学霸笔记

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生

的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足ABAC，则ABAC的最小值为（ ）

1 41B．

23C．

4D．1

A．

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。 【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。 2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。 【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。 2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

22【解析】设单位圆的圆心为O，由ABAC得，(OBOA)(OCOA)，因为

OAOBOC1，所以有，OBOAOCOA则ABAC(OBOA)(OCOA)

OBOCOBOAOAOCOA2 OBOC2OBOA1

设OB与OA的夹角为，则OB与OC的夹角为2

11所以，ABACcos22cos12(cos)2

221即，ABAC的最小值为，故选B。

2【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知

AB//DC,AB2,BC1,ABC60 ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,

1BEBC,DFDC,则AEAF的最小值为 .

9

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AEAF，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

29 1811DC,DCAB，92【解析】因为DFCFDFDC11919DCDCDCAB， 9918AEABBEABBC，

1919AFABBCCFABBCABABBC，

181822191919AEAFABBCABBCABBC1ABBC181818

2117211729191992 421cos1209218921818181821229当且仅当. 即时AEAF的最小值为

923182．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C的焦点F1,0，其准线与x轴的

交点为K，过点K的直线l与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FAFB8，求BDK内切圆M的方程. 9【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l的方程为ym(x1)，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。 【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

2【解析】（Ⅰ）由题可知K1,0，抛物线的方程为y4x

则可设直线l的方程为xmy1，Ax1,y1,Bx2,y2,Dx1,y1，

y1y24mxmy12故2整理得y4my40，故

yy4y4x122y2y1y24x则直线BD的方程为yy2xx2即yy2

x2x1y2y14yy令y0，得x121，所以F1,0在直线BD上.

4y1y24m2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以x1x2my11my214m2，

y1y24x1x2my11my111 又FAx11,y1，FBx21,y2

故FAFBx11x21y1y2x1x2x1x2584m，

2则84m284,m，故直线l的方程为3x4y30或3x4y30 9347， 3故直线BD的方程3x7y30或3x7y30，又KF为BKD的平分线，

3t13t1,故可设圆心Mt,01t1，Mt,0到直线l及BD的距离分别为54y2y1y2y124y1y216m216-------------10分 由

3t153t143t121 得t或t9（舍去）.故圆M的半径为r539214所以圆M的方程为xy2

99【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线5

y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. 4（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y2＝4x. （2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解析】（1）设Q(x0，4)，代入

y2＝2px，得

x0＝，

p

8

8pp8

所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

p22p

p858

由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，

2p4p所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．

1

又直线l ′的斜率为－m，

所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.

m将上式代入y2＝4x，

4

并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.

m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．

m

4

22

2

故线段MN的中点为E2＋2m＋3，－，

mm

|MN|＝

4（m2＋1）2m2＋1

1＋2|y3－y4|＝.

mm2

1

由于线段MN垂直平分线段AB，

1

故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，

211

22从而|AB|＋|DE|＝|MN|2，即 444(m2＋1)2＋

2222

2m＋＋2＋2＝

mm

4（m2＋1）2（2m2＋1）

，

m4

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）

题号 1 2 3 4 5 6 *考点 复数的基本概念、复数代数形式的混合运算 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的图象与图象变化 定积分、定积分的计算 条件语句、选择结构 裂项相消法求和、等差数列与等比数列的综合 其它不等式的解法、不等式的综合应用 棱柱、棱锥、棱台的体积、简单7 空间图形的三视图、由三视图还原实物图 求二项展开式的指定项或指定8 项的系数、等差数列的基本运算、数列与其它知识的综合问题 9 不等式恒成立问题、不等式与函数的综合问题 双曲线的几何性质、直线与双曲10 线的位置关系、圆锥曲线中的范围、最值问题 向量在几何中的应用、平面向量11 数量积的运算、向量的线性运算性质及几何意义 指数函数综合题、指数函数单调12 性的应用、指数型复合函数的性质及应用 难 5 难 5 难 5 中 5 中 5 运用公式计算 化归与转化 综合法 数形结合 代数运算 演绎推理 数形结合 分析法 数形结合 综合法 分析法 90% 0.30 88% 0.35 85% 0.40 70% 0.50 70% 0.45 中 5 数形结合 85% 0.40 *试题难度 *分值 *解题方式 *易错率 易 中 易 中 难 难 5 5 5 5 5 5 直接计算 数形结合 正面解 正面解 归纳推理 数形结合 综合法 25% 65% 30% 55% 85% 80% 区分度 0.85 0.60 0.75 0.50 0.40 0.45 13 导数的几何意义 两角和与差的正弦函数、同角三易 5 正面解 30% 0.70 14 角函数基本关系的运用、三角函数的恒等变换及化简求值 15 古典概型的概率、点与圆的位置关系、两条直线平行的判定 中 5 正面解 化归与转70% 0.40 难 5 化 代数运算 数形结合 化归与转85% 0.35 16 向量在几何中的应用、平面向量的综合题、三角形中的几何计算 难 5 化 建坐标系法 90% 0.30 等差数列与等比数列的综合、等差数列的性质及应用、等比数列17 的性质及应用、函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用、两角和与差的正切函数 离散型随机变量的分布列的性18 质、概率的应用、离散型随机变量及其分布列、均值与方差 平面与平面垂直的判定与性质、19 直线与平面垂直的判定与性质、线面角和二面角的求法 抛物线的定义及应用、直线、圆20 及圆锥曲线的交汇问题、圆方程的综合应用 导数的运算、不等式恒成立问21 题、函数的最值及其几何意义、不等式与函数的综合问题 22 23 24 圆的切线的性质定理的证明、与圆有关的比例线段 直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程 绝对值不等式、不等式的基本性质 中 中 中 10 10 10 难 12 难 12 中 12 中 12 易 12 直接解法 数形结合 逻辑推理 分析法 代数计算 数形结合 逻辑推理 数形结合 等价变换 代数运算 分析法 数形结合 演绎推理 数形结合 逻辑推理 数形结合 等价转化 分析法 70% 70% 70% 0.45 0.40 0.45 97% 0.26 83% 0.40 70% 0.45 70% 0.55 30% 0.75