2018中考专题复习 几何最值问题

几何最值问题

最短路径模型——旋转最值类

基本模型图: PAOBAPOB 当点P是⊙O外一点，直线PO分别交 当点P是⊙O内一点，直线PO分别交⊙⊙O于点A、B两点，则线段PA的长是点P到⊙O的最短距离，线段PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离. O于点A、B，则线段PA的长是点P到⊙O上的点的最短距离，线段PB的是点P到⊙O上的点的最长距离. 总结：用旋转思想解决线段最值问题的本质是利用 三角形三边关系 解决问题. 特点：旋转类最值一般涉及到平面上一定点到圆上一动点的最大值（或最小值），属于单动点问题，有时动点的运动路径圆（或圆弧）并不直接给出，此时需要根据条件把“隐圆”勾画出来，具体来说“隐圆”一般有如下呈现方式：① 定点定长 ；② 定弦定角 . 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（ ）． A．210-2 B.6 C.213-2 D.4

【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解.

【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′＝622222102.故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E

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2018福建中考数学总复习资料 【Fang.GuangDe】 20180425

为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如BDDEBE，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立.

【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 .

AFEDHOG

BC

【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问题得解.

【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中1点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝AB1，OD＝5，∴DH的最小值为

2OD－OH＝51.

【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DHODOH的基本模型解决.

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【针对训练 】

1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（ ）. A．5 B．6

C．12 D．3

2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（ ）.

A．

3 B.210-2 2C.213-2 D.4

3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）. A.6 B.2131 C.9 D.

4.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）. A.132 C.5

B.132

16 932 2

D.

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5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG，则CG的最小值为（ ）． A．51

B．31 C.21 D.21

6．如图，△ABC、△EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FG相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 A．23 B．31

7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是 .

8．如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为 ．

C.2 D.31

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