2015年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）
0
1．（4分）（2015•凉山州）（π﹣3.14）的相反数是（ ） 0 1 A．3.14﹣π B． C． D． ﹣1 2．（4分）（2015•凉山州）如图是由四个相同小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． 3．（4分）（2015•凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×10人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ） A．精确到百分位，有3个有效数字 精确到百分位，有5个有效数字 B． 精确到百位，有3个有效数字 C． D．精确到百位，有5个有效数字 4．（4分）（2015•凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
4
B． C． D． 52° A． 38° B． 42° C． 60° D． 5．（4分）（2015•凉山州）下列根式中，不能与合并的是（ ） A．B． C． D． 6．（4分）（2015•凉山州）某班45名同学某天每人的生活费用统计如表： 15 20 25 30 生活费（元） 10 10 15 10 6 学生人数（人） 4 对于这45名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是（ ） A．平均数是20 B． 众数是20 C． 中位数是20 D． 极差是20 第1页（共26页）
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7．（4分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ） m≤3 A．B． m＜3 C． m＜3且m≠2 D． m≤3且m≠2 8．（4分）（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ） 1cm 2cm 3cm 4cm A．B． C． D． 9．（4分）（2015•凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（ ） A．（﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （2，﹣3） D． （3，﹣2） 10．（4分）（2015•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
2
2
80° 100° 110° 130° A．B． C． D． 11．（4分）（2015•凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
10 A． 11 B． 2
12 C． 13 D． 12．（4分）（2015•凉山州）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0 ③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2 ④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
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①②④ ①④ ①②③ A．B． C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13．（4分）（2015•凉山州）的平方根是 ．
2a+b
③④ D． 14．（4分）（2015•凉山州）已知函数y=2x+a+2b是正比例函数，则a= ，b= ． 15．（4分）（2015•凉山州）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知A型血的有20人，则O型血的有 人．
16．（4分）（2015•凉山州）分式方程
的解是 ．
17．（4分）（2015•凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．
三、解答题（共2小题，满分12分） 18．（6分）（2015•凉山州）计算：﹣3÷
19．（6分）（2015•凉山州）先化简：（
+1）+
+
，然后从﹣2≤x≤2的
2
×+|﹣3|
范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
四、解答题（共3小题，满分24分）
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20．（8分）（2015•凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
21．（8分）（2015•凉山州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
22．（8分）（2015•凉山州）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
3
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m，施工方准备租用大、
33
小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m，每辆小车每天运送沙石120m，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？
五、解答题（共2小题，满分16分） 23．（8分）（2015•凉山州）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．
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24．（8分）（2015•凉山州）阅读理解 材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 如图（2）：在△ABC中： ∵E是AB的中点，EF∥BC ∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题． 如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30° （1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．
六、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
22
25．（5分）（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m+6m﹣5=0，3n+6n﹣5=0，且m≠n，则
= ．
26．（5分）（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．
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七、解答题（共2小题，满分20分） 27．（8分）（2015•凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点． （1）求证：PA•PB=PD•PC； （2）若PA=
，AB=
，PD=DC+2，求点O到PC的距离．
28．（12分）（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标． （3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．
2
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2015年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（4分）（2015•凉山州）（π﹣3.14）的相反数是（ ） 0 1 A．3.14﹣π B． C． D． ﹣1 考点： 零指数幂；相反数． 0分析： 首先利用零指数幂的性质得出（π﹣3.14）的值，再利用相反数的定义进行解答，即只有符号不同的两个数交互为相反数． 0解答： 解：（π﹣3.14）的相反数是：﹣1． 故选：D． 点评： 本题考查的是相反数的定义以及零指数幂的定义，正确把握相关定义是解题关键． 2．（4分）（2015•凉山州）如图是由四个相同小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）
0
A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案． 解答： 解：从上边看第一层是一个小正方形，第二层在第一层的上面一个小正方形，右边一个小正方形， 故选：B． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图． 3．（4分）（2015•凉山州）我州今年参加中考的学生人数大约为5.08×10人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是（ ） A．精确到百分位，有3个有效数字 精确到百分位，有5个有效数字 B． 精确到百位，有3个有效数字 C． D．精确到百位，有5个有效数字 考点： 科学记数法与有效数字． 分析： 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 4解答： 解：5.08×10精确到了百位，有三个有效数字， 故选C． 4
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点评： 此题考查科学记数法和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 4．（4分）（2015•凉山州）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）
52° 42° A．C． 考点： 平行线的性质． 分析： 先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1． 解答： 38° B． 60° D． 解：如图： ∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等）， ∴∠1=90°﹣∠3=52°， 故选A． 点评： 本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同位角相等． 5．（4分）（2015•凉山州）下列根式中，不能与合并的是（ ） A．B． C． D． 考点： 同类二次根式． 分析： 将各式化为最简二次根式即可得到结果． 解答： 解：A、，本选项不合题意； B、C、，本选项不合题意； ，本选项合题意； D、，本选项不合题意； 故选C． 点评： 此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 6．（4分）（2015•凉山州）某班45名同学某天每人的生活费用统计如表： 15 20 25 30 生活费（元） 10 10 15 10 6 学生人数（人） 4 对于这45名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是（ ） A．平均数是20 B． 众数是20 C． 中位数是20 D． 极差是20 第8页（共26页）
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考点： 众数；加权平均数；中位数；极差． 分析： 根据众数、中位数、极差、平均数的概念求解． 解答： 解：这组数据中位数是20， 则众数为：20， 平均数为：20.4， 极差为：30﹣10=20． 故选A． 点评： 本题考查了众数、极差、中位数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答本题的关键． 7．（4分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ） m≤3 A．B． m＜3 C． m＜3且m≠2 D． m≤3且m≠2 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义． 22分析： 根据一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac的意义得到m﹣2≠02且△≥0，即2﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 2解答： 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x+2x+1=0有实数根， 2∴m﹣2≠0且△≥0，即2﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3， ∴m的取值范围是 m≤3且m≠2． 故选：D． 22点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 2
8．（4分）（2015•凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ） 1cm 2cm 3cm 4cm A．B． C． D． 考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题． 分析： 设扇形的半径为R，根据扇形面积公式得=4π，解得R=4；设圆锥的底面2
圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•4=4π，然后解方程即可． 解答： 解：设扇形的半径为R，根据题意得=4π，解得R=4， 设圆锥的底面圆的半径为r，则•2π•r•4=4π，解得r=1， 即所围成的圆锥的底面半径为1cm． 故选A． 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面第9页（共26页）
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的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 9．（4分）（2015•凉山州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线y=x对称点的坐标是（ ） A．（﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （2，﹣3） D． （3，﹣2） 考点： 坐标与图形变化-对称． 分析： 根据直线y=x是第一、三象限的角平分线，和点P的坐标结合图形得到答案． 解答： 解：点P关于直线y=x对称点为点Q， 作AP∥x轴交y=x于A， ∵y=x是第一、三象限的角平分线， ∴点A的坐标为（2，2）， ∵AP=AQ， ∴点Q的坐标为（2，﹣3） 故选：C． 点评： 本题考查的是坐标与图形的变换，掌握轴对称的性质是解题的关键，注意角平分线的性质的应用． 10．（4分）（2015•凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
80° 100° 110° 130° A．B． C． D． 考点： 圆周角定理． 分析： 连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数． 解答： 解：连接OC，如图所示， 第10页（共26页）
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∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=100°， ∵∠1+∠BOC=360°， ∴∠1=260°， ∵∠A=∠1， ∴∠A=130°． 故选：D． 点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 11．（4分）（2015•凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
10 11 12 13 A．B． C． D． 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 分析： 根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解． 解答： 解：∵双曲线y=经过点D， ∴第一象限的小正方形的面积是3， ∴正方形ABCD的面积是3×4=12． 故选：C． 点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 第11页（共26页）
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12．（4分）（2015•凉山州）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法： ①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0 ③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2 ④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
2
①②④ ①④ ①②③ ③④ A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 分析： ①函数图象的对称轴为：x=﹣==1，所以b=﹣2a，即2a+b=0； ②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想得出当﹣1≤x≤3时，y≤0； ③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性； ④由图象过点（3，0），即可得出9a+3b+c=0． 解答： 解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1， ∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确； ②∵抛物线开口方向朝上， ∴a＞0， 2又∵二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0）， ∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误； ③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上， ∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2； 故③错误； 2④∵二次函数y=ax+bx+c的图象过点（3，0）， ∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确． 故选B． 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 13．（4分）（2015•凉山州）的平方根是 ±3 ． 考点： 平方根；算术平方根． 第12页（共26页）
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分析： 首先化简，再根据平方根的定义计算平方根． 解答： 解：=9， 9的平方根是±3， 故答案为：±3． 点评： 此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 14．（4分）（2015•凉山州）已知函数y=2x
2a+b
+a+2b是正比例函数，则a= ，b= ﹣ ．
考点： 正比例函数的定义；解二元一次方程组． 分析： 根据正比例函数的定义可得关于a和b的方程，解出即可． 解答： 解：根据题意可得：2a+b=1，a+2b=0， 解得：a=，b=﹣． 故答案为：；﹣． 点评： 此题考查正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 15．（4分）（2015•凉山州）小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知A型血的有20人，则O型血的有 10 人．
考点： 扇形统计图． 分析： 根据A型血的有20人，所占的百分比是40%即可求得班级总人数，根据AB型所对应的扇形圆心角的度数求得对应的百分比，则用总人数乘以O型血所对应的百分比即可求解． 解答： 解：全班的人数是：20÷40%=50（人）， AB型的所占的百分比是：=10%， 则O型血的人数是：50（1﹣40%﹣30%﹣10%）=10（人）． 故答案为：10． 点评： 本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 16．（4分）（2015•凉山州）分式方程
第13页（共26页）
的解是 x=9 ．
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考点： 解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答： 解：方程的两边同乘x（x﹣3），得 3x﹣9=2x， 解得x=9． 检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0． ∴原方程的解为：x=9． 故答案为：x=9． 点评： 本题考查了解分式方程，注： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 17．（4分）（2015•凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC
相交于O点，则S△MOD：S△COB= 或 ．
考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 首先根据M，N是AD边上的三等分点，判断出或；然后根据四边形ABCD；从而可得S△MOD：是平行四边形，判断出AD∥BC，△DMO∽△BC0，据此求出S△COD． 解答： 解：如图， ∵M，N是AD边上的三等分点， 当∴时，如图1， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△DMO∽△BC0， ∴S△MOD：S△COB=（当时，如图1， ）=． 2同理可得S△MOD：S△COB=． 故答案为：或． 第14页（共26页）
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点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． （2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的高一定时，三角形的面积和底成正比． 三、解答题（共2小题，满分12分） 18．（6分）（2015•凉山州）计算：﹣3÷
2
×+|﹣3|
考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值． 分析： 分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可． 解答： 2解：﹣3÷×+|﹣3| =﹣9××+3﹣ =﹣． 点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键． 19．（6分）（2015•凉山州）先化简：（
+1）+
+
，然后从﹣2≤x≤2的
范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 考点： 分式的化简求值． 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约第15页（共26页）
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分得到最简结果，将x=0代入计算即可求出值． 解答： 解：（+1）++ = = = = =， 把x=0代入得：原式=﹣2． 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题（共3小题，满分24分） 20．（8分）（2015•凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度． 解答： 解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°， ∴FD=EF=6米， 在Rt△PEH中，∵tanβ==， 第16页（共26页）
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∴BF==5， ∴PG=BD=BF+FD=5+6， ， ， 在RT△PCG中，∵tanβ=∴CG=（5∴CD=（6+2+6）•=5+2）米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 21．（8分）（2015•凉山州）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案． 解答： 解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°． ∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF和△DAE中， 第17页（共26页）
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∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE． ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换． 22．（8分）（2015•凉山州）2015年5月6日，凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资60.8亿元，建设40千米的邛海空中列车．据测算，将有24千米的“空列”轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元．
（1）求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？
（2）预计在某段“空列”轨道的建设中，每天至少需要运送沙石1600m，施工方准备租用大、
33
小两种运输车共10辆，已知每辆大车每天运送沙石200m，每辆小车每天运送沙石120m，大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元，且要求每天租车的总费用不超过9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用． 分析： （1）首先根据题意，设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元，然后根据“空列”项目总共需要60.8亿元，以及每千米水上建设费用比陆地建设费用多0.2亿元，列出二元一次方程组，再解方程组，求出每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可． （2）首先根据题意，设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车，然后根据每天至3
少需要运送沙石1600m，以及每天租车的总费用不超过9300元，列出一元一次不等式组，判断出施工方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费用是多少，判断出哪种租车方案费用最低，最低费用是多少即可． 解答： 解：（1）设每千米“空列”轨道的水上建设费用需要x亿元，每千米陆地建设费用需y亿元， 则， 3解得． 所以每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元． 答：每千米“空列”轨道的水上建设费用需要1.6亿元，每千米陆地建设费用需1.4亿元． （2）设每天租m辆大车，则需要租10﹣m辆小车， 则 ∴， 第18页（共26页）
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∴施工方有3种租车方案： ①租5辆大车和5辆小车； ②租6辆大车和4辆小车； ③租7辆大车和3辆小车； ①租5辆大车和5辆小车时， 租车费用为： 1000×5+700×5 =5000+3500 =8500（元） ②租6辆大车和4辆小车时， 租车费用为： 1000×6+700×4 =6000+2800 =8800（元） ③租7辆大车和3辆小车时， 租车费用为： 1000×7+700×3 =7000+2100 =9100（元） ∵8500＜8800＜9100， ∴租5辆大车和5辆小车时，租车费用最低，最低费用是8500元． 点评： （1）此题主要考查了一元一次不等式组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：①分析题意，找出不等关系；②设未知数，列出不等式组；③解不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案；⑤作答． （2）此题还考查了二元一次方程组的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：①审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．②设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．③列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．④求解．⑤检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 五、解答题（共2小题，满分16分） 23．（8分）（2015•凉山州）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率． 考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；切线的性质． 专题： 计算题． 分析： （1）用树状图法展示所有9种等可能的结果数； 第19页（共26页）
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（2）根据一次函数图象上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算； （3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率． 解答： 解：（1）画树状图： 共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）； （2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1）， 所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=； （3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2）， 所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个， 所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=． 点评： 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和切线的性质． 24．（8分）（2015•凉山州）阅读理解 材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 如图（2）：在△ABC中： ∵E是AB的中点，EF∥BC ∴F是AC的中点
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题． 如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30° （1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3，OC=5，求MN的长．
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考点： 四边形综合题． 分析： （1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明； （2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值． 解答： （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°， ∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∴AC=OA+OC=（AD+BC）， ∵EF=（AD+BC）， ∴AC=EF； （2）解：∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠DBC=30°， ∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC， ∵OD=3，OC=5， ∴OA=3， ∵AD∥EF， ∴∠ADO=∠OMN=30°， ∴ON=MN， ∵AN=AC=（OA+OC）=4， ∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1， ∴MN=2ON=2． 点评： 此题主要考查四边形的综合题，关键是根据梯形中位线的性质和直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半进行分析． 六、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）
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25．（5分）（2015•凉山州）已知实数m，n满足3m+6m﹣5=0，3n+6n﹣5=0，且m≠n，则
= ﹣ ．
2
2
考点： 根与系数的关系． 2分析： 由m≠n时，得到m，n是方程x﹣2x﹣1=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解． 2解答： 解：∵m≠n时，则m，n是方程3x﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=2，mn=﹣． ∴原式====﹣， 故答案为：﹣． 2点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 26．（5分）（2015•凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 （
） ．
2
考点： 菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题． 分析： 点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 解答： 解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， 第22页（共26页）
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∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：y=x， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：y=（1+）x﹣1， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（）， 故答案为：（）． 点评： 此题考查菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标． 七、解答题（共2小题，满分20分） 27．（8分）（2015•凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点． （1）求证：PA•PB=PD•PC； （2）若PA=
，AB=
，PD=DC+2，求点O到PC的距离．
考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 分析： （1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离． 解答： 解：（1）连接AD，BC， ∵四边形ABDC内接于⊙O， ∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC， ∴△PAD∽△PCB， ∴， 第23页（共26页）
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∴PA•PB=PC•PD； （2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E， ∵PA=，AB=，PD=DC+2， ∴PB=16，PC=2DC+2 ∵PA•PB=PD•PC， ∴×16=（DC+2）（2DC+2）， 解得：DC=8或DC=﹣11（舍去） ∴DE=4， ∵OD=5， ∴OE=3， 即点O到PC的距离为3． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及垂径定理，根据题意判断出△PAD∽△PCB是解答此题的关键． 28．（12分）（2015•凉山州）如图，已知抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标． （3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．
2
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数第24页（共26页）
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根，根据判别式等于0可求得m的值； （2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标； （3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值． 解答： 解： 2（1）∵抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上， 2∴方程x﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根， 2∴（m+3）﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9， 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0， ∴m=3； （2）由（1）可知抛物线解析式为y=x﹣6x+9，联立一次函数y=x+3， 可得，解得或， 2∴A（1，4），B（6，9）； （3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T， ∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）， ∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a， ∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP=（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15）， 又S△PAB=2S△ABC， ∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15， ∴b=15+a， ∵P点在抛物线上， 2∴b=a﹣6a+9， 第25页（共26页）
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2∴15+a=a﹣6a+9，解得a=∵﹣3＜a＜1， ∴a=∴b=15+， =． ， 点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．
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