！ Ｑ： ！ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 创新教育 浅谈含参量无界函数反常积分 钱芳 叶鑫安 （浙江师范大学数理与信息工程学院 浙江金华 ３２ １ ００４） 摘要：本文定义了含参量无界函数反常积分，并给出了使其一致收敛的判定准则。 关键词：含参量无界函数反常积分 一致收敛 中图分类号：Ｏ１ ７ ２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—０９ ８ｘ（２０１１）０６（ｂ）一０１５８—０１ 枳分Ｉ司题一直是数学分析的一块重要内容．关于含参量无穷 的递增数列｛ ｝（其中４＝ｃ），函数项级数 ＿厂（五 ） （ ） 积分的各种定理已有完整理论体系，而含参量无界函数反常积分 被提及很少．本文主要研究含参量无界函数反常积分定义，并给出 了使其一致收敛的判定准则。 在［ａ，ｂ］上一致收敛． 设ｆ（ｘ，．），）在 ＝【 ６】×【ｃ， 上有定义．若对 的某些值，Ｙ＝ｄ为 证：必要性：ｒ ，ｙ）ｄｙ在【口，６】上一致收敛，故对Ｖｓ＞０， 又Ａ ｄ（ｎ Ｏ０），ｘＣｏ￣＜ａ－ｃ， ∈ ，当ｍ＞ｎ＞Ｎ，有 —ｃ＜ ＜ ＜ ， 函数，（ ， ）的瑕点，则称ｆ 为含参量 的无界函数反常积 ｊｏ＜ ＜ 一。，当 一 ＜ ， ＜ 时，对 ∈【ｑ ６１，有Ｉｒ”厂 ， ｌ＜￡． “ ）在【 ６］上一致收敛． 分，简称含参量反常积分．若对Ｖｘ∈【ａ，ｂ】，积分都收敛，则其积分值 是［ａ，６】在上取值的函数．含参量反常积分Ｊ ，ｙ）ｄｙＰ２［ａ，ｂ］ 上一致收敛的定义是：对Ｖｓ＞０，３０＜ ＜ｄ—Ｃ，当０＜ｒ／＜６时，对 Ｉ“ （ｘ）＋…＋ （ ）Ｉ＝１ｅ“ 五ｙ）ｄｙ十一－＋ｅ“八五ｙ）ｄｙ＝ｌ “，ｌ’ ， Ｉ ｅ， 充分性：反证法，假设ｆ八 ， 在［ 叫上不一致收敛，则 ３ｅｏ＞０．０＜６＜ｄ—ｃ，］ 一５＜ ，＜ 一＜ 和 ∈【 ６］，使ｌ ｆ（ｘ；ｙ）ｄ Ｉ ≥ ，取 ＝ｍｉｎ｛１，ｄ—ｃ｝，则３ｄ一 ＜４＜ ＜ｄ和 ∈［ ６ｊ，使 ∈［ ６】，有ｌ ，（‘Ｊ，） ｌ＜ｓ，则称含参量反常积分 ， ）ｄｙ ［“．ｂ］上一致收敛． 定理１： ， ） 在［ａ，６］上一致收敛当且仅当对ｖｓ＞０， ３０＜ ＜ —ｃ，当０‘ ＜舢‘ ＜ 时，Ｖｘ∈【 ］，有ｉ ＿，（ ）ｄｙ１ ． 证必要性： ，ｙ）ｄｙ￣Ｅ［ｄ，６］上一致收敛可知，对ｖｓ＞０， ３０＜ ＜ —ｃ，当Ｏ＜ｑ１＜ ，０＜叩２＜ 时，对Ｖｘ∈［口，ｂ］，有： ， ｌ ￣厂（ ）ｄ ｌ≥ ，一般的取 ＝ ， 。｝，有 一 考察级数 ｎ＝ｌｃ 和 ∈【 ６】，使ｌ ＿厂（ ， ）ｄ ｌ≥ 。，所得数列是递增，且 ￣ｌｉ—ｍａ ＝ ． “ （ ）＝砉 “，（ ， ） ，由ｌ ，（ ）ｄ ｌ≥ｓ。知 ＝ ＞０，对ｖⅣ Ⅳ＋，只要 ＞Ⅳ，有矗 【 ６］，使１ （ ）ｌ：１ ．＿厂（ ） Ｉ ）ｄ ／１２，ｌＬｓｏ，， Ｉ ， ｄ ｉ ］与 ）在 ６］上一致收敛矛盾，故假设不成立． Ｉ 厂（ ） 一Ｌ －厂（五ｙ） ｊ＜Ｉ ｌ厂 ， ｄ Ｊ，ｌ＋ ｘｌ， ｄ Ｉｅ ≥ ，以上是对含参量无界函数反常积分的相关定理研究，希 埘 充分性：对ｋ／ｓ＞０，３０＜ ＜ｄ—ｃ，当０＜ ＜ ，０＜叮２＜ 时，对 广女｛壶者右所帮助． Ｖ ［ａ，６】，有ｌ ’， Ｉ ｅ§ｌｒ ｌ，（五 ） 一ｆ ，（ｔ ） ｌ ． 参考文献 由瑕积分的柯西收敛准则知Ｉ＿“ 厂 ， ｄｙ收敛．对ｖｓ＞０， ■Ｃ ［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ】．高等教育出版社，２００９（５）： １ ７９～ｌ ８９． ０＜ ＜ｄ－Ｃ，当Ｏ＜ｒ／Ｉ＜ ，０＜叩２＜ 时，对Ｖｘｅ［ ６］，有： １ ，（ ） 一 ／（ ， ） ｌ＜￡，当 ｏ，有： 定理２：ｆ＿厂（ｘ，ｙ）ｄｙ￣［ａ，６】上一致收敛当且仅当对任一趋于 【２】姬春秋，张国铭．含参量积分的一条定理及其应用【Ｊ】．大学数 学，２００９：２５（５）． ３】欧阳光中，姚允龙，周渊．数学分析［ＭＩ．复旦大学出版社，２００３（１０）． Ｉｆ （ ， ）ｄｙ—ｆ厂（ ， ） ｌ＜￡，ｒ＿厂（ｘ，ｙ）ｄｙ￣Ｅ［ａ，６】上一致收敛． 【【４］董立华，叶盼盼．关于含参量广义积分一致收敛性的讨论【Ｊ］．枣 庄学院学报，２００８（５）． １ ５８ 科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ