湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试

数 学 试 卷(文科）

全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．已知集合PxN|1≤x≤10，集合QxR|xx60，则P∩Q等于

A．{2} B．{3} C．{－2，3} D．{－3，2} 2．下列命题中正确的是( ) A. “若a＝b，则ac＝bc”的逆命题是真命题

22

B．命题“x∈R，使得x－x＞0”的否定是“x∈R，x－x＜0”

C．若点A(1,2)，点B(－1,0)，则AB＝(2,2)

D．“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件

3．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的

yyf(x)图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） a

A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．抛物线ybO x12x上到直线2xy4的距离最小的点的坐标是( ) 2 A.(1,1) B.(1,2) C.(2,2) D.(2,4)

5．已知p：不等式x1x2>m的解集为R；q：fx=log52mx为减函数，则p成立是q成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x1,x0f(x)2x,x0，则f[f(2)]的值为（ ）． 6．已知函数

A．1 B．2 C．4 D．5 7.椭圆

的右焦点为

，椭圆

与轴正半轴交于

点，与

轴

正半轴交于A.

，且 B.

，则椭圆C.

的方程为( )

D.

1

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8．曲线f(x)=x+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ） A (1,0) B (1,0)和(1,4) C (2,8) D (2,8)和(1,4) 9．已知抛物线y2pxp0上一点M1,mm0到其焦点的距离为5，双曲线

23x2y21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（ ） aA.

10．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ） ．．．

A．EF与BB1垂直 C．EF与CD异面

B．EF与BD垂直 D．EF与AC11异面

A

1111 B. C. D. 95325D1A1B1C1F C

EDB

log1(x1),x0,1,211．定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的

1|x3|,x1,,函数F(x)f(x)a（0a1）的所有零点之和为（ ）

aaaA.1-2 B.21 C.12 D.21

a12．如果双曲线的离心率e51，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： 2x2y22x22①双曲线1是黄金双曲线；②双曲线y1是黄金双曲线；

25151x2y2③在双曲线221中， F1为左焦点， A2为右顶点， B1（0，b），若∠F1 B1 A290,

ab则该双曲线是黄金双曲线；

x2y2④在双曲线221中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，

ab若∠MON120，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为（ ）

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④

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第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数y1xlgx的定义域为 。

12xcosx，则f(x)取得极值时的x值为 ． 2142715.已知x0,，不等式x2，x23，x34，„，可推广为

xxxaxnn1，则a等于 . x14．已知函数f(x)16.给出以下四个命题：

①“正三角形都相似”的逆命题； ②已知样本

的平均数是

，标准差是

，则

；

③“④

”是“方程

中，顶点

的坐标为

表示椭圆”的必要不充分条件；

，则直角顶点

的轨迹方程是

其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号)．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

已知命题p：x1,2,xa0，命题q：x0R,x02ax02a0，若“p且

22q”为真命题，求实数a的取值范围．

18．（本题满分12分） 已知函数f(x)a3a12xxxb,其中a,bR。 32（Ⅰ）若曲线yf(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y5x4，求函数f(x) 的解析式；

（Ⅱ）当a0时，讨论函数f(x)的单调性。

19.（本题满分12分） 如图，在三棱锥SABC中，侧面SABBAC90°，O为BC中点．与侧面SAC均为等边三角形，

（Ⅰ）证明：SO平面ABC； （Ⅱ）求二面角ASCB的余弦值．

SOCBA3

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x2y220. (本小题满分12分)已知椭圆221(ab0)经过点(0,1)，过右焦点F且不与x

ab轴重合的动直线L交椭圆于A,C两点，当动直线L的斜率为2时，坐标原点O到L的距离

为25． (Ⅰ) 求椭圆的方程； 5(Ⅱ) 过F的另一直线交椭圆于B,D两点，且ACBD，当四边形ABCD的面积S=求直线L的方程．

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2ax－

1－(2＋a)lnx(a≥0). x16时，9（1）当a＝0时，求f(x)的极值；（2）当a＞0时，讨论f(x)的单调性；

（3）若对任意的a∈(2,3)，x1,x2∈[1,3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围。

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OBOP，AB交PO于点C，

O ●A C P

B 4

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5

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com （Ⅰ）求证：PAPC；

（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP5，求BC的长度．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x32cos（y42sin为参数）．

已知A(2,0),B(0,2)，圆C上任意一点M(x,y)，求ABM面积的最大值．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数fxlog2(x1x5a)． （Ⅰ）当a2时，求函数fx的最小值；

（Ⅱ）当函数fx的定义域为R时，求实数a的取值范围。

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武汉市部分重点中学2014-2015学年度下学期高二期末考试数学答案(文科） 一、选择题 ADACB DCBAD AB

二、填空题： 13．(0,1] 14．0 15.n 16.③ 三、解答题：

17.【解析】由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．

np：x2a在1,2上恒成立，只需ax2min1，所以命题p：a1；

q：设fxx22ax2a，存在x0R使fx00，只需4a242a0，

2即aa20a1或a2，所以命题q：a1或a2.

由a1得a1或a2

a1或a232故实数a的取值范围是a1或a2

18．【解析】（Ⅰ）a=3,b=4,f(x)x2xx4 „„„„4分

(,1),(,)；减区间：(1,) „„„„7分 （Ⅱ）0a1:增区间：1a1aa1：增区间：(,) „„„„9分 11a1；增区间：（，),(1,);减区间：（,1） --------------12分

aa

19.【解析】（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SCSA，连结OA，△ABC为等腰直角三角

形，

所以OAOBOC2SA，且AOBC，又△SBC为等腰三角形， 2SOBC，且SO2SA，从而OA2SO2SA2． 2 所以△SOA为直角三角形，SOAO．

又AOBOO． 所以SO平面ABC．„„„„„„„6分

（Ⅱ）取SC中点M，连结AM，OM，由（Ⅰ）知SOOC，SAAC， 得OMSC，AMSC．∴OMA为二面角ASCB的平面角． 由AOBC，AOSO，SOBCO得AO平面SBC． 所以AOOM，又AMAO263． SA，故sinAMO2AM333„„„„„„12分 3所以二面角ASCB的余弦值为 7

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20.【解析】(Ⅰ)设F(c,0)，则直线L的方程为2x-y-2c=0，∵坐标原点O到L的距离为25， 5∴2c25，c=1。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 55x2y212222∵椭圆221经过点(0,1),∴21,b=1,由abc得a2。

abbx2y21 „„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∴椭圆的方程为2(Ⅱ)由(Ⅰ)知，直线L过点F(1,0)，设其方程为y=k(x-1)（k0），点A(x1,y1)，C（x2,y2），

x2y21解2得，(2k21)x24k2x2k220。 yk(x1)4k22k22,x1x22∴x1x2，„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 22k12k1k21|AC|(1k)[(x1x2)4x1x2]=222()„„„„„„„„„„„8分

2k122∵过F的另一直线交椭圆于B,D两点，且ACBD， k0， ∴直线BD的方程为y=1(x-1) 。 kk211把()式中k换成，类比可得|BD|222，„„„„„„„„„„10分

k2k14(k21)216∴四边形ABCD的面积S|AC||BD|2， 解得k1， 22(k2)(2k1)9 ∴直线L的方程为x-y-1=0或x+y-1=0 。 „„„„„„„„„12分 21.解析：（1）当a0时，f(x)1121-2x2lnxf、(x)=2-=2(x0),由xxxxf、(x)=1-2x1110fx,解得 ，可知在上是增函数，在0,,x上是减函数. x2222∴fx的极大值为f()2ln22，无极小值.

121112ax2(2a)x1、(2)f(x)2ax(2a)lnxf(x)=2a2(2a)

xxxx2

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①当0a2时，fx在0,和12111,上是增函数，在,上是减函数；

2aa②当a2时，fx在0,上是增函数； ③当a2时，fx在0,



1111和上是增函数，在,,上是减函数 8分 a2a2（3）当2a3时，由（2）可知fx在1,3上是增函数， ∴f(x1)f(x2)f(3)f(1)4a(2a)ln34. 3由(mln3)a2ln3f(x1)f(x2)对任意的a∈(2, 3)，x1, x2∈[1, 3]恒成立， ∴(mln3)a2ln3f(x1)f(x2)

max4对任意2a3恒成立， 341043232即m4对任意2a3恒成立，由于当2a3时，4，∴m.

3a33a99即(mln3)a2ln34a(2a)ln3 22.选修4—1：几何证明选讲 （Ⅰ）证明：连接OA， ∵OAOB，

∴OABOBA．„„„„„„„„„„1分 ∵PA与圆O相切于点A， ∴OAP90．

∴PAC90OAB．„„„„„„„„2分 ∵OBOP，

∴BCO90OBA．„„„„„„„„3分 ∴BCOPAC． „„„„„„„„4分 又∵BCOPCA， ∴PCAPAC．

∴PAPC． „„„„„„„„„„„„5分

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（Ⅱ）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N． ∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O割线，

2(POON)．„„„„„6分 ∴PAPMPN(POOM)∵OP5，OMON3，

2PA(53)(53)16． ∴

∴PA4．„„„„„„„„„„„„8分 ∴由（Ⅰ）知PCPA4． ∴OC541．

222在RtOBC中，BCOBOC9110

∴BC10．„„„„„„„„„„10分

23.选修4—4：坐标系与参数方程 【解析】

圆C的参数方程为x32cos22（为参数），∴普通方程为(x3)(y4)4，

y42sin|2cos2sin9|2，ABM的面

点M(x,y)到直线AB：xy20的距离为d积S1|AB|d|2cos2sin9| 2|22sin()9|，∴ABM面积的最大值为922．

4

24.选修4—5：不等式选讲

【答案】解：（I）函数的定义域满足|x1||x5|a0，

即|x1||x5|a, 设gx|x1||x5|

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2x6则gx|x1||x5|4(x5)(1x5) „„„„„„„„„„3分 62x(x1)

gxmin4,fxminlog2(42)1 „„„„„„„„„„5分

（II）由（1）知，gx|x1||x5|的最小值为4。 |x1||x5|a0，

a4,a的取值范围是，4„„„„„„„„„„10分

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