数学选修2-1测试题(含答案)

时间：90分钟 满分：120分

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．与向量a＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )

B．(－1，－3,2) D．(2，－3，－22)

解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0，a∥b⇔a＝λb，a＝(1，－3,2)＝－

13

1－2，2，－1，故选C. 

答案：C

ππ

2．若命题p：∀x∈－2，2，tan x>sin x，则命题綈p：( )

ππ

A．∃x0∈－2，2，tan x0≥sin x0



【

ππ

B．∃x0∈－2，2，tan x0>sin x0

ππ

C．∃x0∈－2，2，tan x0≤sin x0



ππ

D．∃x0∈－∞，－2∪2，＋∞，tan x0>sin x0



解析：∀x的否定为∃x0，>的否定为≤，所以命题綈p为∃x0∈

ππ

－，，tan x0≤sin x0. 22

答案：C

3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线，则

α∥β的充分条件是( )

A．l⊂α，m⊂β且l∥β，m∥α B．l⊂α，m⊂β且l∥m C．l⊥α，m⊥β且l∥m D．l∥α，m∥β且l∥m

)

解析：由l⊥α，l∥m得m⊥α，因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．

答案：C

x2y2

4．以双曲线4－12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

y2y2

＋12＝1 ＋16＝1 y2y2

＋4＝1 ＋16＝1

x2y2y2x2

解析：由4－12＝1，得12－4＝1. ∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)， 顶点坐标为(0,23)，(0，－23)． x2y2

∴椭圆方程为4＋16＝1.

|

答案：D

5．已知菱形ABCD边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为( )

解析：

菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角，即∠BOD＝60°.

11

因为OB＝OD＝2，所以BD＝2. 答案：B

x2y2

6．若双曲线6－3＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )

B．2 C．3 D．6

￥

x2y22

解析：双曲线6－3＝1的渐近线方程为y＝±2x，因为双曲线的

2

渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±2x的距|2×3±2×0|离等于圆的半径r，则r＝＝3.

2＋4

答案：A

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )

→→→

解析：取DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标

系，可求得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2,1)．故A1到平面AB1D1→|AA1·n|4

的距离为d＝|n|＝3.

答案：C

8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2

＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )

B．22 C．4 D．8

解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,23)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.

答案：C

。

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1

的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是( )

解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．

答案：A

x2y2

10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上的一点，→→1若PF1·PF2＝0，tan∠PF1F2＝2，则此椭圆的离心率为( )

[

→→1

解析：由PF1·PF2＝0，得△PF1F2为直角三角形，由tan∠PF1F2＝2，

设|PF2|＝s，则|PF1|＝2s，又|PF2|2＋|PF1|2＝4c2(c＝a2－b2)，即4c253sc5＝5s，c＝2s，而|PF2|＋|PF1|＝2a＝3s，∴a＝2，∴e＝a＝3，故2

选D.

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

11．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

解析：原命题的否定形式为∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0，为真命题．即2x2－3ax＋9≥0恒成立，∴只需Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－22≤a≤22.

答案：[－22，22]

12．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足→→OP·OA＝4，则动点P的轨迹方程是__________．

→→

解析：由OP·OA＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0.

答案：x＋2y－4＝0

13．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为__________．

→→→→→→→→→

解析：因为AB·PC＝AB·(PA＋AC)＝AB·PA＋AB·AC＝1×2×cos 45°＝

.

→→

1，又|AB|＝1，|PC|＝6，

→→

→→AB·PC16

∴cos 〈AB，PC〉＝→→＝＝6.

1×6

|AB||PC|答案：6

6

x2y2

14．过双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2

的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为__________．

解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，

AO＝a，OF＝c， OAa1

∴sin 30°＝OF＝c＝2. c

∴e＝a＝2.

答案：2

>

三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤)

15．(12分)已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

解：由于不等式|x－1|>m－1的解集为R， 所以m－1<0，m<1；

因为f(x)＝－(5－2m)x是减函数， 所以5－2m>1，m<2.

即命题p：m<1，命题q：m<2.

因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假．

m<1，当p真q假时应有m无解．

m≥2，m≥1，

当p假q真时应有1≤m<2.

m<2，

&

故实数m的取值范围是1≤m<2.

x2y22

16．(12分)已知椭圆b2＋a2＝1(a>b>0)的离心率为2，且a2＝2b. (1)求椭圆的方程；

(2)直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

c2a＝2，

解：(1)由题意得

a2＝2b，所以b2＝a2－c2＝1，

a＝2，

解得

c＝1，

2

y

故椭圆的方程为x2＋2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．联立直

2yx2＋＝1，2线与椭圆的方程得即3x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝x－y＋m＝0，

x1＋x2m2m

(2m)－4×3×(m－2)>0，m<3，所以x0＝2＝－3，y0＝x0＋m＝3，2

2

2

m2mm2m

222即M－3，3.又因为M点在圆x＋y＝5上，所以－3＋32＝



5，解得m＝±3与m2<3矛盾．∴实数m不存在．

932

，17．(13分)已知点P(1,3)，圆C：(x－m)＋y＝2过点A1，－

2

2

2

点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线PF与圆相切．

(1)求m的值与抛物线的方程；

'

→→

(2)设点B(2,5)，点Q为抛物线上的一个动点，求BP·BQ的取值范围．

解：(1)把点A代入圆C的方程，得

3292(1－m)＋－＝，∴m＝1.

22

2

9

圆C：(x－1)＋y＝2.

2

2

当直线PF的斜率不存在时，不合题意． 当直线PF的斜率存在时，设为k，

则PF：y＝k(x－1)＋3，即kx－y－k＋3＝0. ∵直线PF与圆C相切， |k－0－k＋3|32∴＝2.

k2＋1解得k＝1或k＝－1.

*

当k＝1时，直线PF与x轴的交点横坐标为－2，不合题意，舍去．

当k＝－1时，直线PF与x轴的交点横坐标为4， p

∴2＝4.∴抛物线方程为y2＝16x. →

(2)BP＝(－1，－2)，

→

设Q(x，y)，BQ＝(x－2，y－5)，则 →→BP·BQ＝－(x－2)＋(－2)(y－5) y2

＝－x－2y＋12＝－16－2y＋12 1

＝－16(y＋16)2＋28≤28.

→→∴BP·BQ的取值范围为(－∞，28]．

`

18．(13分)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.

(1)证明：AD⊥CE；

(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的余弦值．

解：

①

(1)证明：作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点．以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图①所示的直角坐标系O－xyz.

设A(0,0，t)．

→

由已知条件知C(1,0,0)，D(1，2，0)，E(－1，2，0)，CE＝(－2，→

2，0)，AD＝(1，2，－t)， →→所以CE·AD＝0，得AD⊥CE.

《

(2)作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，如图②所示．

→→

②设F(x,0，z)，则CF＝(x－1,0，z)，BE＝(0，2，0)， →→CF·BE＝0，故CF⊥BE. 又AB∩BE＝B， 所以CF⊥平面ABE，

故∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF＝45°. 由CE＝6，得CF＝3. 又CB＝2，所以∠FBC＝60°，

所以△ABC为等边三角形，因此A(0,0，3)． 作CG⊥AD，垂足为G，连接GE. 2

在Rt△ACD中，求得|AG|＝3|AD|.

2223→1223

，GC＝，－， 故G，，，－333333

→523

GE＝－，，－.

333

→→→→→

又AD＝(1，2，－3)，GC·AD＝0，GE·AD＝0，

→→

所以GC与GE的夹角等于二面角C－AD－E的平面角．

→→

→→GC·GE10

故二面角C－AD－E的余弦值cos〈GC，GE〉＝→→＝－10.

|GC||GE|