高三第一轮复习数列压轴题归纳总结

高三数列压轴题归纳总结

一、奇偶数列求和问题： 1、相邻两项符号相异:

例：求和：Sn15913(1)n1(4n3)；

2、相邻两项之和为常数；

例：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn

3、相间两项之差为常数；

例：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2 （n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn

4、相间两项之比为常数；

例：已知an，an+1为方程x2C1nx(3)n0的两根n∈N+，a1=2，Sn=C1+C2+„+Cn，求an及S2n。

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二、几个字母的取整问题：

1.设f(x)x3，等差数列an中a37，a1a2a312，记Sn=f3a，令b1n1nanSn，数列{b}的前n

n项和为Tn.

（1）求an的通项公式和Sn； （2）求证：T1n3； （3）是否存在正整数m,n，且1mn，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.

2.．．等比数列．．．．

c满足cc10n1，nN*，数列aann1n4n满足cn2n （1）求an的通项公式；（5分） （2）数列bn满足bn1aa，Tn为数列bn的前n项和．求limTn；（nn1n5分）

（3）是否存在正整数m,n1mn，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m,n 的值；若不存在，请

说明理由．（6分）

3.数列an的前n项和记为Sn，且满足Sn2an1． （1）求数列an的通项公式；

（2）求和SC0C12n1nS2nS3CnSn1Cn； （3）设有m项的数列bn是连续的正整数数列，并且满足：

lg2lg(11b)lg(11)lg(11)lg(log2am)． 1b2bm问数列bn最多有几项？并求这些项的和．

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4.设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn1pSnq（nN，p、q为常数），a12，a21，a3q3p．

（1）求p、q的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

*三、用放缩法求和问题及证明不等式问题：

1．已知数列an的前n项和Sn满足:Sn2an(1),n1.

n(1)求证数列anSnm2m（3）是否存在正整数m，n，使得成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对mSn1m21(m,n)；若不存在，请说明理由．

5.已知数列{an}满足a1项和．

2(1) 若a2a1a3，求的值；

(2)求数列an的通项公式；

2(1)n是等比数列; 31117. a4a5am8(3)证明：对任意的整数m>4,有

2、已知曲线C：y11,Cn:y(nN)，从C上的点Qn(xn,yn)作x轴的垂线，交Cn于点Pn，在从点nxx26，1a1a2anan10(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，Sn为数列{an}的前n7Pn作y轴的垂线，交C与点Qn1(xn1,yn1)，设x11,anxn1xn，bnynyn1。

（1）求Q1,Q2的坐标； （2）求数列an的通项公式；

（3）记数列anbn的前n项和为Sn，求证：Sn(2) 求数列{an}的通项公式an； (3) 当

6.已知递增的等差数列{an}的首项a11，且a1、a2、a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设数列{cn}对任意nN，都有（3）若bn

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*1时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由． 31； 3

3、记Sn

cc1c22nan1成立，求c1c2c2012的值． 222n1111n(n1,nN),求证：S21(n2,nN) 23n2n4、求证：1

an1(nN*)，求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积． an1111nn，nN 2322

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四、分段与周期数列

an+c，an<3

1.已知以a1为首项的数列{an}满足：an＋1＝an

， a≥3nd

⑴当a1＝1，c＝1，d＝3时，求数列{an}的通项公式

⑵当0＜a1＜1，c＝1，d＝3时，试用a1表示数列{an}的前100项的和S100

111111

⑶当0＜a1＜（m是正整数），c＝，d≥3m时，求证：数列a2－，a3m+2－，a6m+2－，a9m+2－成等比数

mmmmmm列当且仅当d＝3m

2、已知函数f(x)log22xf(x)图像上两点． ，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是

1x(1)若x1x21，求证：y1y2为定值； (2)设Tnfff1n2nn1，其中nN*且n2，求Tn关于n的解析式； n(3)对（2）中的Tn，设数列an满足a12，当n2时，an4Tn2，问是否存在角a，使不等式

五、单调性求最值及恒成立问题：

1、设二次函数f(x)(k4)x2kx111111„aaa12n明理由．

sin对一切nN*都成立？若存在，求出角的取值范围；若不存在，请说2n1

(kR)，对任意实数x，有f(x)6x2恒成立；数列{an}满足

六、与其他知识点结合题型： 1、与二项式结合：

例：已知递增的等差数列{an}的首项a11，且a1、a2、a4成等比数列．

（1）求数列an的通项公式an；

an1f(an).

（1） 求函数f(x)的解析式和值域；

（2） 试写出一个区间(a,b)，使得当a1(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由； （3） 已知a11，是否存在非零整数，使得对任意nN，都有 3111n1n121(21)lognlog3loglog12n132 333log111a1a2an222 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

cc1c22nan1成立，求c1c2c2012的值． n222d*（3）在数列{dn}中，d11，且满足nan1(nN)，求下表中前n行所有数的和Sn.

dn1d1d1d2 d1d2d2d1d3 d3

（2）设数列{cn}对任意nN，都有

*

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„„

d1dnd2dn1dddd„„ knk1„„ n1

dddn1dn1 n1 n1

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2、与程序框图结合：

例：对任意函数fx，xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

4、与圆锥曲线集合：

如图，„，„是曲线C:yPP2(x2,y2)，Pn(xn,yn)，1(x1,y1)， 是x轴正半轴上的点，且A0A1P，，„， AAP122121x(y0)上的点，A1(a1,0)，A2(a2,0)，„，2An(an,0)，„

①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1f(x0)；

②x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入断，再输出

x2f(x1)，并依此规律继续下去.现定义 f(x) （1）若输出x04x2. x149,则由数列发生器产生数列{xn}.请写出数列{xn}的所有项； 65An1AnPn，„ 均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．

（1）写出an1、an和xn之间的等量关系，

以及an1、an和yn之间的等量关系； （2）猜测并证明数列{an}的通项公式； （

开始 3

）

设

（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；

（3）(理)若输出x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n均有

输入n, bn1an11an21an3Ax|x22axa210，xR，若AB，求实常数a的取值范围．

1a2n，集合

Bb1,b2,b3,,bn,，

xnxn1，求x0的取值范围.

i1,S0,T0

5、与函数结合：

例：已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f，直线g被f(x)的图()x4(x1)(1x)f(1x)

3、与概率统计结合：

例：已知数列{an}是仅从1,0,1这三个整数中取值所得 到的数列，为常数，经过右框图中的程序处理，输出S和T.

（1）若输入n50及一个确定的值，且输出的S和T分别满足S50，

SSai TTai ii1 是 2*像截得的弦长为417，数列an满足a aagafa0nN12，n1nnn（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列an的通项公式；

T34.试求总体a1,a2,,an的标准差；

（2）若输入n10，1，且输出的S和T分别满足S6，T30.试求满足条件的数列{an}的个数；

in 否 输出S,T 结束 3faga（3）设b，求数列bn的最值及相应的n nnn1

6、与绝对值不等式结合：

（3）已知数列{an}中恰有54项的值为0，且输出的S的值为20，若对于任意的4都有T106恒成立，试求数列{an}的项数n的最小值.

*给定常数c0，定义函数f(x)2|xc4||xc|，数列a1,a2,a3,满足an1f(an),nN.

（1）若a1c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN,an1anc，；

（3）是否存在a1，使得a1,a2,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.

*

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七、创新定义数列：

1、如果存在常数a使得数列an满足：若x是数列an中的一项，则ax也是数列an中的一项，称数列an为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.

（1）若数列：1,2,4,m(m4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；

（2）已知有穷等差数列bn的项数是n0(n03)，所有项之和是B，求证：数列bn是“兑换数列”，并用n0和B．．表示它的“兑换系数”；

（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列cn，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.

*3、对于给定数列{cn}，如果存在实常数p,q使得cn1pcnq对于任意nN都成立，我们称数列{cn}是 “M

类数列”．

（1）若an2n，bn32n，nN，数列{an}、{bn}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的 实常数p,q，若不是，请说明理由；

（2）证明：若数列{an}是“M类数列”，则数列{anan1}也是“M类数列”；

（3）若数列{an}满足a12，anan13t2n(nN*)，t为常数．求数列{an}前2013项的和． 并判断{an}是否为“M类数列”，说明理由；

（4）根据对（2）（3）问题的研究，对数列{an}的相邻两项an、an1，提出一个条件或结论 与“M类数列”概念相关的真命题，并探究其逆命题的真假．

4、定义：若数列An满足An1An，则称数列An为“平方递推数列”。已知数列an 中，a12，

2*

aan2an1 ；②存在实数M，使anM． 2、如果无穷数列an满足下列条件：①n2其中nN，那么我们称数列an为数列．

（1）设数列bn的通项为bn5n2n，且是数列，求M的取值范围； （2）设cn是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3 证明：数列Sn是数列；

（3）设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1．

点(an,an1)在函数f(x)2x22x的图像上，其中n为正整数。

（Ⅰ）证明：数列2an1是“平方递推数列”，且数列lg(2an1)为等比数列。

（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn(2a11)(2a21)(2an1)， （Ⅲ）记bnlog2an1Tn，求数列bn的前n项之和Sn，并求使Sn2008的n的最小值。

求数列an的通项及Tn关于n的表达式。

17,S3, 44

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