形AFCE=S正方形ABCD=16． 故选C．
【点评】此题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△ABF≌Rt△ADE是关键．
4．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ） A．5
B．5或6
C．5或7
D．5或6或7
【考点】多边形内角与外角．
【分析】第一求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）180=720， 解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，明白得分三种情形是关键．
5．假如平行四边形的周长为120cm，相邻两边长度之比为5：7，那么较长的边长为（ ） A．35cm
B．28cm
C．42cm
D．25cm
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的周长为120cm，可求得邻边的和，又由相邻两边长度之比为5：7，即可求得答案．
【解答】解：∵平行四边形的周长为120cm， ∴相邻两边和为60cm， ∵相邻两边长度之比为5：7，
∴较长的边长为：60×故选A．
=35（cm）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意平行四边形的周长是其邻边和的2倍．
6．4cm、5cm，已知△ABC的各边长度分别为3cm、则连接各边中点的三角形周长为（ ） A．2cm
B．7cm
C．5cm
D．6cm
【考点】三角形中位线定理．
【分析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求解即可．
【解答】解：∵△ABC的周长=3+4+5=12cm， ∴连接各边中点的三角形周长=×12=6cm． 故选D．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，熟记定理并判定出中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．
7．O是对角线AC、BD的交点，F分别是OD、OC的中点．如图，在矩形ABCD中，点E、假如AC=10，BC=8，那么EF的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】矩形的性质；勾股定理；三角形中位线定理． 【专题】运算题．
【分析】依照矩形的性质推出AB=CD，∠ABC=90°，依照勾股定理求出AB，即得出CD的长度，依照三角形的中位线定理得出EF=CD，即可求出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°，
∵AC=10，BC=8， 由勾股定理得：AB=∴CD=AB=6，
=6，
∵点E、F分别是OD、OC的中点， ∴EF=CD=3． 故选D．
【点评】本题要紧考查对矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点的明白得和把握，能依照矩形的性质和勾股定理求出CD的长是解此题的关键．题型较好，难度适中．
8．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线互相平分 C．对角线相等 【考点】多边形．
B．对角线互相垂直 D．轴对称图形
【分析】矩形、菱形、正方形差不多上专门的平行四边形，因而平行四边形的性质确实是四个图形都具有的性质．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A．
【点评】本题要紧考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，明白得四个图形之间的关系是解题关键．
9．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为（ ） A．（﹣2，3）
B．（﹣3，2）
C．（3，2）
D．（2，﹣3）
【考点】点的坐标．
【分析】依照第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：∵点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标是2，纵坐标是﹣3， ∴点P的坐标为（2，﹣3）． 故选D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特点，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
10．如图所示，等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：（1）AD=BC（2）BD与AC互相平分（3）四边形ACED是菱形，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】菱形的判定；等边三角形的性质；平移的性质．
【分析】由等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，依照平移与等边三角形的性质，可得AB=BC=CD=AD=CE=DE，继而证得四边形ABCD与四边形ACED是菱形，则可得BD与AC互相平分．
【解答】解：（1）∵等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，
∴AD=BC，故正确；
（2）∵等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD与AC互相平分；正确；
（3）∵等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置， ∴AD=BC=CE=DE，
∴四边形ACED是菱形；正确． 故选D．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及平移的性质．注意把握平移的性质是关键．
二、填空题（30分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】由题意推出BD=AD，然后在Rt△BCD中，CP=BD，即可推出CP的长度．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°， ∴BD=AD， ∵AD=6， ∴BD=6，
∵P点是BD的中点， ∴CP=BD=3， 故答案为：3．
【点评】本题要紧考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于依照已知推出BD=AD，求出BD的长度．
12．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是 75° ．
【考点】三角形的外角性质；直角三角形的性质．
【分析】先依照直角三角形两锐角互余求出∠1，再依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式运算即可得解． 【解答】解：如图，∠1=90°﹣60°=30°， ∴∠α=30°+45°=75°． 故答案为：75°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 5 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
=10，
【解答】解：由勾股定理得，斜边=因此，斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为 4cm ．
【考点】角平分线的性质． 【专题】运算题．
【分析】先由BC=10cm，BD：DC=3：2运算出DC=4cm，由于∠ACB=90°，则点D到AC的距离为4cm，然后依照角平分线的性质即可得到点D到AB的距离等于4cm．
【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2， ∴DC=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm． 故答案为4cm．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在那个角的角平分线上．
15．BC=5，∠ABD=90°，如图，在▱ABCD中，若AB=3，则平行四边形ABCD的面积为 12 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质得出AD=BC，再利用勾股定理得出BD的长，进而求出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，
∵∠ABD=90°，AB=3，BC=5， ∴BD=
=4，
∴平行四边形ABCD的面积为：2S△ABD=2××3×4=12． 故答案为：12．
【点评】此题要紧考查了平行四边形的性质以及勾股定理，得出BD的长是解题关键．
16． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 答案不唯独，如：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等 ．
【考点】平行四边形的判定． 【专题】开放型．
【分析】已知AB∥CD，可依照有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可依照两组分别平行的四边形是平行四边形来判定． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴可添加的条件是：AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
【点评】此题要紧考查学生对平行四边形的判定方法的明白得能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
17．正十边形的内角和是 1440° ，其中一个外角是 36° ． 【考点】多边形内角与外角．
【分析】依照多边形内角和定理即可得到正十边形的内角和，再利用正十边形的外角和是360度，同时每个外角都相等，即可求出一个外角的度数，从而得出答案．
【解答】解：（10﹣2）×180° =8×180° =1440°，
正十边形的一个外角为360°÷10=36°．
故正十边形的内角和是1440°，其中一个外角是36°． 故答案为：1440°，36°．
【点评】本题要紧考查了多边形内角和定理：（n﹣2）180 （n≥3）且n为整数），正多边形的性质：正多边形的各个外角相等，外角和是360度．
18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD=6，AC=8，则四边形周长为 20 ，面积为 24 ．
【考点】菱形的判定与性质．
AC=8，【分析】第一由AC与BD互相垂直且平分，可证得四边形ABCD是菱形，又由BD=6，即可求得答案．
【解答】解：∵AC与BD互相垂直且平分， ∴AD=AB=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵BD=6，AC=8，
∴OA=AC=4，OB=BD=3， ∴AB=
=5，
∴四边形周长为：20，面积为：×6×8=24． 故答案为：20，24．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
19．若点P（m+1，5）在第二象限，则m ＜﹣1 ． 【考点】点的坐标．
【分析】依照第二象限内点的横坐标是负数列出不等式求解即可． 【解答】解：∵点P（m+1，5）在第二象限， ∴m+1＜0， 解得m＜﹣1． 故答案为：＜﹣1．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特点以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
20．读诗求解：“出水三尺一红莲，风吹花朵齐水面，水平移动有六尺，水深几何请你算？”请你写出水的深度为 4.5 尺． 【考点】勾股定理的应用．
【分析】先依照题意画出图形，再设出水深AB的高，依照勾股定明白得答即可．
=
，
【解答】解：如图所示，AC=6尺， 设AB=h尺，则BC=h+3尺， 由勾股定理得，BC=
即（h+3）2=62+h2，解得h=4.5尺．
【点评】本题比较简单，考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是依照题意画出图形，设出AB的长，再依照勾股定理求出h的值即可．
三、解答、证明、作图题（每小题6分）
21．试用一种方法推导多边形的内角和公式（n﹣2）×180°． 【考点】多边形内角与外角．
【分析】依照过同一顶点作出的对角线把多边形分成的三角形的个数的规律，再利用三角形的内角和等于180°即可推出多边形的内角和公式． 【解答】解：n边形的内角和等于（n﹣2）180°．（3分） 理由如下：如图：
∵三角形内角和 四边形内角和 五边形内角和 六边形内角和 180°×1 180°×2 180°×3 180°×4
∴过n边形某一顶点可画（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）个三角形，
这（n﹣2）个三角形的内角和之和就等于n边形的内角和，即（n﹣2）×180°．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式的推导，理清过同一个顶点把多边形分成的三角形的个数是解题的关键，也是本题的难点．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；压轴题．
【分析】先依照AB∥CD可知∠ABO=∠CDO，再由BO=DO，∠AOB=∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB=CD，进而可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO，
在△ABO与△CDO中，
∵，
∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟知平行四边形的判定定理是解答此题的关键．
23．如图，已知△ABC和△ABC外一点O，作△A′B′C′使其与△ABC关于点O成中心对称．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】分别作出点A、B、C关于点O成中心对称的点A'，B'，C'，然后顺次连接．
【解答】解：所作图形如图所示：
．
【点评】本题考查了依照旋转变换作图，解答本题的关键是依照中心对称的性质作出各点关于点O的对应点，然后顺次连接．
24．如图，在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30触礁的危险吗？
海里．若该船连续保持由西向东的航向，那么有
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【分析】依照题意结合锐角三角函数关系得出AD的长，进而比较实数大小得出答案．
【解答】解：依照题意得：∠OAD=60°， 则cos60°=
=
， ＞
=， ，
解得：AD=15∵15∴15
=
＞20，
答：该船连续保持由西向东的航向，没有触礁的危险．
【点评】此题要紧考查了解直角三角形的应用，依照题意得出AD的长是解题关键．
25．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【考点】直角三角形全等的判定． 【专题】证明题．
【分析】依照高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，依照全等三角形的判定定理HL推出即可．
【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高， ∴∠BEC=∠CDB=90°， 在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
26．如图为一个正n边形的一部分，AB和DC延长后相交于点P，若∠BPC=120°，求n．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】先依照等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠PBC=∠PCB=30°，再依照多边形外角和为360°即可求解．
【解答】解：∵PB=PC，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=（180°﹣∠BPC）=30°， 即正n边形的一个外角为30°， ∴n=
=12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，多边形外角和定理，求出正n边形的一个外角为30°是解题的关键．
27．如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点0，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】由线段BD垂直平分AC，依照线段垂直平分线的性质，可得AB=BC，AD=CD，易得∠1=∠CBD，又由∠1=∠2，可证得∠CBD=∠2，即可证得BC=CD，继而可证得AB=BC=CD=AD，则可判定四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵线段BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=CD， ∵OA=OC， ∴∠1=∠CBD， ∵∠1=∠2， ∴∠CBD=∠2， ∴BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查了菱形的判定、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意四条边都相等的四边形是菱形．
28．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，求∠AED的度数．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】依照题给条件可判定出ABE、△CDE、△ADE差不多上等腰三角形，可求出∠ABE=∠DCE的度数，继而求出∠EAB和∠DAE的值，最后即可求出∠AED的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，三角形CBE是等边三角形， ∴△ABE、△CDE、△ADE差不多上等腰三角形， ∴∠ABE=∠DCE=90°﹣60°=30°， ∴∠EAB=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠ABE=∠DCE=90°﹣75°=15°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，∠EDA=90°﹣75°=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
【点评】本题考查正方形的性质及等边三角形的性质，难度适中，解题关键是判定出ABE、△CDE、△ADE差不多上等腰三角形．
四、附加题（12分）
29．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．
（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；
（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题；动点型．
【分析】（1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论．
（2）题可把将四边形AEDF的面积分成△ADF和ADE的面积和求解，由（1）证得△ADF和△BDE全等，因此四边形AEDF的面积可转化为△ABD的面积，由此得证．
（3）与（1）题的思路和解法一样． 【解答】（1）证明：连接AD ∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点 ∴AD=
=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45° 在△BDE和△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（SAS） ∴DE=DF，∠BDE=∠ADF ∵∠BDE+∠ADE=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° 即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
（2）解：四边形AEDF面积不变． 理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED ∴S△BDE=S△ADF，
而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD ∴S四边形AEDF可不能发生变化．
（3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：∵△AFD≌△BED ∴DF=DE，∠ADF=∠BDE ∵∠ADF+∠FDB=90° ∴∠BDE+∠FDB=90° 即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．
【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．
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