1．（2021春•新吴区月考）计算： （1）（m4）2÷m3； （2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5； （3）（x﹣y）3•（y﹣x）2； （4）（﹣x）3+（﹣4x）2x． 2．（2021春•大丰区月考）计算： （1）
．
（2）0.252020×42021×（﹣8）100×0.5300． （3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2． （4）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3． 3．（2021春•鼓楼区期中）已知am＝2，an＝3． （1）求am+2n的值； （2）求a2m
﹣3n
的值．
4．（2021春•鼓楼区校级月考）求值： （1）已知42x＝23x1，求x的值．
﹣
（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n
﹣9m
的值．
（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值． 5．（2021春•高新区月考）先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． （3）若x、y满足①（x+y）2； ②x4+y4．
6．（2021春•玄武区校级期中）计算： （1）（﹣2）2+18÷3﹣（π﹣4）0； （2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2；
，
，求下列各式的值．
1
（3）（x
）2（x）2（x2）2；
（4）（x﹣y+4）（﹣x+y+4）．
7．（2021春•玄武区期中）把下列各式分解因式： （1）ax3﹣16ax；
（2）（2x﹣3y）2﹣2x（2x﹣3y）+x2； （3）（m2+1）2﹣4m2．
8．（2021春•邗江区校级期中）分解因式： （1）m2（m﹣1）+4（1﹣m）； （2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
9．（2021春•亭湖区校级期中）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求下列代数式的值： （1）a+b（1﹣a）； （2）a2+b2．
10．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3． （1）举出反例说明该式不一定成立； （2）计算（x﹣y）3；
（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．
11．（2021春•秦淮区校级期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（2a+3b）
（3a+2b）2﹣a（a
﹣2b），其中|a|+|b+1|＝0．
12．（2021春•鼓楼区校级月考）阅读：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝ ，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝ ，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ ． 请仿照上例解决下面的问题： （1）补全题目中横线处；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（3）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2020）的值； （4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝25，长方形EFGD的面积是400，
2
四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
13．（2021春•南京期中）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 ． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： （4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）； （Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）． 14．（2021春•邗江区校级期中）（1）
（2）
15．（2021春•高新区期中）解二元一次方程组： （1）
；
3
（2）．
16．（2021春•南京期中）解二元一次方程组（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③ 将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5， 将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为
．
．该同学解这个方程组的过
程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ． （2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
17．（2021春•兴化市月考）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8． （1）求a，b的值；
（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2）， ①用含n的代数式表示m；
②若m、n均取整数，求m、n的值；
③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小． 18．（2021•梁溪区模拟）小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法识别，如下表所示． 请解答下列问题：
名称 墨水 毛笔 字帖
合计
（1）小明购买墨水和毛笔各多少？
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 19．（2021春•亭湖区校级月考）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价
4
单价（元）
15 40 ■
数量 ■（瓶） ■（支） 2（本） 5（件）
金额（元）
■ ■ 90 185
计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表： 收费标准： 目的地 上海 北京 实际收费：
目的地 上海 北京
求a，b的值．
20．（2021•牧野区校级一模）为了做好学校防疫工作，某高中开学前备足防疫物资，准备购买N95口罩（单位：只）和医用外科口罩（单位：包，一包＝10只）若干，经市场调查：购买10只N95口罩、9包医用外科口罩共需236元；购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的5倍．
（1）购买一只N95口罩，一包医用外科口罩各需多少元？
（2）市场上现有甲、乙两所医疗机构：甲医疗机构销售方案为：购买一只N95口罩送一包医用外科口罩，乙医疗机构销售方案为：购买口罩全部打九折．若某高中准备购买1000只N95口罩，购买医用外科口罩m万包（m≥1），请你帮助设计最佳购买方案，最佳购买口罩总费用为多少元？
21．（2020秋•工业园区期末）解不等式组
，并求出它的所有整数解的和．
质量（千克）
2 3
费用（元） a﹣6 a+7
起步价（元）
7 10
超过1千克的部分（元/千克）
b b+4
22．（2021春•吴中区月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．
23．（2021•昆山市模拟）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元． （1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超
5
过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
24．（2021•高新区一模）为庆祝五四青年节，某校九年级（1）班将举行班级联欢活动，决定到水果店购买A、B两种水果，据了解，购买A种水果3千克，B种水果4千克，则需180元；购买A种水果2千克，B种水果8千克，则需280元． （1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经初步测算班级联欢活动需要购买A、B两种水果10千克，但九年级班委会目前只有班级经费230元，则A种水果至少需要购买多少千克？
（3）考虑到实际情况，经九年级（1）班班委会商定，决定购买A、B两种水果共12千克供同学们食用．水果店销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少千克B种水果，B种水果每千克就降价多少元，请你为九年级（1）班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
25．（2021春•邗江区校级期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在AC上找一点P，使得线段BP平分△ABC的面积，在图上作出线段BP； （4）在图中能使S△QBC＝S△ABC的格点Q的个数有 个（点Q异于A）．
26．（2021春•南京期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）DE与AC平行吗？请说明理由；
（2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．
6
27．（2021春•常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°． （1）求△ABC的外角∠CAF的度数； （2）求∠DAE的度数．
28．（2021春•常熟市期中）如图，E是AB上一点，F是CD上一点，DE，BF分别交AC于点G，H，∠B＝∠D，∠1+∠2＝180°，探索∠A与∠C的数量关系，并说明理由．
29．（2021春•姜堰区月考）∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点
O重合）．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
7
（2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D． ①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
30．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， ． 求证： ． 证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数．
8
1．（2021春•新吴区月考）计算： （1）（m4）2÷m3； （2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5； （3）（x﹣y）3•（y﹣x）2； （4）（﹣x）3+（﹣4x）2x．
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接化为同底数，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接化为同底数，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则计算得出答案． 【解析】（1）（m4）2÷m3＝m8÷m3 ＝m5；
（2）﹣t3•（﹣t）4•（﹣t）5 ＝t3•t4•t5 ＝t12；
（3）（x﹣y）3•（y﹣x）2 ＝（x﹣y）3•（x﹣y）2 ＝（x﹣y）5；
（4）（﹣x）3+（﹣4x）2x ＝﹣x3+16x3 ＝15x3．
2．（2021春•大丰区月考）计算： （1）
．
（2）0.252020×42021×（﹣8）100×0.5300． （3）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2． （4）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3．
【分析】（1）根据负整数指数幂的定义，零指数幂的定义以及同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据积的乘以运算法则的逆向运用即可计算； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
9
（4）分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则化简即可．
【解析】（1）原式＝9+1﹣5 ＝5； （2）原式
＝1×4×（﹣1）300 ＝4×1 ＝4；
（3）原式＝（m﹣1）7﹣（m﹣1）7 ＝0；
（4）原式＝a4•a5+a9+8a9 ＝a9+a9+8a9 ＝10a9．
3．（2021春•鼓楼区期中）已知am＝2，an＝3． （1）求am+2n的值； （2）求a2m
﹣3n
的值．
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运算同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可． 【解析】（1）∵am＝2，an＝3，
∴am+2n＝am•a2n＝am•（an）2＝2×32＝2×9＝18； （2）∵am＝2，an＝3， ∴a2m
﹣3n
＝a2m÷a3n＝（am）2÷（an）3＝22÷33
．
4．（2021春•鼓楼区校级月考）求值： （1）已知42x＝23x1，求x的值．
﹣
（2）已知a2n＝3，a3m＝5，求a6n
﹣9m
的值．
（3）已知3•2x+2x+1＝40，求x的值．
10
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解析】（1）∵42x＝23x1，
﹣
∴24x＝23x1，
﹣
∴4x＝3x﹣1， ∴x＝﹣1；
（2）∵a2n＝3，a3m＝5， ∴a6n
﹣9m
＝a6n÷a9m
＝（a2n）3÷（a3m）3 ＝33÷53
；
（3）∵3•2x+2x+1＝40， ∴3•2x+2•2x＝40， ∴5•2x＝40， ∴2x＝8， ∴x＝3．
5．（2021春•高新区月考）先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值． （2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值． （3）若x、y满足①（x+y）2； ②x4+y4．
【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可； （2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可； （3）根据完全平方公式求解即可． 【解析】（1）∵2x+y＝1， ∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）
11
，，求下列各式的值．
＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4 ＝4x+2y﹣3 ＝2（2x+y）﹣3 ＝2﹣3 ＝﹣1； （2）∵x2n＝4，
∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32； （3）①∵
，
，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy
；
②∵，，
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2
6．（2021春•玄武区校级期中）计算： （1）（﹣2）2+18÷3﹣（π﹣4）0； （2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2； （3）（x
）2（x
）2（x2
）2；
．
（4）（x﹣y+4）（﹣x+y+4）．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及有理数的混合运算法则计算得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则以及整式的混合运算法则计算得出答案； （3）直接利用乘法公式计算得出答案； （4）直接利用乘法公式计算得出答案． 【解析】（1）（﹣2）2+18÷3﹣（π﹣4）0； ＝4+6﹣1 ＝9；
（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
12
＝y4+y8÷y4﹣y4 ＝y4+y4﹣y4 ＝y4； （3）（x
）2（x
）2（x2
）2
＝[（x）（x
）]2（x2）2
＝（x2）2（x2）2
＝[（x2）（x2）]2
＝（x4）2
＝x8
x4
；
（4）（x﹣y+4）（﹣x+y+4） ＝[4+（x﹣y）][4﹣（x﹣y）] ＝16﹣（x﹣y）2 ＝16﹣x2+2xy﹣y2．
7．（2021春•玄武区期中）把下列各式分解因式： （1）ax3﹣16ax；
（2）（2x﹣3y）2﹣2x（2x﹣3y）+x2； （3）（m2+1）2﹣4m2．
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可； （2）利用完全平方公式，再化简即可； （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式． 【解析】（1）原式＝ax（x2﹣16）＝ax（x+4）（x﹣4）； （2）原式＝（2x﹣3y﹣x）2＝（x﹣3y）2；
13
（3）原式＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m）＝（m+1）2（m﹣1）2． 8．（2021春•邗江区校级期中）分解因式： （1）m2（m﹣1）+4（1﹣m）； （2）（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【分析】（1）变形后提公因式，再利用平方差公式即可；
（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【解析】（1）原式＝m2（m﹣1）﹣4（m﹣1）＝（m﹣1）（m+2）（m﹣2）；
（2）原式＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9＝（x2﹣1﹣3）2＝（x2﹣4）2＝（x+2）2（x﹣2）
2
．
9．（2021春•亭湖区校级期中）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求下列代数式的值： （1）a+b（1﹣a）； （2）a2+b2．
【分析】（1）先去括号，再整体代换． （2）用完全平方公式求解． 【解析】（1）∵a+b＝﹣6，ab＝5 ∴a+b﹣ab＝﹣6﹣5＝﹣11． （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝36﹣10 ＝26．
10．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3． （1）举出反例说明该式不一定成立； （2）计算（x﹣y）3；
（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立． 【分析】（1）举反例x＝5，y＝2即可； （2）运用完全平方公式计算；
（3））由（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，可知当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，所以x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立． 【解析】（1）当x＝5，y＝2时，
（x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3，53﹣23＝117， ∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立．
14
（2）（x﹣y）3 ＝（x﹣y）（x﹣y）2
＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3 ＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3；
（3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3， ∴当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3， ∴﹣3xy（x﹣y）＝0，
∴x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
11．（2021春•秦淮区校级期中）先化简，再求值：（3a﹣2b）（2a+3b）
（3a+2b）2﹣a（a
﹣2b），其中|a|+|b+1|＝0．
【分析】先根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，完全平方公式算乘法，再合并同类项，求出a、b的值，再求出答案即可． 【解析】原式＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2
（9a2+12ab+4b2）
a2+2ab
＝6a2+9ab﹣4ab﹣6b2＝ab﹣8b2， ∵|a
|+|b+1|＝0，
a2﹣6ab﹣2b2a2+2ab
∴a0，b+1＝0，
解得：a，b＝﹣1，
当a，b＝﹣1时，原式
（﹣1）﹣8×（﹣1）2＝﹣7．
12．（2021春•鼓楼区校级月考）阅读：若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝ 30 ，a+b＝（80﹣
15
x）+（x﹣60）＝ 20 ，所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝ 340 ． 请仿照上例解决下面的问题： （1）补全题目中横线处；
（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；
（3）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2020）的值； （4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝25，长方形EFGD的面积是400，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
【分析】（1）模仿例题，利用换元法解决问题即可． （2）同理可得结论；
（3）设2021﹣x＝m，2018﹣x＝n，则m2+n2＝2017，m﹣n＝1，根据（m﹣n）2可得mn的值，从而得结论；
（4）表示DE和DG的长，根据长方形EFGD的面积是400列等式，可得a﹣b＝15，ab＝400，从而得结论．
【解析】（1）设（80﹣x）＝a，（x﹣60）＝b，
则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20， 所以（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝400﹣60＝340； 故答案为：30，20，340；
（2）设30﹣x＝a，x﹣20＝b，则ab＝﹣10，a+b＝10，
∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣10）＝120； （3）设2021﹣x＝m，2020﹣x＝n，则m2+n2＝2019，m﹣n＝1， ∵（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2， ∴1＝2019﹣2mn，
∴mn＝1009，即（2021﹣x）（x﹣2020）＝﹣1009；
16
（4）由题意得：DE＝x﹣10，DG＝x﹣25，则（x﹣10）（x﹣25）＝400， 设a＝x﹣10，b＝x﹣25，则a﹣b＝15，ab＝400， ∴S阴＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝152+4×400＝1825． 13．（2021春•南京期中）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）； （2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ． 知识应用：运用你得到的公式解决以下问题： （4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）； （Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．
【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； （2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）可表示面积； （3）由（1）（2）所表示的面积相等，可得等式； （4）应用平方差公式进行计算即可．
【解析】（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2；
（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）； 故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c] ＝（a+b）2﹣（2c）2 ＝a2+2ab+b2﹣4c2；
17
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c） ＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）] ＝b2﹣（2a﹣3c）2 ＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．
14．（2021春•邗江区校级期中）（1）
（2）
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可． （2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【解析】（1）
由①，可得：y＝3x﹣13③，
③代入②，可得：5x+2（3x﹣13）＝7， 解得x＝3，
把x＝3代入③，解得y＝﹣4， ∴原方程组的解是 （2）由
， ． ，
可得：，
①×2﹣②×7，可得﹣30x＝﹣34， 解得x
，
把x代入①，解得y，
18
∴原方程组的解是．
15．（2021春•高新区期中）解二元一次方程组： （1）
；
（2）．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可． （2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 【解析】（1）
由①，可得：x＝2y+7③， ③代入②，可得：2y+7+y＝10， 解得y＝1，
把y＝1代入③，解得x＝9， ∴原方程组的解是 （2）由
， ．
，
可得：
①+②，可得6x＝18， 解得x＝3，
把x＝3代入①，解得y
，
，
∴原方程组的解是．
16．（2021春•南京期中）解二元一次方程组
19
．
（1）有同学这么做：由②，得x＝2y+12．③ 将③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5， 将y＝﹣5代入③，得x＝2，所以这个方程组的解为
．该同学解这个方程组的过
程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程组转化为 一元一次方程 ． （2）请你用加减消元法解该二元一次方程组．
【分析】（1）通过代入消元法，把含x，y的方程组转化成只含y的一元一次方程； （2）把①乘以2，使y得系数变成2，而②中y的系数为﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程组的解．
【解析】（1）原方程组中有两个未知数x，y，把③代入①后，得到一个关于y的一元一次方程．
故答案为：一元一次方程． （2）
，
①×2得：6x+2y＝2③， ②+③得：7x＝14， x＝2，
把x＝2代入①中得： 3×2+y＝1， 6+y＝1， y＝1﹣6， y＝﹣5． ∴方程组的解为
．
17．（2021春•兴化市月考）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8． （1）求a，b的值；
（2）若T（m，n）＝0（n≠﹣2）， ①用含n的代数式表示m；
20
②若m、n均取整数，求m、n的值；
③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小． 【分析】（1）结合给出的新运算T，T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8建立关于a和b的二元一次方程组，解之可得；
（2）①把m，n代入新运算即可；②在①的条件下，若m为整数，则分别必须是分子的约数，一一列出并求解即可；③可利用作差法比较式子大小进行比较．
【解析】（1）由题意可知，T（2，1）＝2a+2b﹣4＝2，T（﹣1，2）＝﹣2a﹣b﹣4＝﹣8， 即
，解得，
．
（2）①由（1）可知，T（x，y）＝xy+2x﹣4， ∴T（m，n）＝mn+2m﹣4＝0（n≠﹣2）， ∴m
（n≠﹣2），
②∵m、n均取整数，
∴n+2的取值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4； 当n+2＝﹣4，即n＝﹣6时，m＝﹣1； 当n+2＝﹣2，即n＝﹣4时，m＝﹣2； 当n+2＝﹣1，即n＝﹣3时，m＝﹣4； 当n+2＝1，即n＝﹣1时，m＝4； 当n+2＝2，即n＝0时，m＝2； 当n+2＝4，即n＝2时，m＝1； ③由题意可知，c
，d
，
∴c﹣d∵t＜s＜﹣2，
∴t+2＜0，s+2＜0，t﹣s＜0， ∴c﹣d∴c＜d．
0，
，
21
18．（2021•梁溪区模拟）小明为练习书法，去商店购买书法用品，购买发票上有部分信息不慎被墨汁污染导致无法识别，如下表所示． 请解答下列问题：
名称 墨水 毛笔 字帖
合计
（1）小明购买墨水和毛笔各多少？
（2）若小明再次购买墨水和字帖两种用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【分析】（1）设小明购买墨水x瓶，毛笔y支，根据总价＝单价×数量，结合表格内的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用单价＝总价÷数量可求出字帖的单价，设再次购买墨水m瓶，字帖n本，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数即可得出各购买方案．
【解析】（1）设小明购买墨水x瓶，毛笔y支， 依题意得：
，
单价（元）
15 40 ■
数量 ■（瓶） ■（支） 2（本） 5（件）
金额（元）
■ ■ 90 185
解得：．
答：小明购买墨水1瓶，毛笔2支． （2）字帖的单价为90÷2＝45（元）． 设再次购买墨水m瓶，字帖n本， 依题意得：15m+45n＝150， ∴m＝10﹣3n． 又∵m，n均为正整数， ∴
或
或
，
∴共有3种购买方案，
22
方案1：购买1瓶墨水，3本字帖； 方案2：购买4瓶墨水，2本字帖； 方案3：购买7瓶墨水，1本字帖．
19．（2021春•亭湖区校级月考）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小文分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如表： 收费标准： 目的地 上海 北京 实际收费：
目的地 上海 北京
求a，b的值．
【分析】根据寄往上海和北京的快递的重量及所需费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】依题意得：
，
质量（千克）
2 3
费用（元） a﹣6 a+7
起步价（元）
7 10
超过1千克的部分（元/千克）
b b+4
解得：．
答：a的值为15，b的值为2．
20．（2021•牧野区校级一模）为了做好学校防疫工作，某高中开学前备足防疫物资，准备购买N95口罩（单位：只）和医用外科口罩（单位：包，一包＝10只）若干，经市场调查：购买10只N95口罩、9包医用外科口罩共需236元；购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的5倍．
（1）购买一只N95口罩，一包医用外科口罩各需多少元？
（2）市场上现有甲、乙两所医疗机构：甲医疗机构销售方案为：购买一只N95口罩送一包医用外科口罩，乙医疗机构销售方案为：购买口罩全部打九折．若某高中准备购买1000
23
只N95口罩，购买医用外科口罩m万包（m≥1），请你帮助设计最佳购买方案，最佳购买口罩总费用为多少元？
【分析】（1）根据题意列出方程组即可； （2）分三种购买方案进行计算比较即可得结论．
【解析】（1）设一只N95口罩x元，一包医用外科口罩y元，根据题意得，
，
解得，
答：一只N95口罩20元，一包医用外科口罩4元；
（2）方案一：单独去甲医疗机构买总费用为：20×1000+4（10000m﹣1000）＝40000m+16000（元）；
方案二：单独去乙医疗机构买总费用为：（20×1000+40000m）×0.9＝36000m+18000（元）； 方案三：线去甲医疗机构购买一只N95口罩送一包医用外科口罩，剩下的去乙医疗机构买，
总费用为：20×1000+4（10000m﹣1000）×0.9＝36000m+16400（元）． ∵m≥1，
∴方案三最佳，总费用为（36000m+16400）元． 21．（2020秋•工业园区期末）解不等式组
，并求出它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数． 【解析】
解不等式①得，x≥﹣2， 解不等式②得，x
，
，
所以，不等式组的解集是﹣2≤x，
所以，它的所有整数解的和是﹣2﹣1+0+1+2＝0．
22．（2021春•吴中区月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整数解是方程
24
2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．
【分析】解不等式求得它的解集，从而可以求得它的最大整数解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，从而可以得到m的值． 【解析】3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7， 3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7， ﹣3x＞10， ∴x
，
∴最大整数解为﹣4，
把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10， 解得m
．
23．（2021•昆山市模拟）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元． （1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？
【分析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元，根据“如果购买20个甲种规格的排球和15个乙种规格的足球，一共需要花费2050元；如果购买10个甲种规格的排球和20个乙种规格的足球，一共需要花费1900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设学校购买m个乙种规格的足球，则购买（50﹣m）个甲种规格的排球，根据总价＝单价×数量结合预算总费用不超过3210元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为x元，每个乙种规格的足球的价格为y元， 依题意，得：
，
解得：．
25
答：每个甲种规格的排球的价格为50元，每个乙种规格的足球的价格为70元． （2）设学校购买m个乙种规格的足球，则购买（50﹣m）个甲种规格的排球， 依题意，得：50（50﹣m）+70m≤3210， 解得：m≤35． 又∵m为整数， ∴m的最大值为35．
答：该学校至多能购买35个乙种规格的足球．
24．（2021•高新区一模）为庆祝五四青年节，某校九年级（1）班将举行班级联欢活动，决定到水果店购买A、B两种水果，据了解，购买A种水果3千克，B种水果4千克，则需180元；购买A种水果2千克，B种水果8千克，则需280元． （1）求A、B两种水果的单价分别是多少元？
（2）经初步测算班级联欢活动需要购买A、B两种水果10千克，但九年级班委会目前只有班级经费230元，则A种水果至少需要购买多少千克？
（3）考虑到实际情况，经九年级（1）班班委会商定，决定购买A、B两种水果共12千克供同学们食用．水果店销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买多少千克B种水果，B种水果每千克就降价多少元，请你为九年级（1）班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？
【分析】（1）设A种花苗的单价为x元，B种花苗的单价为y元，根据“购买A种水果3千克，B种水果4千克，则需180元；购买A种水果2千克，B种水果8千克，则需280元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种水果需要购买a千克，则B种水果需要购买（10﹣a）千克，根据九年级班委会目前只有班级经费230元，列出不等式计算即可求解；
（3）设本次购买准备n元，购买B种水果m千克，则购买A种水果（12﹣m）盆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于n和m的函数关系式，根据二次函数的性质即可得出结论．
【解析】（1）设A种水果的单价为x元，B种水果的单价为y元， 依题意得：
，
26
解得：．
答：A种水果的单价为20元，B种水果的单价为30元；
（2）设A种水果需要购买a千克，则B种水果需要购买（10﹣a）千克， 依题意得：20a+30（10﹣a）≤230， 解得a≥7．
故A种水果至少需要购买7千克；
（3）设本次购买准备n元，购买B种水果m千克，则购买A种水果（12﹣m）盆， 则n＝20（12﹣m）+（30﹣m）m＝﹣m2+10m+240＝﹣（m﹣5）2+265（0≤m≤12）， 当m＝12时，n最小，此时为216元； 当m＝5时，n最大，此时为265元．
故本次购买至少准备216元钱，最多准备265元钱．
25．（2021春•邗江区校级期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格． （1）请在图中画出平移后的△A′B′C′； （2）再在图中画出△ABC的高CD；
（3）在AC上找一点P，使得线段BP平分△ABC的面积，在图上作出线段BP； （4）在图中能使S△QBC＝S△ABC的格点Q的个数有 4 个（点Q异于A）．
【分析】（1）分别作出A，B，C都是对应点A′，B′，C′即可． （2）根据三角形的高的定义画出图形即可． （3）作出△ABC的中线BP即可． （4）过点A作BC的平行线，可得结论． 【解析】（1）如图，△A′B′C′即为所求作．
27
（2）如图，线段CD即为所求作． （3）如图，线段BP即为所求作． （4）如图，满足条件的的Q有4个． 故答案为：4．
26．（2021春•南京期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）DE与AC平行吗？请说明理由；
（2）若∠BAC＝105°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠CAD，利用等量代换得到∠CAD＝∠EDA，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥AC；
（2）先根据三角形内角和计算出∠C＝40°，再利用平行线的性质得到∠EDF＝∠C＝40°，然后利用互余计算∠DEF的度数． 【解析】（1）DE∥AC． 理由如下：∵AD是平分∠BAC， ∴∠BAC＝∠CAD， ∵∠EAD＝∠EDA，
28
∴∠CAD＝∠EDA， ∴DE∥AC；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠C＝180°﹣105°﹣35°＝40°， ∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝40°， ∵EF⊥BD， ∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣40°＝50°．
27．（2021春•常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°． （1）求△ABC的外角∠CAF的度数； （2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解析】（1）∵GH∥BC，∠C＝40°， ∴∠HAC＝∠C＝40°， ∵∠FAH＝∠GAB＝60°， ∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°； （2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°， ∴∠BAC＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝40°，
29
∵GH∥BC，AD⊥BC， ∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
28．（2021春•常熟市期中）如图，E是AB上一点，F是CD上一点，DE，BF分别交AC于点G，H，∠B＝∠D，∠1+∠2＝180°，探索∠A与∠C的数量关系，并说明理由．
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 【解析】∠A＝∠C，理由如下： ∵∠1＝∠DGC，∠1+∠2＝180°， ∴∠DGC+∠2＝180°， ∴BF∥DE； ∴∠D＝∠BFC， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠BFC， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠C．
29．（2021春•姜堰区月考）∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点
30
O重合）．
（1）如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数． （2）如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D． ①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45 °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
【分析】（1）求出∠IBA，∠IAB，根据∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB），即可解决问题； （2）①根据∠CBA＝∠D+∠BAD，只要求出∠CBA，∠BAD即可； ②结论：点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．根据∠D＝∠CBA﹣∠BAD
∠MBA
∠BAO（∠MBA﹣∠BAO）∠AOB计算即可．
【解析】（1）∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°， ∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°， ∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO， ∴∠IBA
ABO＝25°，∠IAB
OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°， ∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM， ∴∠CBA
∠MBA＝65°，∠BAI
∠BAO＝20°，
31
∵∠CBA＝∠D+∠BAD， ∴∠D＝45°， 故答案为：45． ②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD
∠MBA
∠BAO
（∠MBA﹣∠BAO）
∠
AOB90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
30．（2021春•南京期中）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直．
已知：如图①，AB∥CD， 直线MN分别交直线AB，CD于点E，F ． 求证： OE⊥OF ． 证明：
（2）如图②，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥FN，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O．求证：EO⊥FO．
（3）如图③，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，EM∥PN，MP∥NF，∠AEM与∠CFN的角平分线相交于点O，∠P＝102°，求∠O的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；
（2）延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，结合（1）的方法即可证明；
（3）延长EM、FN交CD于点Q，过点O作OP∥CD交ME于点P．结合（1）的方法
32
可得∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°，再根据角平分线定义即可求出结果． 【解析】（1）已知：如图①，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F 求证：OE⊥OF； 证法1：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE， ∴∠OEF+∠OFE
∠AEF
∠CFE＝90°．
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF＝180°， ∴∠EOF＝90°． ∴OE⊥OF；
证法2：如图，过点O作OP∥CD交直线MN于点P．
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵OE、OF分别平分∠AEF、∠CFE， ∴∠AEO+∠CFO
∠AEF
∠CFE＝90°．
∵OP∥CD，AB∥CD， ∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°． ∴OE⊥OF；
故答案为：直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，OE⊥OF；
（2）证明：如图，延长EM交CD于点G，过点O作OP∥CD交ME于点P，
33
∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°， ∵EM∥FN， ∴∠CGE＝∠CFN．
∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN， ∴∠AEO+∠CFO
∠AEM
∠CFN
∠AEM
∠CGE＝90°，
∵OP∥CD，AB∥CD， ∴OP∥AB．
∴∠EOF＝∠EOP+∠POF＝∠AEO+∠CFO＝90°． ∴OE⊥OF；
（3）解：如图，延长EM、FN交于点Q，过点O作OG∥CD交ME于点G．
∵EM∥PN，FN∥MP，
∴∠EQF＝∠EMP＝∠P＝102°，
由（1）证法2可知∠AEM+∠CFN＝∠EQF＝102°， ∵OE、OF分别平分∠AEM、∠CFN， ∴∠EOF＝∠AEO+∠CFO
34
∠AEM∠CFN102°＝51°．
35
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