婆罗摩笈多定理证明：由圆周角定理可得，∠ABD=∠ACD，由射影定理得∠ACD=∠DPE,即∠ABD=∠FPB，∴BF=PF
由圆周角定理可得∠BAC=∠BDC,由射影定理得∠BDC=∠CPE，即∠BAC=∠APF,∴AF=BF.证毕。。。
证明：
连结BE,CE
∵AD⊥BC
∴BE2-BA2=CE2-CA2
BE2=AB2+AE2-2AB*AE*cos∠BAE
CE2=AC2+AE2-2AC*AE*∠CAE
AH=AB*cos∠BAH=AC*cos∠CAH
∴AC*AE*cos∠CAE=AB*AE*cos∠BAE
∵AC=AG,AB=AF,
∴AG*cos∠CAE=AF*cos∠BAE
∵sin∠GAE=-cos∠CAE, sin∠FAE=-cos∠BAE
∴AG*sin∠GAE=AF*sin∠FAE
即AG/sin∠FAE=AF/sin∠GAE
∵AG/sin∠GEA=GE/sin∠GAE, AF/sin∠FEA=FE/sin∠FAE
∵sin∠FEA=sin∠GEA
∴AG/AF=(GE/sin∠GAE)/(FE/sin∠FAE)
∴GE/FE=1
即E为FG的中点。
得证。
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