湖南省郴州市湖南师大附属五雅中学2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析

期期中数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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评卷人 得分 一、选择题

1.集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，则(A∩B)∪C＝（ ） A.{1，2，3}

B.{1，2，4}

C.{2，3，4}

D.{1，2，3，4}

2.“x0”是“x0”的 （ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知𝑎>𝑏,𝑐>𝑑那么一定正确的是（ ） A. 𝑎𝑑

>𝑏𝑐 B. 𝑎𝑐>𝑏𝑑 C. 𝑎−𝑑>𝑏−𝑐 D. 𝑎−𝑐>𝑏−𝑑

B.xR，2x210 D.xR，2x21≤0

4.已知命题p:xR，2x210，命题p的否定是（ ） A.xR，2x21≤0 C.xR，2x210

∣x2}，则图中阴影部分所表示的5.已知全集UR，集合A{1,2,3,4,5},B{xR集合为（ ）

A.{1} 6.函数fxB.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}

xx的图象是（ ） xA. B.

C. D.

81yx7.已知正数、满足1，则x2y的最小值是（ ）

xyA.8 C.16

8.已知函数fxxbxc，且

2B.9 D.18

fx1是偶函数，则f1，f1，f2的大

B.f1f2f1 D.f1f2f1

小关系是（ ） A.f1f1f2 C.f2f1f1

第II卷（非选择题）

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评卷人 得分 1二、填空题

9.函数y=√2𝑥−3+𝑥−3的定义域为____________．

10.不等式3x5axb0的解集为1,3，则ab______．

211.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x(-,0)时，f(x)________.

2x,则f2x12.已知偶函数fx在0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是__________. 评卷人 得分 三、解答题

13.已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1，若命题p:“xB，

xA”是真命题，求m的取值范围.

14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x. （1）计算f(0)，f(1)； （2）求f(x)的解析式.

15.（1）已知a，b均为正实数，且2a8bab0，求ab的最小值. （2）已知a，b，c均为正实数，且abc1，求证：

111abc≥10.

abc16.已知函数fxxbxc，且f10．

2（1）若函数fx是偶函数，求fx的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数fx在区间1,3上的最大值和最小值； （3）要使函数fx在区间1,3上单调递增，求b的取值范围． 17.已知函数f(x)＝2x－. (1)判断函数的奇偶性，并证明；

(2)用单调性的定义证明函数f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增． 18.（本小题满分12分）

围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。

5

𝑥5𝑥

（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 评卷人 得分 四、新添加的题型

19.下列命题正确的有（ ） A.A C.ABBA

B.CU(AB)(CUA)(CUB) D.CU(CUA)A

20.下列函数中，对任意x，满足2f(x)f(2x)的是（ ） A.f(x)|x|

B.f(x)2x

C.f(x)x|x|

D.f(x)x1

21.命题“x{x|1x3},x2a0”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A.a≥9 B.a≥11 C.a≥10 D.a≤10

22.下列命题正确的是（ ） A.存在x0,x22x30 C.∀x∈R，x2x

B.对于一切实数x<0，都有|x|>x

4x2D.函数f(x)是奇函数

|3x|3参考答案

1.D

【解析】1. 先求得A依题意A故选：D.

2.A

【解析】2.主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。 解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A。 3.C

【解析】3.

同向不等式可以相加，不能相减；在同时为正数时才能够相乘，由此得出正确选项. 由于同向不等式可以相加，不能相减；在同时为正数时才能够相乘.所以A、B、D三个选项不正确，对于C选项，由于𝑎本小题选C. 4.D

【解析】4.

利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可．

命题p:xR，2x210的否定是：xR，2x21≤0 故选：D 5.A

【解析】5.

根据图像判断出阴影部分表示A根据图像可知，阴影部分表示A故选：A 6.B

【解析】6.

B，然后求得(AB)C.

B1,2，(AB)C1,2,3,4.

>𝑏,−𝑑>−𝑐，两式相加得到𝑎−𝑑>𝑏−𝑐，所以

UB，由此求得正确选项. B，

UUBx|x2，所以AUB1.

x1,x0fx化简函数的解析式为，结合一次函数的图象与性质，即可求解

x1,x0由题意，函数fxxx， x当x0时，fx1x；当x0时，fx1x，

x1,x0即fx，结合一次函数的图象与性质，可得选项B符合.

x1,x0故选：B. 7.D

【解析】7.

由x2yx2y81展开，运用基本不等式即可求出最小值. xy811 xy8116yx16yxx2yx2y1010218

xyxyxy当且仅当

16yx，即x12，y3时，x2y取得最小值18. xy故选：D 8.D

【解析】8. 根据因为

fx1的对称轴，可得f(x)的对称轴，再根据二次函数的图象可得答案. fx1是偶函数，所以其对称轴为x0，

所以f(x)的对称轴为x1，

又二次函数fxxbxc的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得

2f1f2f1.

故选：D

9.[2，3）∪（3，+∞）

【解析】9.

3

具体函数的定义域，要求函数的每一部分要有意义，最终将每一部分的定义域取交集即可.本题需满足{2𝑥−3≥0 ,解不等式即可.

𝑥−3≠0

函数y=√2𝑥−3+

3

13

有意义，需满足{2𝑥−3≥0 ，解得x≥且x≠3，∴函数的定义域为𝑥−32𝑥−3≠0

[2，3）∪（3，+∞）．

故答案为：[2，3）∪（3，+∞）. 10.8

【解析】10.

由不等式的解集可得3x5axb0的两个根为1,3，进而由韦达定理可得a,b23

的值，从而得解.

不等式3x5axb0的解集为1,3，

2所以3x5axb0的两个根为1,3，

25a13a13. 由韦达定理可得：，解得bb9133所以ab8. 故答案为：8. 11.1

【解析】11.

由f（x）为R上的奇函数即可得出f（2）＝﹣f（﹣2），并且x<0时，f（x）＝

2﹣x，从x而将x＝﹣2带入f（x）＝

2﹣x的解析式即可求出f（﹣2），从而求出f（2）． x∵f（x）是定义在R上的奇函数，并且x<0时，f（x）＝∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣[-1﹣（﹣2）]＝-1． 故答案为：-1．

2﹣x； x12.(1,3)

【解析】12.因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x1)0f(|x1|)f(2)，又因为

f(x)在[0,)上单调递减，所以|x1|2，解得1x3.

13.m3

【解析】13.

首先判断出BA，对B分成B，和B两种情况进行分类讨论，由此求得m的取值范围.

由于命题p：“xB，xA”是真命题， 所以BA，

m12m1,（1）B，则 m12,解得2m3

2m15,（2）B，则m12m1得m2 综上m的取值范围是m3.

x2x,x014.（1）f00,f10；（2）f(x)2.

xx,x0

【解析】14.

（1）根据奇函数的性质求得f0，根据奇函数的定义求得f1.（2）先令x0，得到x0，然后根据奇函数fxfx求得函数x0时的解析式，进而求得函数在R上的解析式.

（1）∵fx是R上的奇函数， ∴f00

因为fx是R上的奇函数，又x0时，fxxx

2所以f1f10. （2）当x0时，x0 因为当x0时，fxxx

2所以fxxxx2x

又∵函数fx是R上的奇函数，即fxfx ∴fxxx

22又

f00

x2x,x0f(x)2.

xx,x015.（1）18（2）详见解析

【解析】15.

（1）先将所给等式化简，然后利用“1的妙用”以及基本不等式求解最小值；（2）将待证明不等式中的1改写成abc然后再利用基本不等式证明. （1）

82a0，b0，2a8bab0，1.

ab8b2a8b2a8b2a82，abab10≥10218，当且仅当abababab即a2b时，等号成立.

a2b,a12,由82得

b6.1,ab当a12，b6时，ab取得最小值18.

（2）

111a0，b0，c0，abc1，abc

abcabcabcabcabc

abcbacacb4

abacbc≥422210，

当且仅当abc1时取等号. 3111abc≥10.

abc16.（1）f(x)x21；（2）最小值为1，最大值为8；（3）b2.

【解析】16.

（1）根据偶函数的定义，求出b的值，再由f10，求出c； （2）由（1）得f(x)对称轴为y轴，结合函数1,3特征，即可求解；

（3）求出f(x)的对称轴，要使函数fx在1,3上是单调函数，对称轴在区间1,3左侧，可得出关于b的不等式，即可求出结论.

（1）函数fx是偶函数，所以f(x)f(x)恒成立，

x2bxcx2bxc,2bx0,xR恒成立，b0， f(x)x2c,f(1)1c0,c1， f(x)x21

2（2）由（1）f(x)x1，当x0时，取得最小值为1，

当x3时，取得最大值为8； （3）fxxbxc对称轴为x2b， 2要使函数fx在1,3上是单调递增， 需b1，解得b2. 2所以b的范围是b2.

17.(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．

证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 因为f(－x)＝2(－x)－

＝－2x＋＝－

＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＝2(x2－x1)＋5

＝(x2－x1)

，

因为00，x1x2>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．

【解析】17.

（1）由定义判断𝑓(−𝑥)与𝑓(𝑥)的关系，即可判断函数奇偶性； （2）由定义证明单调性，假设定义域内的两自变量的值𝑥1

<𝑥2，作差求𝑓(𝑥2)−

𝑓(𝑥1)的符号，进而判断单调性.

(1)函数f(x)＝2x－是奇函数．

证明如下：易知f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 因为f(－x)＝2(－x)－

＝－2x＋＝－

＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＝2x2－－＝2(x2－x1)＋5＝(x2－x1)

，

因为00，x1x2>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增．

3602

18.（Ⅰ）y=225x+−360(𝑥�〉0)

𝑥（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。

【解析】18.

试题（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得𝑎

360𝑥

=

，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建

围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则

45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360

,

由已知xa=360,得a=

所以y=225x+

（2）

．当且仅当225x=时，等号成立．

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 19.CD

【解析】19.

利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 对A，因为AA，故A错误；

对B，因为CU(AB)(CUA)(CUB)，故B错误；

对C，ABBA，故C正确； 对D，CU(CUA)A，故D正确． 故选：CD． 20.ABC

【解析】20.

对A、B、C、D选项逐项验证即可．

对于A，2f(x)2x，f(2x)2x2x，故满足2f(x)f(2x)； 对于B，2f(x)4x，f(2x)4x，故满足2f(x)f(2x)；

对于C，2f(x)2x2x，f(2x)2x2x2x2x，故满足2f(x)f(2x)； 对于D，2f(x)2x2，f(2x)2x1，故不满足2f(x)f(2x)； 故选：ABC. 21.BC

【解析】21.

2命题“x{x|1x3},xa0” 是真命题等价于“a9”，

2命题x{x|1x3},xa0为真，则32a0，即a9，设Aaa9，

则其一个充分不必要条件对应的集合设为B， 则BA，故只有BC选项符合. 故选：BC. 22.ABD

【解析】22.

求出方程x22x30的解可判断A；由x0，x0可判断B；由x0的情况可判断C；求出定义域，由定义可判断D.

对于A，由x22x30解得x3或x1，所以存在x0,x2x30，故A正确；

对于B，若x0，则x0，所以对于一切实数x0，都有|x|x，故B正确； 对于C，当x0时，x2xx，故C错误；

24x204x2对应D，f(x)满足，解得2x2且x0，故定义域为

3x30|3x|32,0f(x)4x24x2，则0,2关于原点对称，f(x)|3x|3x4x2fx，故fx是奇函数，故D正确. x故选：ABD.