参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分） 1．（3分）（2017•临沂）﹣A．
B．﹣
的相反数是（ ）
D．﹣2017
．
C．2017 的相反数是：
【解答】解：﹣故选：A．
2．（3分）（2017•临沂）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°， ∴∠BEF=∠1+∠F=50°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠BEF=50°， 故选A．
3．（3分）（2017•临沂）下列计算正确的是（ ）
.
A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b B．a2+a2=a4 C．a2•a3=a6 D．（ab2）2=a2b4 【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，故A不符合题意； B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B不符合题意； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C不符合题意； D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意； 故选：D．
4．（3分）（2017•临沂）不等式组上表示正确的是（ ）
中，不等式①和②的解集在数轴
A． B．
C． D．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1， 解不等式②，得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜1， 故选：B．
5．（3分）（2017•临沂）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：该几何体的三视图如下：
.
主视图：故选：D．
；俯视图：；左视图：，
6．（3分）（2017•临沂）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种， ∴小华获胜的概率是：=． 故选C．
7．（3分）（2017•临沂）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°=360°×2 解得n=6．
则这个多边形是六边形． 故选：C．
8．（3分）（2017•临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
.
A．= B．= C．= D．=
【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个， 根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得
=
，
故选：B．
9．（3分）（2017•临沂）某公司有15名员工，他们所在部门与相应每人所创年利润如下表所示： 部门
人数
每人创年利润（万
元）
A B C D
1 3 7 4
10 8 5 3
这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ） A．10，5 B．7，8
C．5，6.5 D．5，5
【解答】解：由题意可得，
这15名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，
∴这组数据的众数是5，中位数是5， 故选D．
10．（3分）（2017•临沂）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（ ）
.
A．2 B．﹣π C．1 D．+π
【解答】解：∵BT是⊙O的切线； 设AT交⊙O于D，连结BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 而∠ATB=45°，
∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形， ∴AD=BD=TD=
AB=
，
∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积， ∴阴影部分的面积=S△BTD=×故选C．
×
=1．
11．（3分）（2017•临沂）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：第1个图形有1个小圆； 第2个图形有1+2=3个小圆； 第3个图形有1+2+3=6个小圆； 第4个图形有1+2+3+4=10个小圆； 第n个图形有1+2+3+…+n=
个小圆；
∵第n个图形中“○”的个数是78，
.
∴78=，
解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去）， 故选：B．
12．（3分）（2017•临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
13．（3分）（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t h
0 0
1 8
2 14
3 18
4 20
5 20
6 18
7 14
… …
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（ ）
.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误． ∴正确的有②③， 故选B．
14．（3分）（2017•临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）
A．6 B．10 C．2 D．2
【解答】解：∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M（6，），N（，6）， ∴BN=6﹣，BM=6﹣， ∵△OMN的面积为10， ∴6×6﹣×6×﹣∴k=24，
.
6×﹣×（6﹣）2=10，
∴M（6，4），N（4，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值， ∵AM=AM′=4， ∴BM′=10，BN=2， ∴NM′=故选C．
=
=2
，
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）（2017•临沂）分解因式：m3﹣9m= m（m+3）（m﹣3） ． 【解答】解：m3﹣9m， =m（m2﹣9）， =m（m+3）（m﹣3）．
故答案为：m（m+3）（m﹣3）．
16．（3分）（2017•临沂）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若则AO= 4 ．
=，AD=10，
【解答】解：∵AB∥CD， ∴
=
=，即
=，
.
解得，AO=4， 故答案为：4．
17．（3分）（2017•临沂）计算：÷（x﹣）=．
【解答】解：原式===
•，
．
÷
故答案为：
18．（3分）（2017•临沂）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是 24 ．
【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD=BD=5，CD=AB=4， ∵sin∠BDC=∴OE=3， ∴DE=∵CD=4，
∴点E与点C重合， ∴AC⊥CD，OC=3， ∴AC=2OC=6，
∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；
=4， =，
.
故答案为：24．
19．（3分）（2017•临沂）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量
可以用点P的坐标表示为
=（x1，y1），
=（m，n）．
与
互相垂直，
已知：
=（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么
下列四组向量： ①②③④
=（2，1），
=（﹣1，2）；
=（1，sin60°）； =（
+
，）；
=（cos30°，tan45°），=（
﹣
，﹣2），
=（π0，2），=（2，﹣1）．
其中互相垂直的是①③④（填上所有正确答案的符号）． 【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以②因为cos30°×1+tan45°•sin60°=直； ③因为（
﹣
）（
+
）+（﹣2）×=3﹣2﹣1=0，所以
与
互相垂直．
与
互相垂直；
×1+1×
=与
互相垂直；
与
不互相垂
≠0，所以
④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以综上所述，①③④互相垂直． 故答案是：①③④．
三、解答题（本大题共7小题，共63分） 20．（7分）（2017•临沂）计算：|1﹣【解答】解： |1﹣
|+2cos45°﹣
+（）﹣1
.
|+2cos45°﹣+（）﹣1．
==
﹣1+2×﹣1+
﹣2
﹣2+2
+2
=1．
21．（7分）（2017•临沂）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计9要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下统计图表：
学生最喜爱的节目人数统计表
节目
人数（名）
最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国人
5 15 a 10
10% b% 40% 20% 百分比
根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）x= 50 ，a= 20 ，b= 30 ； （2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．
【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b=故答案为：50；20；30；
.
×100=30；
（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：1000×40%=400（名），
则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．
22．（7分）（2017•临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE， 在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°， ∴ED=AEtan30°=10
m，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m， ∴AB=30
m，
﹣10
=20
m．
则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30
.
23．（9分）（2017•临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E， （1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD， ∴
，
∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示： 由（1）得：∴CD=BD=4， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BC=
=4
，
=2
．
，
∴△ABC外接圆的半径=×4
.
24．（9分）（2017•临沂）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx， 15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x， 当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得
，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9， 由上可得，y与x的函数关系式为y=
；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8， 解得，x无解，
当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8， 解得，x=12， ∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
.
25．（11分）（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
【解答】解：（1）BC+CD=理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=45°，
AC；
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°， ∵∠ACB=∠ACD=45°，
.
∴∠ACB+∠ACD=45°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE=
AC，
，
∵CE=CE+DE=CD+BC， ∴BC+CD=
AC；
（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2， 延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α， ∵∠ACB=∠ACD=α， ∴∠ACB+∠ACD=2α， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE， ∴∠AEC=α，
过点A作AF⊥CE于F，
，
.
∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα， ∴CE=2CF=2AC•cosα， ∵CE=CD+DE=CD+BC， ∴BC+CD=2AC•cosα．
26．（13分）（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），
.
∴OC=3， ∵OC=3OB， ∴OB=1， ∴B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得∴
，
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3）， ∴AF∥x轴， ∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°，
设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1，
∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F， 则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a﹣1|=3， ∴a=3或a=﹣2，
∴M（4，5）或（﹣2，11）；
②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，
.
则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．
.
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